第三章3.2用向量方法解决问题_图文

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题

学习目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述线线、线面、面面垂直、平
行关系.

3.2.1

课前自主学案

用向 量方 法解 决平 行与 垂直 问题

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). a∥b? a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) _________________________________________ .

a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0 a⊥b?____________________________.
2.所谓直线的方向向量,就是指和这条直线所对 平行(或共线) 应的向量_____________的向量,一条直线的方向 无数 向量有______个.

知新益能 1.平面的法向量 方向向量 直线l⊥平面α,取直线l的__________a,则a叫做 平面α的法向量. 2.空间中平行关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1, 线线平行 b1,c1),b=(a2,b2,c2),则 a∥b l∥m?______.

设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1), 线面平行 平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则 a⊥u l∥α?_____. 设平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1, 面面平行 c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β?_____. u∥v

3.空间中垂直关系的向量表示
线线垂直 设直线l的方向 向量为a=(a1, a2,a3),直线m 的方向向量为b =(b1,b2,b3), 则l⊥m?_____. a⊥b 空间中的垂直关系 线面垂直 面面垂直

设直线l的方向 设平面α的法向 向量为a=(a1,b1, 量为u=(a1,b1, c1),平面α的法 c1),平面β的法 向量为v=(a2, 向量为u=(a2,b2, c2),则 b2,c2),则 u⊥v l⊥α?______. α⊥β?_____. a∥u

问题探究

一个平面的法向量惟一吗?
提示:不惟一.

课堂互动讲练

考点突破 平面的法向量的求解与判定

若要求出一个平面的法向量,一般要建立空间直角 坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤为: (1)设出平面法向量n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a=(a1,b1, c1),b=(a2,b2,c2);

(3)根据法向量定义建立关于 x, z 的方程组: y,
?n· a=xa1+yb1+zc1=0, ? b=xa2+yb2+zc2=0; ?n·

(4)解方程组,取其中一个解,即得法向量.

例1 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为

A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求出平面 ABC的一个法向量.
【思路点拨】

【解】 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → → ∴AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3), 由题设得: → ?n· =0 ?x-2y-4z=0 ? AB ? ? 即? , → ? ?2x-4y-3z=0 ?n· =0 ? AC
?x=2y ? 解之得? , ?z=0 ?

取 y=1,则 x=2. 故平面 ABC 的一个法向量为 n=(2,1,0).

利用空间向量证明平行问题
用向量方法证明空间中的平行关系 设直线l1、l2的方向向量分别是a、b, 线线平行 则要证明l1 ∥l2 ,只需证明a∥b,即a =kb(k∈R).

①设直线l的方向向量是a,平面α的法向 量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u, 即a· u=0. ②根据线面平行判定定理,在平面内找 线面 一个向量与已知直线的方向向量是共线 平行 向量即可. ③证明一条直线l与一个平面α平行,只需 证明l的方向向量能用平面α内两个不共线 向量线性表示. ①转化为相应的线线平行或线面平行. 面面 ②求出平面α,β的法向量u,v,证明 平行 u∥v即可说明α∥β.

例2

已知正方体ABCD- 1B1C1D1 的棱长为2, A

E、F分别是BB1、DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 【思路点拨】 先建立空间直角坐标系,求出直 线的方向向量和平面的法向量,再利用直线的方

向向量和平面的法向量间的关系证明线面平行和
面面平行.

【证明】 Dxyz,

如图所示建立空间直角坐标系

则有 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), 1(0,2,2), C E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), → 所以FC1=(0,2,1), → → DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

(1)设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量, → → 则 n1⊥DA,n1⊥AE, → ?n1· =2x1=0 ? DA 即? ,得 → ?n1· =2y1+z1=0 ? AE
?x1=0 ? ? ,令 z1=2,则 y1=-1, ? ?z1=-2y1

所以 n1=(0,-1,2). → → 因为FC1·1=-2+2=0,所以FC1⊥n1. n 又因为 FC1?平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE.

