山东省聊城市2009年一模试卷(数学文)
山东省聊城市 2009 年 高 考 模 拟 试 题
数学试题（文）
注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分。考试时间 120 分钟 2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答 题卡和试题纸上。 3．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。 4．第 II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。 参考公式： ①棱柱的体积公式：V=sh（s 底面积，h 为高） 。 ②K2 统计量的表达式 K2=
n
n(ad ? bc) 2 。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)()b ? d )
③b ?
?x y
i ?1 i n
i
? nx y , a ? y ? bx
2 i
?x
i ?1
第Ⅰ卷（选择题
共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分；共 60 分。在每小题给出的四个选项中，选出 一个符合题目要求的选项。 ） 1．给定下列结论：正确的个数是 （ ） 2 ①用 20 ㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是 25 ㎝ ； ②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形” ； ③函数 y=2-x 与函数 y=log 1 x 的图像关于直线 y=x 对称。
2
A．0
B．1
C．2
?
D．3
2．已知 M ? y | y ? i , n ? N
2n
?
1? x? ? ， N ? ? x | y ? lg ?（其中 i 为虚数单位） ?, 1? x ? ?
（ ）
P ? x | x 2 ? 1, x ? R , 则以下关系中正确的是
A． M ? N ? P C． P ? N ? M 3．函数 f ( x ) ? lg x ? B． C R M ? P ? N D． C R ( P ? N ? ?)
?
?
1 的零点所在的区间是 x
（
）
A． ?0,1?
B． ?1,10?
C． ?10,100?
,??) D． (100
（ D． ）
4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的 S= A．1 B．
101 100
C．
99 100
98 99
2 0 0 9?, cos72?), BC ? (2 cos63?,2 cos27?),则?ABC 的 5．在 ?ABC中 ,已知向量AB ? (cos18 0 面积等于 （ ） 4 0 2 2 3 A． B． C． D． 2 2 2 4 2 6．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：㎏）数据进行整理后分 成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示） 。根据一般标准，高三男生的体重超过 65 ㎏属于偏胖，你于 55 ㎏属于偏瘦，已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的 频率分别为 0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频率数为 400，则该校高三年级的男生 总数和体重正常的频率分别为 （ ） A．1000，0.50 B．800,0.50 C．1000,0.60 D．800,0.60 7．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 （ ） A． 2 3 B． 3
C．
3 3 4
D．
3 3 2
8．两个正数 a、b 的等差中项是 5，等比例中项是 4，若 a>b， 则双曲线
x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 a b
B． y ? ?
（
）
A． y ? ?2 x
1 x 2
C． y ? ?
2 x 4
D．
y ? ?2 2x
9．给出下列四个命题，其中正确的一个是 （ ） 2 A．在线性回归模型中，相关指数 R =0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是 80% B．在独立性检验时，两个变量的 2×2 列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这
两个变量没有关系成立的可能性就越大 C．相关指数 R2 用来刻画回归效果，R2 越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D．随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量，它满足 E（e）=0 10 ．已知函数 f ( x) ? 4 ? x 2 , g ( x)是定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数，当 x>0 时，
g ( x) ? log2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为
（
）
11．已知在平面直角坐标系 xOy中, O(0,0), A(1,?2), B(1,1), C (2,?1),动点M ( x, y) 满足条件
? ?? 2 ? OM ? OA ? 2, ? ? ?1 ? OM ? OB ? 2,
A．－1
则 OM ? OC 的最大值为 C．3 D．4
（
）
B．0
2
12． 已知 p： 关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负实根，q : a ? 1, 则 q 是 p 的 （ A．充要条件 C．必要不充分条件 B．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件
）
第Ⅱ卷（非选择题
共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 ） 13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a” ； ②“ （m+n）t=mt+nt”类比得到“ （a+b） ·c=a·c+b·c” ； ③“t≠0，mt=nt ? m ? n ”类比得到“ c ? 0, a ? c ? b ? c ? a ? c ” ； ④“ | m ? n |?| m | ? | n | ”类比得到“ | a ? b |?| a | ? | b | ” 。 以上类比得到的正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号） 。
14．在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?
