辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试数学(理)试题

2018 年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
? ? 1.已知集合 A ? ??1,0,1?, B ? x ? x ?1?2 ? 1 ,则 AI B ? ( )

A. ??1, 0?

B.?0?

C.??1?

D. ?

2.在复平面内,复数 z ? 2 ? 1? i ( i 为虚数单位)对应的点位于( ) i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾

中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两两直角边分别为 5 步和 12 步,问其内切圆

的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆内的概率是

()

A. 2? 15

B. 3? 20

C.1? 2? 15

D.1? 3? 20

4.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,

指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )

A.圆面

B.矩形面

C.梯形面

D.椭圆面或部分椭圆面

?x ? y ? 0

5.若实数

x,

y

满足

? ?

x

?

2

y

?

1

?

0

,则

x

?

4

y

的最大值为(



??x ? 2

A.-3

B.-4

C.-6

D.-8

uuur

uur uuur

uuur

6.已知 ?OAB 是边长为 1 的正三角形,若点 P 满足 OP ? ?2 ? t ?OA ? tOB ?t ? R? ,则 AP

的最小值为( )

A. 3

B.1

C. 3

2

D. 3 4

7.下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知函数

f

?

x?

?

2

cos

?3x

?

?

?

? ??

?

?

? 2

? ??

,若

?x

?

? ??

?

? 6

,

? 12

? ??



f

? x? 的图象恒在直线

y ? 0的上方,则? 的取值范围是( )

A.

? ??

? 12

,

? 2

? ??

B.

? ??

? 6

,

? 3

? ??

C.

???0,

? 4

? ??

D.

? ??

?

? 6

,

? 3

? ??

9.如果下面程序框图运行的结果 s ? 1320 ,那么判断框中应填入( )

A. k ?10?

B. k ?10?

C. k ?11?

D. k ?11?

10.函数

f

?x? ?

ex ex

? e?x ? e?x

,若 a

?

f

? ??

?

1 2

? ??



b

?

f

?ln 2? , c

?

f

? ??

ln

1 3

? ??

,则有(



A. c ? b ? a

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

11.直线 ax ? ay ?1 ? 0 与圆 a2 x2 ? a2 y2 ? 2a ?1 ? 0 有公共点 ? x0, y0 ? ,则 x0 ? y0 的最大值

为( )

A. ? 1

B. 4

C. 4

D.2

4

9

3

12.已知函数 f ? x? ? ex ?ax ?1? ? ax ? a?a ? 0? ,若有且仅有两个整数 xi ?i ?1, 2? ,使得

f ? xi ? ? 0 ,则 a 的取值范围为( )

A.

? ??

1 2e ?

1

,1???

B.

? ??

2

1 ? e?2

,1???

C.

? ??

2

1 ? e?2

,

1 2

? ??

D.

? ??

1 2e ?

1

,

1 2

? ??

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成,成员同时满足以下三个条件:

(1)高一学生人数多于高二学生人数;

(2)高二学生人数多于高三学生人数;

(3)高三学生人数的 3 倍多于高一高二学生人数之和

若高一学生人数为 7,则该志愿者服务队总人数为



? ? 14.若

1? 2x

6

? a0

? a1x ? a2x2

? a3x3

?a4 x4

? a5 x5

?

a6

x6

,则

a3 a4

?



15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b, c .若 a ? 2 , b ? 2 ,若

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



16.已知 F

是双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0? 的左焦点,过点 F

倾斜角为

30°的直线与

uur uur

C 的两条渐近线依次交于 A, B 两点,若 FB ? 2FA ,则 C 的离心率为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知等差数列?bn? 满足 bn ? 2n ? 2bn?1 ? 4?n ? 2,3,L ? ,数列?an? 的前 n 项和记为 Sn ,

且 Sn ? 2n ?1.

(1)分别求出?an?,?bn? 的通项公式;

(2)记 cn

?

1 bn2 ?

1

,求

?cn

?

