【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 用向量讨论垂直与平行 第三课时参考教案

2.4 用向量讨论垂直与平行 第三课时教案
一、教学目标: 1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系; 2.能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。 二、教学重点:用向量方法判断空间线面平行与垂直关系; 教学难点:用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习引入 1、用向量研究空间线面关系,设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,两个 平面 ?1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则由如下结论 平
l1 与 l 2







e1 // e2 e1 ? n1 n1 // n2

e1 ? e2 e1 // n1 n1 ? n2

l1 与 ? 1

?1 与 ? 2

(二) 、知识运用 1、例 4 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对 角线 BD, AE 上,且 BM ? BD, AN ? AE ,求证: MN // 平面 CDE 证明:建立如图所示空间坐标系,设 AB,AD,AF 长分别为 3a,3b,3c
NM ? NA ? AB ? BM ? (2a,0,?c)

1 3

1 3

又平面 CDE 的一个法向量 AD ? (0,3b,0) 由 NM ? AD ? 0 得到 NM ? AD 因为 MN 不在平面 CDE 内 所以 NM//平面 CDE
B x
-1-

z F N A M

E

D y C

2、例 5 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F 分别是 BB1,,CD 中点,求证:D1F ? 平面 ADE 证明:设正方体棱长为 1,建立如图所示坐标系 D-xyz
1 DA ? (1,0,0) , DE ? (1,1, , ) 2 1 因为 D1 F ? (0, ,?1) 2
z D1 C1

A1

B1

所以 D1 F ? DA ? 0, D1 F ? DE ? 0
D

E F A x B C y

D1 F ? DA ,
DE ? DA ? D

D1 F ? DE

所以 D1 F ? 平面 ADE 3、补充 (2009 年湖南高考理科试题)如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, ?ABC ? 60? , PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1. (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 该问为探索性问题,作为高考立体几何解答题的最后一问,用传统方法求解 有相当难度,但使如果我们建立如图所示空间坐标系,借助空间向量研究该问题, 不难得到如下解答: 根据题设条件,结合图形容易得到:
3a a 2a a ,? ,0) , D(0, a, a) , E (0, , ) 2 2 3 3 3a a C( , ,0) , P(0,0, a) 2 2 3a a CP ? ( ? ,? , a ) 2 2 B(
z P

F A

E D y

假设存在点 F
CF ? ? CP ? ( ?
3?a ?a ,? , ?a ) 。 2 2
B x C

? ? 3?a ? ? BF ? BC ? CF ? ? ? , ( 1 ? ) a , ? a ? ? 2 2 ? ?

又 AE ? (0,

3a a 2a a , ,0) , ) , AC ? ( 2 2 3 3

-2-

则必存在实数 ?1 , ? 2 使得 BF ? ?1 AC ? ?2 AE ,把以上向量得坐标形式代入得
? 3?1 a 3?a 1 ? ? ?? ?? ? 2 2 2 ? ? ? ?1 a 2? 2 a ? ? 1 ? ? ??1 ? ? ?(1 ? ) a ? 2 2 3 2 ? ? 3 ?2 a ? ? ??a ? 3 ?? 2 ? 2 ? ?

即有 BF ? ? AC ?

1 2

3 AE 2

所以,在棱 PC 存在点 F,即 PC 中点,能够使 BF∥平面 AEC。 本题证明过程中,借助空间坐标系,运用共面向量定理,应用待定系数法, 使问题的解决变得更方便,这种方法也更容易被学生掌握。 (三) 、回顾总结:综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直,能用向量方法判 断空间线面平行与垂直关系。 (四) .布置作业:习题 2-4 A 组中 2、3 补充题: 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1, 底面△ABC 中, CA=CB=1, ∠BCA=90° , 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点; (1)求 BN的长; (2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证 : A1 B ? C1 M . 【解析】如图,建立空间直角坐标系 O—xyz. (1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1)
2 2 2 ∴| BN |= (1 ? 0) ? (0 ? 1) ? (1 ? 0) ? 3 .



(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、C(0,0,0) 、B1(0,1,2)

CB1 =3 , | BA1 |= ∴ BA1 ={ - 1 , - 1 , 2} , CB1 ={0 , 1 , 2 , } , BA1 ·
| CB1 |= 5 ∴cos< BA1 , CB1 >=

6,

BA1 ? CB1 1 ? 30 . | BA1 | ? | CB1 | 10

-3-

(3) 证明: 依题意, 得 C( 0, 2) 、 M ( , 1 0,

1 1 1 1 C1 M ={ , , , 2) ,A1 B ={-1, 1, 2}, 2 2 2 2

C1 M =- 0}.∴ A1 B ·
五、教学反思:

1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2

-4-


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