南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案)


南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 卷
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上) 1.已知集合 A ? {?3, ?1,1, 2} ,集合 B ? [0, ??) ,则 A ? B ? ▲ . ▲ .

2.若复数 z ? (1 ? i )(3 ? ai ) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a ?

3. 现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 ▲ . 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 . 5. 若 一 组 样 本 数 据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的 平 均 数 为 5 , 则 该组 数 据 的 方 差

s2 ? . 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为

x?

1 , 且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合, 则该双曲线的渐进线方 2

程为 . 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4 ,且点 P 在不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内,则 m ? . 8.在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?BAD ? 60? , 侧棱 PA ? 底面 ABCD , PA ? 2 , E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ,则“ f ( x) 为奇函数”是“ ? ?

?
2

”的



件.(选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 10.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , B 两点关于点 P(1, 2) 成中心对称,则直 线 AB 的方程为 11.在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ? .

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 . 3 12. 若 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [ 0 .? ? )上 是 单 调 增 函 数 . 如 果 实 数 t 满 足 1 . f ( l nt ) ? f ( l n ?) f2 时,那么 (1) t 的取值范围是 t 2a 13. 若 关 于 x 的 不 等 式 (ax ? 2 0 ) l g ? 对 0任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 x
是 .

14.已知等比数列 {an } 的首项为

1 4 1 ? B 对 n ? N * 恒成立, ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? Sn ? Sn 3 3

则 B ? A 的最小值为 . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内.) 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 c ? 2 , C ?

?
3

.

(1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 的中点. (1)求证: BF / / 平面 A1 EC ; (2)求证:平面 A1EC ? 平面 ACC1 A1 .

17.(本小题满分 14 分) 如图,现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个 角分别建半径为 x m( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x 2 m 的圆形 草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60 m,绕岛行驶的路宽均不小于 10 m. (1)求 x 的取值范围; (运算中 2 取 1.4 ) (2)若中间草地的造价为 a 元 / m 2 ,四个花坛的造价为 当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

1 5

4 12a 元 /m2 , ax 元 / m 2 ,其余区域的造价为 33 11

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,过 a 2 b2 焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A , 点 B 关于坐标原点的对称点为 P , 直线 PA , B 两点, PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C :

3 2

8 3 3 ) ,试求直线 PA 的方程; (2)若点 B 的坐标为 ( , 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , yN ,试问 yM ? yN 是否为定值?若 是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20. (本小题满分 16 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , S6 ? 22 . (1)求 Sn ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ? , kn ? N * . ①当 q 取最小值时,求 {kn }的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6S n ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分. 解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. ) A. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,AB ,CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦, 它们相交于 AB 的中点 P , 若 PC ?

9 , 8

1 OP ? ,求 PD 的长. 2

B. (选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程. 2 ? ? 2 ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐

? x ? 3t ? 2 标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值. ? y ? 4t ? 2

D. (选修 4—5:不等式选讲) 已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:
2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

[必做题] (第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分 10 分) 已知点 A(1, 2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 ,

k 3 ,求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上,记四边 AB , BC , CD , DA 所在直线的斜率 分别为 k1 , k 2 , k 3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

23. (本小题满分 10 分) 设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) . (1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 A ; a2 k
ai |? 4 成立, 求满足 “存在 1 ? k ? m , 使得

k, l ? N* , (2) 若对任意的 1 ? k ? l ? m , 都有 |

i ? 2 k ?1

?

2l

a2 k ?1 ? ?1 ” a2 k

的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 B

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标 准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重 的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 26 5. 5 1 12.[ ,e] e 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 59 14. 72

2 10.x+y-3=0 11.-. 3

二、解答题: 15.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4. 1 因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,即 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, 解方程组? 得 a=2,b=2. ?ab=4,

?????2 分 ?????4 分 ?????7 分

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 4 3 2 3 所以 a= ,b= . 3 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a.
?a2+b2-ab=4, 2 3 4 3 解方程组? 得 a= ,b= . 3 3 ?b=2a,

?????10 分

?????13 分 ?????14

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3 分 16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA1=OC.

1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. (2)因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 由(1)知 BF∥OE. 所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1. 因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1.
≥9, ?x 100-2x≥60, 17.解: (1)由题意得,? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

??????4 分 ??????7 分

??????9 分

????12 分 ??????14 分

??????4 分

解得 9≤x≤15. 所以 x 的取值范围是[9,15] . (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2)2+ ax×πx2+ [104-π×( x2)2-πx2] 5 33 11 5 a 1 4 = [π(- x4+ x3-12x2)+12×104] . 11 25 3 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12x2.则 f′(x)=- x3+4x2-24x. 25 3 25 由 f′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 列表如下: x f′(x) f(x) 所以当 x=10,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低. 18.解: (1)由题意,得 2a= 因为 c=1,所以 b2=3. 3 (1-1)2+( -0)2+ 2 ??????14 分 9 (9,10) - ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗ 15 0 ??????12 分 ?????10 分 ??????7 分

3 (1+1)2+( -0)2=4,即 a=2.???2 分 2

x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1). x y ? ? + =1, 解方程组? 4 3 得点 A 的坐标为(0,- 3). ? ? y= 3(x-1), 所以直线 PA 的方程为 y=- 3 x- 3. 4
2 2