1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4
则?A =
。
15．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内， 如果通过大量的实验发现米粒落入 ?BCD 内的频率
稳定在 比约为
4 附近，那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之 9 2
。
0 2 0 R ? (lg E ? 11.4) 。2008 年 5 月 12 日， 16．地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 3 9 中国汶川发生了 8.0 级特大地震，而01989 年旧金山海湾区域地震的震级为 6.0 级，那 么 2008 年地震的能量是 1989 年地震能量的 倍。 4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 0 17． （本小题满分 12 分） 2 设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。 （1）写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间； （2）当 x ? ??
3 ? ? ?? , ? 时，函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ，求 a 的值。 2 ? 6 3?
18． （本小题满分 12 分） 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗 种子中的发芽数，得到如下资料： 日 12 月 1 日 10 温差 x（°C） 23 发芽数 y （颗） 期 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16
该农科所确定的研究方案是： 先从这五组数据中选取 2 组， 用剩下的 3 组数据求线 性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验。 （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的
? ? bx ? a ； 数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
（3） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗， 则认 为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
19． （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱台 ABCD—A1B1C1D1 中， 下底 ABCD 是边长为 2 的正方形， 上底 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形，侧棱 DD1⊥平面 ABCD，DD1=2。 （1）求证：B1B//平面 D1AC； （2）求证：平面 D1AC⊥平面 B1BDD1。
20． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x ?
3
3 2 ax ? b(a, b为实数 , 且a ? 1) 在区间[－1，1]上最大值为 2
1，最小值为－2。 （1）求 f ( x) 的解析式； （2）若函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间[－2，2]上为减函数，求实数 m 的取值范围。
21． （本小题满分 12 分） 过点 P（1，0）作曲线 C : y ? x 2 ( x ? (0,??) 的切线，切点为 M1，设 M1 在 x 轴上 的投影是点 P1。 又过点 P1 作曲线 C 的切线， 切点为 M2， 设 M2 在 x 轴上的投影是点 P2， ?。 依此下去，得到一系列点 M1，M2?，Mn，?，设它们的横坐标 a1，a2，?，an，?， 构成数列为 ?an ? 。 （1）求证数列 ?an ? 是等比数列，并求其通项公式； （2）令 bn ?
n ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn。 an
22． （本小题满分 14 分）
x2 y2 3 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，直线 l：y=x+2 与以原点为 3 a b
圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。 （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设椭圆 C1 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，直线 l1 过点 F1，且垂直于椭圆的长轴，动 直线 l2 垂直于 l1，垂足为点 P，线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M，求点 M 的轨迹 C2 的方程； （3）过椭圆 C1 的左顶点 A 做直线 m，与圆 O 相交于两点 R、S，若 ?ORS 是钝角三角 形，求直线 m 的斜率 k 的取值范围。
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1—5 CBBCA 6—10 CBBDB 11—12 DA 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 13．①② 14．
? 4
5 4
15．0 （文） 16．
5 ； （文）1000。 6
三、解答题。 17．解（1 ） f ( x) ? 分）
3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2
（2
?T ? ? .
分）
（4
由
?
2
? 2k? ? 2 x ?
?
6
?
3? ? 2? ? 2k? , 得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3
故函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? 分） （ 2 ）? ? 分）
2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z) 。 3 ?6 ?
（6
?
6
?x?
?
3
,? ?
?
6
? 2x ?
?
5? 1 ? . ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 62 6 2 6 ?
（8
0 0 1 1 1 ? ? ?? (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) 当 x ? ?? , ? 时，原函数的最大值与最小值的和 9 2 2 2 ? 6 3? 0 3 4 ? ,? a ? 0 （12 分） 0 2 18．解： （1）设抽到不相邻的两组数据为事件 2 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况： （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （2，3） （2，4） （2，5） （3，4） （3，5） （4， 5） ，其中数据为 12 月份的日期数。 （2 分） 每种情况都是可能出现的，事件 A 包括的基本事件有 6 种。 所以 P ( A) ?
