遵义市黔北状元堂补习学校2013年高三数学导数及其应用试题

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遵义市黔北状元堂补习学校 2013 年高三数学 导数及其应用试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.曲线 A.

y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1,3) 处切线的倾斜角为(

) D.

? 6

B.

? 3
)

C.

? 4

? 2

【答案】C 2.若

?

k

0

(2 x ?3x 2 )dx ? 0 ,则 k =(
B. 0

A. 1 【答案】C 3.

C. 0或1

D.以上都不对

? ? 3x ? sin x ?dx 是(
2 0

?

) B.

A.

3 2 ? ?1 8

3 2 ? ?1 4

C.

3 2 ? ?1 4

D.

3 2 ? ?1 8

【答案】A 4.由直线 y ? 1 与曲线 y ? x 所围成的封闭图形的面积是(
2

) D.

A.

4 3

B.

2 3

C.

1 3

1 2

【答案】A

y?
5.曲线

? sin x 1 M ( , 0) ? 4 sin x ? cos x 2 在点 处的切线的斜率为(
1 B. 2 ?

)

1 A. 2
【答案】A 6.由直线 x=

?
C.

2 2

2 D. 2

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 1 15 17 A. B. C. ln 2 2 4 4

) D.2ln2

【答案】D 7.函数 y ? cos 2 x在点( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 【答案】D

?
4

,0) 处的切线方程是(

)

B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

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?

8.

?

0

(sin x ? cos x) =(

) B.4 C.π D.2π

A.2 【答案】A

3 9. 设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ?

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? , 则角 ? 的取值范围 3
B. [0,

是(

)

A. [0,

?

2 2? ,? ) C. [ 3
【答案】A 10.曲线

) ?[

2? ,? ) 3
D. (

?
2

) ?[

? 5?
2 , 6

5? ,? ) 6

]

y ? ? x 3 ? 3x 2 在点 (1, 2) 处的切线方程为(
B. y ? ?3x ? 5

) D. y ? 2 x

A. y ? 3x ? 5 【答案】C 11.曲线 y ?

C. y ? 3x ? 1

1 3 1 2 5 x ? x 在点 A(1, ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( 3 2 6 49 49 49 49 A. B. C. D. 18 36 72 144

)

【答案】D 12.函数

y?
1 8

1 x

在点 x ? 4 处的导数是(

)

A. 【答案】D

B. ?

1 8

C.

1 16
共 90 分)

( D)

?

1 16

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.

??2 (11+5x)3
dx

?1

?

______.

【答案】

7 72

14.已知一组抛物线

y ? ax2 ? bx ? c ,其中 a 为 1、3、5、7 中任取的一个数, b 为 2、4、6、
1 交点处的切线相互 2

8 中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x ? 平行的概率是 【答案】 .

3 3

15.已知

f ( x) ? xe x ,则 f ' (1) =

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【答案】 2e 16.函数 y ? e x 的图象在点 ak , eak 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak ?1 ,其中 k ? N * ,

?

?

a1 ? 0 ,则 a1 ? a3 ? a5 ?
【答案】 ? 6

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.定义函数 F ( x, y) ? (1 ? x)
y
3 (1)令函数 f ( x ) ? F ?1, log 2 x ? 3 x ? 的图象为曲线 C1 求与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂直的

?

?

, x, y ? ? 0, ??? .

??

曲线 C1 的切线方程;

3 2 (2)令函数 g( x ) ? F ?1, log 2 x ? ax ? bx ? 1 ? 的图象为曲线 C 2 ,若存在实数 b 使得曲线

?

?

??

在 x0 x0 ? ? 1, 4 ? 处有斜率为 ?8 的切线,求实数 a 的取值范围; (3)当 x , y ? N * ,且 x ? y 时,证明 F 【答案】 (1)
3

C2

?

?

? x, y ? ? F ? y, x ? .

f ( x) ? F 1, log2 ( x 3 ? 3x) ? (1 ? 1) log2 ( x ?3x) ? x 3 ? 3x
3

?

?