的前

n

项和 Tn

.

18. 某地区 2011 年至 2017 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如下表:

(1)若 y 关于 t 的线性回归方程为 y ? bt ? 2.3 ,根据图中数据求出实数 b 并预测 2018 年该
地区农村居民家庭人均纯收入;
(2)在 2011 年至 2017 年中随机选取三年,记 X 表示三年中人均纯收入高于 3.6 千元的个数,
求 X 的分布列和 E ? X ? .
19. 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, PA ? 底面 ABCD , E, F 分别是 BC, PD 的中点. (1)证明:直线 EF ∥平面 PAB ; (2)设二面角 E ? FD ? A 为 30°,且 AC ? AB ? 2 , AD ? 2 ,求四棱锥 P ? ABCD 的
体积.

20.

已知

M

? ??

3,

1 2

? ??

是椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?

b

? 0? 上的一点, F1, F2 是该椭圆的左右焦

点,且 F1F2 ? 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A, B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB, AB 的斜率分别为

k1, k2 , k3 ,且 k1k2 ? k 2 .试探究 OA 2 ? OB 2 是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理
由.

21.

设函数

f

?x?

? ln

x?

2a x ?1

?

a

在开区间

? ??

0,

1 2

? ??

内有极值.

(1)求实数 a 的取值范围;

(2)若

x1

??0,1?



x2

??1, ??? .求证:

f

? x2 ? ?

f

? x1 ?

?

2 ln

2?

3 2

.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设直线 l 的

极坐标方程为

?

sin

????

?

? 4

? ??

?

2 ,曲线 C : x2 ? y2 ? 2 y ?1 ? 0 .

(1)写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的参数方程; (2)设点 M 是曲线 C 上的动点,当点 M 到直线 l 的距离最大时,求点 M 的坐标.
23.选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ? a ? x ? 1 ?a ? 0? .
a

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f ? x? ? 3的解集;

(2)证明:

f

?m? ?

f

? ??

?

1 m

? ??

?

4

.

一、选择题 1-5:CAACB 二、填空题 13.18 三、解答题

2018 年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 数学(理科)参考答案与评分标准

6-10:CDCAD

11、12:BB

14. ? 2 3

15. ? 6

16.2

17.解:(Ⅰ)因为 Sn ? 2n ?1, 所以当 n ?1 时, a1 ? 1;

当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2n?1 ?1,

所以 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1(n ? N? )

设 bn ? bn?1 ? d ,则 bn ? bn?1 ? 2bn?1 ? 2n ? 4 ? bn?1 ? bn?1 ? 2n ? 4 ? d

所以 bn?1 ? 2n ? 4 ? d ,则 bn ? 2(n ?1) ? 4 ? d

所以 d ? bn ? bn?1 ? [2(n ?1) ? 4 ? d] ?[2n ? 4 ? d] ? 2

因此 bn ? 2(n ?1) ? 4 ? 2 ,即 bn ? 2n

(Ⅱ)由(1)知 cn

?

1 (2n)2

, ?1

即 cn

?

1 2

(1 ? 2n ?1

1) 2n ?1

所以Tn ? c1 ? c2 ? ? cn

? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ) ? n

2 335

2n ?1 2n ?1 2n ?1

18.解:(Ⅰ)由题, t ? 1 (1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 , 7

y ? 1 (2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9) ? 4.3 , 7

代入得, b ? 0.5

当 t ? 8 时, y ? 0.5t ? 2.3 ? 6.3 (千元)

(2) X 可取 0,1,2,3.

P( X

?

0)

?

C33 C73

?

1, 35

P( X

? 1)

?

C32 ? C41 C73

?

12 , 35

P( X

?

2)

?

C31 ? C42 C73

?

18 , 35

P( X

? 3)

?

C43 C73

?