→ (2)∵C1B1=(2,0,0), 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → → 由 n2⊥FC1,n2⊥C1B1,得 → ?n2· 1=2y2+z2=0 ?x2=0 ? FC ? ? ,得? . ?z2=-2y2 ? ?n2·→ 1=2x2=0 ? C1B 令 z2=2,得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2),因为 n1=n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

互动探究1

在本例条件下,若O1为B1D1的中点,

求证:BO1∥平面ACD1.

证明:因 A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0), O1(1,1,2), → → → ∴AD1=(-2,0,2),CD1=(0,-2,2),BO1=(-1, -1,2),

→ 1→ 1→ ∴BO1= AD1+ CD1, 2 2 → → → ∴BO1与AD1,CD1共面, → ∴BO1∥平面 ACD1. 又 BO1?平面 ACD1, ∴BO1∥平面 ACD1.

利用空间向量解决垂直问题
用空间向量法解决立体几何中的垂直问题,主要 是运用直线的方向向量与平面的法向量,同时也 可借助空间中已有的一些关于垂直的定理.

例3 在正棱锥PABC中,三条侧棱两两垂直,G

是△PAB的重心,E、F分别为BC、PB上的点,
且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.

(1)求证:平面EFG⊥平面PBC;
(2)求证:EG⊥BC,PG⊥EG.

【思路点拨】

面面垂直可转化为线面垂直或两

平面的法向量相互垂直来证明.

【证明】

(1)法一:如图,以三棱锥的顶点P为

原点,以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC =3,则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、 F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0).

→ 于是PA=(3,0,0), → FG=(1,0,0), → → 故PA=3FG,∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC, ∴FG⊥平面 PBC. 又 FG?平面 EFG, ∴平面 EFG⊥平面 PBC.

法二:同法一,建立空间直角坐标系,则 E(0,2,1)、 F(0,1,0)、G(1,1,0), → → ∴EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1). 设平面 EFG 的法向量是 n=(x,y,z), ?y+z=0, ? → → 则有 n⊥EF,n⊥EG,∴? ?x-y-z=0, ? 令 y=1,得 z=-1,x=0,即 n=(0,1,-1). → 显然PA=(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量. → → 这样 n· =0,∴n⊥PA,即平面 PBC 的法向量与平 PA 面 EFG 的法向量互相垂直,∴平面 EFG⊥平面 PBC.

→ → (2)∵EG=(1, -1, -1), =(1,1,0), PG → BC=(0,-3,3), → → → → ∴EG· =1-1=0,EG· =3-3= PG BC 0, ∴EG⊥PG,EG⊥BC.

【名师点评】 证明面面垂直通常有两种方法, 一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、 线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互 相垂直.

变式训练2

在正方体ABCD- 1B1C1D1 中,E,F A

分别是棱AB,BC的中点,试在棱BB1上找一点M,
使得D1M⊥平面EFB1.
解:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设正方 体的棱长为 2, E(2, 则 1,0), F(1,2,0), 1(0,0,2), 1(2, D B → → 2,2). M(2,2, 设 m), 则EF=(-1,1,0), 1E=(0, B -1, -2), → D1M=(2,2,m-2).

∵D1M⊥平面 EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E, → → → → ∴D1M· =0 且D1M· 1E=0, EF B
?-2+2=0, ? 于是? ∴m=1, ?-2-2?m-2?=0, ?

故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.

方法感悟 1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量 解决立体几何问题的两个重要工具,是实现空间问 题的向量解法的媒介. 2.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直 问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量, 同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理.

3.用向量方法证明平行、垂直问题的步骤: (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空 间直角坐标系,也可以不建系),用空间向量表 示问题中涉及的点、直线、平面; (2)通过向量运算研究平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.

3.2.2 用向量方法求空间中的角

学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念.

2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹
角问题.