6 3 3 ? 。所以选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 （4 分） 10 5 5
（5
（2）由数据，求得 x ? 12, y ? 27. 分） 由公式，求得 b ? 分）
5 , a ? y ? b x ? ?3 。 2
（7
?? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y
分）
5 x?3。 2
（8
?? （3）当 x=10 时， y
分）
5 ? 10 ? 3 ? 22, | 22 ? 23 |? 2; 2
（10
?? 同样，当 x=8 时， y
5 ? 8 ? 3 ? 17, | 17 ? 16 |? 2; 2
（12
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的。 分） 19． （1）证明：设 AC ? BD ? E, 连结D1 , E,? 平面ABCD// 平面A1 B1C1 D1 .
? B1 D1 // BE,? B1 D1 ? BE ? 2 ,?四边形B1 D1 EB是平行四边形 , 所以B1 B // D1 E.?????(3分)
又因为 B1 B ? 平面D1 AC, D1 E ? 平面D1 AC, 所以B1 B // 平面D1 AC???(6分) （2）证明：侧棱 DD1 ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD,? AC ? DD1 .
? 下底ABCD是正方形, AC ? BD. ? DD1与DB是平面B1 BDD1内的两条相交 直线,? AC ? 平面B1 BDD1 ????(9分)
? AC ? 平面D1 AC,? 平面D1 AC ? 平面B1 BDD1 .????(12分)
20．解： （1） f ' ( x) ? 3x ? 3ax,
2
令f ' ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? a, ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0?上为增函数, 在?0,1?上为减函数 .? ???? (2分) ? f (0) ? b ? 1, ????? (4分) 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f (?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 3 2 ? f ( x) ? x ? 2 x ? 1.?????? (6分)
（2） g ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1,
3 2
g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.
由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数，
. 知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立
（8 分）
? g ' (?2) ? 0 ?20 ? m ? 0 ， 即? ?? ? g ' (2) ? 0 ?4 ? m ? 0
? 实数m的取值范围是 m ? 20.
分）
? m ? 20.
（12
2 21． （1）对 y ? x 2求导数 , 得y' ? 2x, 切点是M n (an , an ) 的切线方程是 2 y ? an ? 2an ( x ? an ).
2 当 n=1 时，切线过点 P（1，0） ，即 0 ? a1 ? 2a1 (1 ? a1 ),得a1 ? 2;
（2 分）
当 n>1 时，切线过点 Pn ?1 (a n ?1 ,0),即0 ? a n ? 2a n (a n ?1 ? a n ), 得
2
an ?2 an?1
所以数列 ?an ? 是首项 a1=2，公比为 2 的等比数列。 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n , n ? N? （2）参考理（3） （6 分）
3 b2 2 22．解： （1）由 e ? ,得 2 ? 1? e ? ; 3 3 a
由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 得
2 2 2
（2 分）
2 2
?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3
所以椭圆的方程是 分）
x2 y2 ? ? 1. 3 2
（4
（2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离，由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x 。
2
（8
分） （3）由（1） ，得圆 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? 2, A(? 3,0),直线m的方程是 y ? k ( x ? 3) 设 R( x1 , y1 ), S ( x 2 , y 2 ),由?
2 2 ? ? x ? y ? 2, ? ? y ? k ( x ? 3)
得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2 3k 2 x ? 3k 2 ? 2 ? 0 则 x1 ? x 2 ? ?
（10 分）
2 3k 2 3k 2 ? 2 , x x ? ; 1 2 1? k 2 1? k 2
由 ? ? (2 3k 2 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(3k 2 ? 2) ? 0, 得 ? 2 ? k ?
2.
①（12 分）
因为 ?ORS是钝角三角形 , 所以OR ? OS ? 0,即OR ? OS ? x1 x2 ? y1 y2 ?
x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 3 )(x2 ? 3 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 3k 2 ?
4k 2 ? 2 ?0 1? k 2
所以 ?
2 2 ?k? . 2 2
②（13 分） ③
由 A、R、S 三点不共线，知 k ? 0 。 由①、②、③，得直线 m 的斜率 k 的取值范围是 ? （注：其它解法相应给分）
2 2 ?k? , 且k ? 0 （14 分） 2 2