2.4基本不等式及其应用(3).doc


2.4 基本不等式及其应用(三)
成功的要领(学习要求) 1.进一步掌握均值不等式定理; 2.会应用此定理求某些函数的最值及证明一些不等式; 3.能够解决一些简单的实际问题 成功的准备(课前预习) 1.基本不等式 1: 2.基本不等式 2: 3.公式的等价变形:
王新敞
奎屯 新疆

4.若a ? 1, b ? 1, a ? b, 则a ? b、 2ab、 2 ab、a2 ? b2中值最小的是
5.设0 ? a ? b, a ? b ? 1, 在下列不等式中正确的是(
(A)b ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 (C)2ab ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? b
成功的探索(电子笔记) 例 1 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2



(B)2ab ? b ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 (D)2ab ? a 2 ? b 2 ? b ? a 2 ? b 2

变式:已知a、b、c ? R? , 求证:a ? b ? c ? ab ? bc ? ac

例 2已知a、b、c ? R

?

1 1 1 ,且a ? b ? c ? 1 ,求证: ? ? ? 9 a b c

例 3 已知 a,b,c,d 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd

例 4 不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围
4 2

例 5 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的 造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元?

成功的尝试: (基础形成题) 1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x +
2

81 的值最小?最小值是多少? x2

2.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?

3.设 0<x<2,求函数 f(x)=

x(8 ? 3x) 的最大值,并求出相应的 x 值

王新敞
奎屯

新疆

4.已知:x ?

1 1 , 求x ? 的取值范围. 3 3x ? 1

5. 已知不等式 a≤

x2 ? 2 对 x 取一切负数恒成立,则 a 的取值范围 |x|

6.设计一副宣传画,要求画面面积为 4840cm2,画面的宽与高的比为 a(a<1),画面的上下各 留出 8cm 的空白,左右各留 5cm 的空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所 用纸张面积最小?

成功的延续(课后作业) 1.设 a, b ? R ,且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是____________
a b

2.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围

3.已知 x ? 0, y ? 0 且满足

2 8 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值_____________ x y 1 4 ? ? m 恒成立的实数 m 的取值范围 x y

4.已知 x, y ? R ? 且 x ? y ? 4 ,则使不等式

5..若对于任意 x ? 0 ,

x ? a 恒成立,则 a 的范围 x ? 3x ? 1
2

6.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备的维 修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依每年 2 千元的增量递增。 问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少?)

成功的引伸: (思维拓展题)

x2 ? 2 x ? 2 若x ? 1,求 的最大值 x ?1


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