4 35

则 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

1

12

18

4

P

35

35

35

35

则 E(X ) ? 1 ? 0 ? 12 ?1? 18 ? 2 ? 4 ?3 ? 12 35 35 35 35 7

19.解:(Ⅰ)取 PA 中点 M ,连结 MF, MB . 因为 F 是 PD 中点,所以 MF // AD 且 MF ? 1 AD 2 又因为 BC // AD 且 BC ? AD ,且 E 是 BC 的中点, 所以 MF // BE 且 MF ? BE .所以四边形 BEFM 是平行四边形. 于是 EF // BM .又 BM ? 平面 PAB , EF ? 平面 PAB 因此 EF / / 平面 PAB .

(Ⅱ)四棱锥底面 ABCD 是平行四边形,且 AC ? AB ? 2, AD ? 2 ,

所以 AB ? AC , 又因为 PA ? 底面ABCD ,
所以 AB, AC, AP 两两互相垂直 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

B( 2, 0, 0),C(0, 2, 0), E( 2 , 2 , 0), D(? 2, 2, 0) . 22
连结 AE ,由 AB ? AC . E 是 BC 中点 ? AE ? BC ? AE ? AD . 又 PA ?平面 ABCD ? AE ? PA.又 PA AD ? A ? AE ? 平面 PAD .

即平面 PAD 的法向量 AE ? ( 2 , 2 , 0) .设 PA ? h ,所以 F (? 2 , 2 , h ) .

22

2 22

设平面 EFD 的法向量为 m ? (x, y, z) .

z

P

M

F

D A

B

x

E

Cy

由 ED ? (? 3 2 , 2 , 0) , 22

DF ? ( 2 , ? 2 , h) 2 22

?

?? ?

m

?

ED

?

0

??m ? DF ? 0

?

?

?? ?

?

??

?3 2 2
2 x? 2

x? 2

2 2
y?

y h

?0 z?0

?

? ? ? ??z

y ?

? 3x 22
h

22

.
x

令 x ?1 ? m ? (1,3, 2 2 ) .由二面角 E ? FD ? A 为 30?
h

所以 cos 30? ? | m ? AE | ,即 2 2 ? 3 ,解得 h ? 2 3

| m || AE |

10

?

8 h2

2

所以四棱锥 P ? ABCD 的体积

V

?

1 3

S ABCD

? PA

?

1 ? BC ? 3

AE ? PA

?

1 ? 2?1? 2 3

3?4 3. 3

20.解:(Ⅰ)由题意, F1(? 3,0), F2( 3,0) ,根据椭圆定义| MF1 | ? | MF2 |? 2a ,

所以 2a ? ( 3 ? 3)2 ? ( 1 ? 0)2 ? ( 3 ? 3)2 ? ( 1 ? 0)2 ? 4

2

2

所以 a2 ? 4 , b2 ? a2 ? c2 ? 1

因此,椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 4
(用待定系数法,列方程组求解同样给分)

(Ⅱ)设直线 AB : y ? kx ? m(km ? 0) , A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,由

?y ? kx? m

? ? x2 ?? 4

?

y2

消去
?1

y

得 (1?

4k 2 )x2

? 8kmx ?

4m2

?

4

?

0

? ? (8km)2 ?16(m2 ?1)(4k 2 ?1) ? 0

x1

?

x2

?

?

1

8km ? 4k

2

,

x1x2

?

4m2 ? 4 1? 4k 2

因为 k1k2

?

k 2 ,所以

kx1 ? x1

m

?

kx2 ? x2

m

?

k2

即 km(x1

?

x2 ) ?

m2

?

0(m

?

0)

,解得 k 2

?

1 4

| OA |2

? | OB |2 ?

x12

? x22

?

y12

?

y22

?

3 4

[(

x1

?

x2

)2

? 2x1x2 ] ? 2 ? 5

所以,| OA |2 ? | OB |2 ? 5

21.(Ⅰ)解: 0 ? x ? 1或 x ?1 时,

f

?( x)

?

1 x

?

?2a (x ?1)2

?