3.2.1 用 向 量 方 法 求 空 间 中 的 角 课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

π (0, ] 1.两条异面直线所成的角的范围是______. 2 2.直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个 π (0, ] 射影 2 平面内的______所成的角,其范围是______. 3.二面角的大小就是指二面角的平面角的大小, [0,π] 其范围是_______. 4.已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直 线l2 的一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线所 30° 成的角为____.

温故夯基

知新益能 1.异面直线所成角的求法 设两异面直线所成角为θ,它们的方向向量分别 a· b |a· b| | | |a|· |b| |a||b| 为a、b,则cosθ=________=_______. 2.直线与平面所成角的求法 设直线l与平面α所成角为θ,直线l的方向向量为a, |n· a| 平面α的法向量为n. |n||a| 则sinθ=|cos〈n,a〉|=_______.

3.二面角的求法 (1)设二面角 α- β 的平面角为 θ,平面 α、β 的法 ln1·2 n |n1·2| n 向量分别为 n1、n2,则|cosθ|=| |= . |n1|· 2| |n1|· 2| |n |n (2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向 量的夹角:在两个半平面内,各取一直线与棱垂 直.当直线的方向向量的起点在棱上时,两方向 向量的夹角即为二面角的平面角.

问题探究 1.异面直线所成的角是否等于它们的方向向量 所成的角? 提示:不一定.若方向向量所成角小于等于90°, 则相等;若方向向量所成角大于90°,则不相 等. 2.直线与平面所成角与直线的方向向量和平面 法向量所成角互余吗? 提示:不一定.

课堂互动讲练

考点突破 求异面直线的夹角

两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向
量的夹角来求得,但二者不完全相等.当两方向向

量夹角为钝角时,应取其补角作为两异面直线所成
的角.

四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,PA 与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD= 2. (1)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标; (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
例1

【思路点拨】 建立坐标系→写出点的坐标→求出 → → → → PA与BC的坐标→计算PA与BC的夹角.

【解】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系. ∵∠ADC=∠DAB=90° , AB=4,CD=1,AD=2. ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由 PD⊥平面 ABCD, 得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PAD=60° . 在 Rt△PAD 中,由 AD=2,得 PD=2 3. ∴P(0,0,2 3).

→ → (2)∵PA=(2,0,-2 3),BC=(-2,-3,0), → → ∴cos〈PA,BC〉 2×?-2?+0×?-3?+?-2 3?×0 13 = =- . 13 4× 13 13 ∴异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 . 13

求直线与平面所成的角
利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为: (1)建立空间直角坐标系; → (2)求直线的方向向量AB; (3)求平面的法向量 n; → |n· | AB (4)计算:设线面角为 θ,则 sinθ= . → |n|· | |AB

正三棱柱 ABC- 1B1C1 的底面边长为 a, A 侧棱长为 2a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.
【思路点拨】 利用正三棱柱的性质,建立适当 的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时 有两种思路:一是由定义找出线面角,取A1B1 的 中 点 M , 连 结 C1M , 证 明 ∠ C1AM 是 AC1 与 平 面

例2

A1ABB1所成的角;另一种是利用平面A1ABB1的法
向量n=(λ,x,y)求解.

【解】 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,a,0), 3 a A1(0,0, 2a),C1(- a, , 2a), 2 2 a 法一: A1B1 的中点 M, M(0, , 2a), 取 则 2 3 → → 连结 AM、MC1,有MC1=(- a,0,0),AB 2 → =(0,a,0),AA1=(0,0, 2a). → → → → ∴MC1· =0,MC1· 1=0, AB AA → → → → ∴MC1⊥AB,MC1⊥AA1,

即 MC1⊥AB,MC1⊥AA1, 又 AB∩AA1=A, ∴MC1⊥平面 ABB1A1. ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角. 3 a a → → 由于AC1=(- a, , 2a),AM=(0, , 2a), 2 2 2 2 2 a → → 2 9a ∴AC1· =0+ +2a = , AM 4 4 → |AC1|= 3a2 a2 + +2a2= 3a, 4 4

→ |AM|=

a 3 2 +2a = a, 4 2 2 9a 4 3 → → ∴cos〈AC1,AM〉= = . 3a 2 3a× 2 → → ∴〈AC1,AM〉=30° , 即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° .