??????5 分

??????7 分 ???????9 分

???????10 分

(3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B(-x2,-y2).
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3

(x2+x1)(x2-x1) (y2+y1)(y2-y1) 两式相减, 得 + =0. 4 3 (y2+y1)(y2-y1) 3 所以 =- =kPAk. 4 (x2+x1)(x2-x1) 3 所以 kPA=- . 4k 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2). 4k 3(x2+4)(x2-1) 3 所以 yM=- (4+x2)-y2=- -y2. 4k 4y2 y2 4y2 直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2
2 3(x2+4)(x2-1) 4y2 所以 yM·yN=- - . x2 x2 2 2 x2 y2 2 2 因为 + =1,所以 4y2 =12-3x2 . 4 3 2 -3(x2+4)(x2-1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9. x2

???????12 分

???????14 分

所以 yM·yN 为定值-9. 19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1,所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1.

???????16 分

???????2 分

所以当 a∈R 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线.???????4 分 x2+bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex

h′(x)=

-x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] =- . x e ex

???????7 分

由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). (3)当 a=0 时,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ′(x)≥0,函数 φ(x)在 R 上是增函数. 因为 φ(0)=0,所以 x<0 时,φ(x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. ②当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb,φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 所以 φ(x)≥φ(0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}. ???????16 分 ???????12 分 ???????10 分

2 20.解: (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.??????2 分 n(n+5) 2 所以 Sn= 3 .an=3(n+2) (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. 8 4 32 / {an}, 若 k2=2,则由 a2=3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2,同理 k2>3. 若 k2=4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2 . 2 n-1 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2 -2. 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn ???????12 分 ??????10 分
n

??????4 分

??????6 分

以下证明当 q≥5 时,不等式 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn

2n(n+5)+2 ≤1 恒成立. 3 qn

2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = bn 2n(n+5)+2 3q(n2+5n+1) n 3q = = 2n+6 2(n+3) 1 1 (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2-(n+3)-5 1 2 (1+ ). 3q 5 (n+3)- -1 n+ 3 5 -1 在 n∈N*上是增函数, n+3

因为 f(n)=(n+3)-

7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 1 bn+1 5 所以 < ≤ . 3q bn 7q bn+1 因为 q≥5,所以 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn 14 所以 bn≤b1= <1. 3q 综上所述,q 的取值为 2,3,4. ????????16 分 ????????14 分

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标 准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重 的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 指定区 . . . ... 域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.选修 4—1:几何证明选讲 解:因为 P 为 AB 中点,所以 OP⊥AB.所以 PB= r2-OP2= 9 因为 PC·PD=PA·PB=PB2,PC= , 8 2 所以 PD= . 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y). ??????10 分 3 . 2 ??????5 分

? 22 由? 2 ?2



? x′ x ? ?=? ?,得 2x′- 2y′=x, 2x′+ 2y′=y. ? 2 2 2 2 ?y′? ?y? 2 2 ?
2 2

???????5 分

所以 x′=

2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2-x2=2. 所以曲线 C′的方程为 y2-x2=2. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:直线 l 的普通方程为 4x-3y-2=0,圆 C 的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2. ??????5 分 由题意,得 |4a-2|
2

???????10 分

4 +(-3)

2=|a|,解得

2 a=-2 或 a= . 9

??????10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2,x3 为正实数,
2 2 2 x2 x3 x1 所以 +x1+ +x2+ +x3≥2 x1 x2 x3 2 x2 ·x +2 x1 1 2 x3 ·x +2 x2 2 2 x1 ·x =2(x1+x2+x3)=2. x3 3

2 2 2 x2 x3 x1 即 + + ≥1. x1 x2 x3

???????10 分

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由点 A(1,2)在抛物线 M∶y2=2px 上,得 p=2. 所以抛物线 M 的方程为 y2=4x.
2 2 y1 y2 设 B( ,y1),C( ,y2). 4 4 2 2 2 2 y1 y2 y1 y2 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2+y1 y2+2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. k1 k2 k3 y1-2 y2-y1 y2-2 4 4 4

???????3 分

???????7 分

2 y3 1 1 1 1 y1+2 y2+y1 y3+y2 y3+2 (2)设 D( ,y3).则 - + - = - + - =0. ??????10 分 4 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). a2k-1 (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有 =-1”的有序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A; a2k
2l

(2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得
i=2k-1

a2k-1 ≠-1”的有 a2k

序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 B. a2k-1 解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 a2k =-1, 所以(a2k-1,a2k)=(2,-2)或(a2k-1,a2k)=(-2,2).共有 2 种情况.
m 由乘法原理,得序数组(a1,a2,a3,?,a2m)的个数 A=2 .
1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m
-1

???????5 分
1 m 种,所有共有 2Cm 2
-1

种.

2 当存在二个 k 时,因为对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,所以这两组共有 2Cm 种,

2l

i=2k-1

其余的由(1)知有 2m ?

-2

2 m 种,所有共有 2Cm 2

-2

种.

1 m 1 2 m 2 m 依次类推得:B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).
- -

???????10 分


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