(x ?1)2 ? 2ax x(x ?1)2

?

x2

? (2 ? 2a)x x(x ?1)2

?1.



f

?

?

x?

=0



? ??

0,1 2

? ??

内有解.令

g(x)

?

x2

? (2 ? 2a)x

?1 ?

(x ?? )(x ? ? )

不妨设 0 ? ? ? 1 ,则 ? ? 2 , g ?0? ?1 ? 0,
2

所以

g(1) 2

?

1 22

?

2 ? 2a 2

?1?

0.

解得 a ? ? 1 4

(Ⅱ)解:由 f ?? x? ? 0 ?? ? x ?1或 x ? ? ,

由 f ?(x) ? 0 ? ? ? x ?1, 或1? x ? ? ,

得 f ? x? 在 ?0,? ? 内递增,在 ??,1? 内递减,在 ?1, ? ?内递减,在 ??,+?? 递增.

由 x1 ??0,1? ,得,

f

(x1) ?

f

(? )

? ln?

?

a(? ?1) ? ?1

由 x2 ??1, ??? 得,

f (x2 ) ?

f (? ) ? ln ?

?

a(? ?1) ? ?1

所以 f ?x2 ? ? f ? x1? ? f ?? ? ? f ?? ? .

因为? ? ? ?1 ,? ? ? ? 2 ? 2a , a ? ? 1 4

所以 f (? ) ? f (? ) ? ln ? ? a(? ?1) ? ln? ? a(? ?1)

? ?1

? ?1

? 2 ln ? ? 2a ? ? ?1 ? 2 ln ? ? 1 ? ?1 因为( a ? ? 1 )

? ?1

2 ? ?1

4

令 h(? ) ? 2 ln ? ? 1 ? ?1(? ? 2). 2 ? ?1

则 h(? ?)=

2 ?

?

1 2

? ?1?(? ?1) (? ?1)2 =

2? 2 ? 5? ? 2 ?(? ?1)2

?

(0 ?

?

2)

所以 h?? ? 在 ?2, ??? 上单调递增,

所以

f

?x2 ?

?

f

? x1 ?

?

h(? )

?

h(2)

?

2 ln

2

?

3 2

22.解:(Ⅰ)由 ? sin(? ? ? ) ? 2 得 ?(cos? ? sin? ) ? 2 ,
4

所以直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,

由 x2 ? y2 ? 2 y ?1 ? 0 得,

曲线

C

参数方程为

?? ?

x

?

2 cos?

(? 为参数)

?? y ? ?1? 2 sin ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)在 C 上任取一点 M ( 2 cos? , 2 sin ? ?1) ,

则点 M 到直线 l 的距离为

d?

2 sin? ?

2 cos?

?3

?

2sin(? ? ? ) ? 3 4

?

5

2

2

2

当 sin(?

?

? )
4

?

?1 ,即 ?

?

5? 4

? 2k? (k ? Z ) 时, dmax

?

52 2

所以,点 M 的直角坐标为 (?1, ?2) .

23.解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f (x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | , 2

原不等式等价于

?x ? ?2 ? ????x ? 2 ?

x

?

1 2

?

3



????2 ? ?

? ??

x

?

2

x ?

? x

? ?

1 2 1 2

?

3



??? x ? ??? x

? ?

?1 2
2? x

?

1 2

?

3

解得 x ? ?11 或 x ? 1

4

4

所以,不等式的解集为

?? x ?

|

x

?

? 11或x 4

?

1?

4

? ?

(Ⅱ)证明:

f (m) ? f (? 1 )= | m ? a | ? | m ? 1 | ? | ? 1 ? a | ? | ? 1 ? 1 |

m

am

ma

=( | m ? a | ? | ? 1 ? a |) ?(| m ? 1 | ? | ? 1 ? 1 |)

m

a ma

? 2 | m ? 1 |? 2(| m | ? 1 )? 4

m

| m|

(当且仅当 m ? ?1且 a ?1时等号成立)


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