2

→ → 法二:AB=(0,a,0),AA1=(0,0, 2a), 3 a → AC1=(- a, , 2a). 2 2 设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y), → → ∴n· =0 且 n· 1=0. AB AA ∴ax=0 且 2ay=0. ∴x=y=0.故 n=(λ,0,0). 3 a → ∵AC1=(- a, , 2a), 2 2

→ n· 1 AC λ → ∴cos〈AC1,n〉= =- . 2|λ| → |n||AC1| 1 → ∴|cos〈AC1,n〉|= . 2 ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30° .

求平面与平面所成的角
利用向量法求二面角的步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 量; (3)求出两个法向量的夹角; (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角; (5)确定出二面角的平面角的大小.

例3

(2010 年 高 考 天 津 卷 ) 如 图 , 在 长 方 体

ABCD- 1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的 A 点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值; (2)证明AF⊥平面A1ED; (3)求二面角A1- F的正弦值. ED-

【思路点拨】

解答本题首先建立空间坐标系,

写出一些点的坐标,再利用向量法求解.
【解】 如图所示,建立空间 直角坐标系,点 A 为坐标原 点 . 设 AB = 1 , 依 题 意 得 D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4), ?1,3,0?. E? ? 2

→ ? 1 → ?,A1D=(0,2,-4),于是 cos (1)易得EF=?0, ,1? 2 → → EF· 1D A 3 → → 〈EF,A1D〉= =- . 5 → → |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 → → ? → ?,ED (2)证明:易知AF=(1,2,1),EA1=?-1,-2,4? → → → ?-1,1,0?,于是AF·→1=0,AF· =0.因此, =? EA ED 2 ? AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED.

→ ?u· =0, ? EF (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x, z), ? y, 则 → ?u· =0, ? ED

? 即? 1 ?-x+2y=0.
1 y+z=0, 2

→ 不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1),由(2)可知,AF为 → u· AF → 平面 A1ED 的一个法向量, 于是 cos u, 〉 〈 AF = → |u||AF| 2 5 → = ,从而 sin〈u,AF〉= . 3 3 5 所以二面角 A1- F 的正弦值为 . ED3

【名师点评】

变式训练 如图,在直三棱柱 ABC- 1B1C1 中,AB= A 1,AC=AA1= 3,∠ABC=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A- 1C- 的余弦值. A B

解:(1)证明:∵三棱柱 ABC- 1B1C1 为直三棱柱, A ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC. 在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60° , 由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC. 建立如图所示空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), → → ∴AB=(1,0,0),A1C=(0, 3,- 3). → → ∴AB· 1C=1×0+0× 3+0×(- 3)=0, A ∴AB⊥A1C.

→ (2)可取 m=AB=(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 BA1C 的法向量为 n=(l,m,n), → → → 则BC· n=0,A1C· n=0,又BC=(-1, 3,0) ,

?-l+ 3m=0, ?l= 3m, ∴? ∴? ?n=m, ? 3m- 3n=0,
不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1). m· n cos〈m,n〉= |m|· |n| 3×1+1×0+1×0 15 = 2 = . 2 2 2 2 2 5 1 +0 +0 × ? 3? +1 +1 15 ∴二面角 A- 1C- 的余弦值为 A B . 5

方法感悟 1.利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化 为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的 法向量之间的角,通过数量积求出,通常方法分为 两种:坐标方法、基向量方法,解题时要灵活掌 握.

2.利用向量方法求二面角的方法分为二类:一 类是找到或作出二面角的平面角,然后利用向量 去计算其大小;另一类是利用二面角的两个平面 的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去 求.后一类需要依据图形特点建立适当的空间直 角坐标系.


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