15 3 , f ? ? x? ? 0 , x ? ? 由 得 4 2 3 ? 3? 9 ? 3 9? ? x 3 ? 3x ? 1 ,? x ? ? .又 f ? ? ? ? ,? 切点为 ? ? , ? . 2 ? 2? 8 ? 2 8? 9 15 ? 3? 存在与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂直的切线,其方程为 y ? ? ? x ? ? ,即 8 4? 2? 15x ? 4 y ? 27 ? 0
由 log2 ( x 得 ? 3x) ? 0 , x 3 ? 3x ? 1 . 又 f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 ? (2) g ( x) ? F 1, log2 ( x 由 log2 ( x
3 2

?

3

? ax2 ? bx ? 1) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 1.
3

?

? ax ? bx ? 1) ? 0 ,得 x ? ax2 ? bx ? 0 . 2 2 由 g ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? ?8 ,得 b ? ?3x ? 2ax ? 8 . x 3 ? ax2 ? bx ? x 3 ? ax2 ? x(?3x 2 ? 2ax ? 8) ? ?2x 3 ? ax2 ? 8x ? 0 在 x ? (1,4) 上有解. 8 ? 2 x 2 ? ax ? 8 ? 0 在 x ? ?1, 4? 上有解得 a ? ?2 x ? 在 x ? ?1, 4? 上有解, x
8? ? 8 4 4 ? a ? ? ?2 x ? ? , x ? ?1, 4 ? . 而 ? 2 x ? ? ?2( x ? ) ? ?4 x ? ? ?8 , x ?max x x x ?
当且仅当 x ? 2 时取等号, ? a ? ?8 . (3)证明: F ( x, y) ? F ( y, x)
? ln(1 ? x) ln(1 ? y) ? ? x, y ? N*, x ? y ? . x y

? (1 ? x) y ? (1 ? y) x ? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y)

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? 1 ? x , x x2
当 x ? 2 时,∵

x ? 1 ? ln ?1 ? x ? ,∴ h?( x) ? 0 , h(x) 单调递减, 1? x

1 ? 当 2 ? x ? y 时, h( x) ? h( y) . 又当 x ? 1且y ? 2 时, h ?1? ? ln 2 ? ln 3 ? h ? 2 ? , 2
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? 当 x, y ? N * .且 x ? y 时, h( x) ? h( y) ,即 F ( x, y) ? F ( y, x) .
18.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3 a 5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9 x 11)时,一年的销售量为(12 -x) 万件。 (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) 。 本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 【答案】 (Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
2

L ? ( x ? 3 ? a)(12 ? x)2,x ?[9, . 11]
(Ⅱ) L?( x) ? (12 ? x)
2

? 2( x ? 3 ? a)(12 ? x)

? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x ) .

2 a 或 x ? 12 (不合题意,舍去) . 3 2 28 ? 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ? a ≤ . 3 3 2 在 x ? 6 ? a 两侧 L? 的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8 ≤ 6 ? a ? 9 即 3 ≤ a ? 时, 3 2
令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9)2 ? 9(6 ? a) .
(2)当 9 ≤ 6 ?

2 28 9 a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2
2 3

Lmax

2 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 ? ? L(6 ? a) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? ? ?? ? ? 3 ?

9 ? 3≤ a ? , ?9(6 ? a), 2 ? 所以 Q(a) ? ? 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? 3 ? 2 ? ? ?
答: 3 ≤ a ? 若

9 , 则当每件售价为 9 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q(a) ? 9(6 ? a) 2

(万元) ;若

9 2 ? ? ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 2 3 ? ?
3

? 1 ? . Q(a) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) ? 3 ?
2 ) 19. 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 ?(? ? 1 ,画面的上

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下各留 8cm 的空白,左右各留 5cm 的空白. (1)试确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用的纸张面积最小;

2 3 (2)当 ? ? [ , ] 时,试确定 ? 的值,使宣传画所用纸张面积最小。 3 4
【答案】设画面的高为 xcm ,宽为 ?xcm ,则 ?x 2 ? 4840, (1)设纸张面积为 S ,则有 S

? ( x ? 16)(?x ? 10)

? ? x 2 ? (16? ? 10) x ? 160 5 ? 5000 ? 44 10(8 ? ? ) ? 6760

?

当且仅当 8

??

