高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 计算导数 第一课时参考教案

§3 计算导数 计算导数(一) 第一课时 一、教学目标: 1、能根据导数的定义求简单函数的导数,掌握计算一般函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导 数的步骤; 2、理解导函数的概念,并能用它们求简单函数的导数。 二、教学重点:根据导数的定义计算一般函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数; 教学难点:导数的定义运用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习导入新课 导函数的定义 从求函数f ( x)在x ? x0处求导数的过程可以看 到f ' ( x)是一个确定的数,那么 当x变 ' ' ' 化时,f ( x)便是x的一个函数,我们称它 为f ( x)的导函数,记作 f ( x)或y . 即f ' ( x) ? y ' ? lim ?x ?0 f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x 注 意 ( 1 )函数在某一点处的导 数f ' ( x)是一个定值,是函数在 该点的函数该变量与自 变量该变量 的比值的极限,不是变 量. (2)函数的导数:是指某 一区间内任一点 x而言的 . 那么,如何利用导数的定义求函数的导数?从而导入新课。 (二) 、探析新课 计算函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数的步骤如下: (1) 通过自变量在 x0 处的 Δx, 确定函数在 x0 处的改变量: ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)确定函数 y ? f ( x) 在 x0 处的平均变化率: (3)当 Δx 趋于 0 时,得到导数 f ?( x0 ) ? lim 例 1、求函数 y ? f ( x) ? (1) x ? x0 ; 解: (1) ∵ ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 。 ?x 2 ? x 在下列各点的导数 x (2) x ? 1 ; (3) x ? ?2 。 ? 2 ? 2 2?x ? ( x0 ? ?x) ? ? ? x0 ? ?? 2 ? ?x . ? ? x0 ? ?x x0 ? x0 ?x ? x0 ? ∴ ?y ? ?x ? 2?x ? ?x x ? x0 ?x 2 ?? 2 ?1。 ?x x0 ? x0 ?x 2 0 ∴当 Δx 趋于 0 时,得到导数 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?y ? ?x lim ?x ?0 ? ? 2 2 ? ? ? x 2 ? x ?x ? 1? ? ? ? x2 ?1。 0 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? ?1 。 12 (2)由(1)可知当 x ? 1 时有: f ?(1) ? ? (3)由(1)可知当 x ? 1 时有: f ?(?2) ? ? 2 1 ?1 ? 。 2 2 (?2) 一般地:如果一个函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的每一点 x 处都有导数,导数值记 为 f ?( x) : f ?( x) ? lim f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ?x ?0 则 f ?( x) 是关于 x 的函数,称 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,通常也简称为导数。 例 2、求 y ? f ( x) ? 3x 2 ? x 的导函数 f ?( x) ,并利用导函数 f ?( x) 求 f ?(1) , f ?(?2) , f ?(0) 。 解: ∵ ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 3( x ? ?x) 2 ? ( x0 ? ?x) ? 3x 2 ? x ? 3(?x) 2 ? 6x?x ? ?x . ∴ ?y 3(?x) 2 ? 6 x?x ? ?x ? ? 3?x ? 6 x ? 1。 ?x ?x ?y ? (3?x ? 6 x ? 1) ? 6 x ? 1 。 ?x lim ?x ?0 ? ? ∴当 Δx 趋于 0 时,得到导函数 f ?( x) ? lim ?x ?0 分别将 x ? 1 , x ? ?2 , x ? 0 代入 f ?( x) ,可得 f ?(1) ? 6 ? 1 ? 1 ? 5 , f ?(?2) ? 6 ? (?2) ? 1 ? ?13 , f ?(0) ? 6 ? 0 ? 1 ? ?1。 (二) 、小结:我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意 义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数 呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,利用导数的定义计算函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数的步骤如下: (1) 通过自变量在 x0 处的 Δx, 确定函数在 x0 处的改变量: ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)确定函数 y ? f ( x) 在 x0 处的平均变化率: (3)当 Δx 趋于 0 时,得到导数 f ?( x0 ) ? lim (三) 、练习:课本 P40 练习:1、2. (四) 、作业:课本 P41 习题 2-3:A 组 1、2、4 (五) 、课外练习:求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? ?x ?x x ? ?x ? x ?x ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ? ? ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ?x( x ? ?x ? x ) ( x ? ?x) ? x ?x( x ? ?x ? x ) 所以 y? ? lim 五、教后反思: ?y 1 1 ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x

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