5

?

时,即 ? ?

5 时, S 取最小值, 8
5 8

此时,高 x

?

4840

?

? 88cm ,宽 ? x ? ? 88 ? 55cm .
2 3 , ] 上单调递增. 3 4

(2)如果 ? ? [ 现证明如下: 设

2 3 , ] ,则上述等号不能成立.函数 S(λ 3 4

)在 [

2 3 ? ?1 ? ? 2 ? , 3 4
5

则 S (? ) ? S (? ) ? 44 10(8 ? ? 1 2 1

?1

? 8 ?2 ?

5

?2

)

? 44 10( ?1 ? ?2 )(8 ?
2 5 ? ?8? 3 8

5

?1?2
5

)

因为

?1?2 ?

?1?2

? 0,



?1 ? ?2 ? 0 ,
2 3 3 4

所以 S (?1 ) ? S (?2 ) ? 0 ,故 S (? ) 在 [ , ] 上单调递增, 因此对 ? ? [ , ] ,当 ? ? 20.已知函数

2 3 3 4

2 时, S (? ) 取得最小值. 3

f ( x) ? 2x 3 ? ax2 ? 6bx 在 x ? ?1 处有极大值 7.

(Ⅰ)求 f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)求 f (x) 在 x =1 处的切线方程.

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【答案】 (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x 2 ? 2ax ? 6b ,

? f ?(?1) ? 0, ? ? f (?1) ? 7,

?6 ? 2a ? 6b ? 0 ?a ? 3 , ?? ?? ? 2 ? a ? 6b ? 7 ?b ? ?2 ?


f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ?12x .
2 (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ,由 f ?( x) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 2 2 由 f ?( x) ? 0 得 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 2

∴ f (x) 的单调增区间为 (??,?1), (2,??) ,

f (x) 的单调减区间为 (?1,2) .
(Ⅲ) ∵ f ?( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ? f ?(1) ? ?12, ∴切线方程为 又∵f(1)=-13

y ? 13 ? ?12( x ? 1)即12x ? y ? 1 ? 0
x-k

21.已知函数 f(x)=e

-x, (x∈R) 1 的定义域是 R,求实数 m 的取值范围; f?x?+m
x x

(1)当 k=0 时,若函数 g(x)=

(2)试判断当 k>1 时,函数 f(x)在(k,2k)内是否存在零点. 【答案】 (1)当 k=0 时,f(x)=e -x,f ′(x)=e -1, 令 f ′(x)=0 得,x=0,当 x<0 时 f ′(x)<0,当 x>0 时,f ′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调减,在[0,+∞)上单调增. ∴f(x)min=f(0)=1, ∵对? x∈R,f(x)≥1,∴f(x)-1≥0 恒成立, ∴欲使 g(x)定义域为 R,应有 m>-1. ∴实数 m 的取值范围是(-1,+∞) . (2)当 k>1 时,f(x)=e 又 f(k)=e f(2k)=e
k-k x-k

-x,f ′(x)=e

x-k

-1>0 在(k,2k)上恒成立.

∴f(x)在(k,2k)上单调增. -k=1-k<0,
k k 2k-k

-2k=e -2k,令 h(k)=e -2k,
k

∵h′(k)=e -2>0,∴h(k)在 k>1 时单调增, ∴h(k)>e-2>0,即 f(2k)>0, ∴由零点存在定理知,函数 f(x)在(k,2k)内存在零点. 22.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

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(2)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的 值. 【答案】 (1)设 f(x)=ax +bx+c,则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. ∴f(x)=x +2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ =4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x +2x+1. (2)依题意,有所求面积=
2 2 2

?

0 ?1

1 1 ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) |01 ? . ? 3 3

(3)依题意,有

?

?t ?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? 0 t ( x 2 ? 2 x ? 1)dx , ?
3 2 3 2 3 2

∴(

1 3 1 1 1 1 t x ? x 2 ? x) |?1 ? ( x 3 ? x 2 ? x) |0 t , t +t -t+ = t -t +t, -6t +6t-1=0, - 2t ? ? 3 3 3 3 3
3

∴2(t-1) =-1,于是 t=1-

1 3 2

.

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