数列求和方法归纳名师优质资料

数列求和 一、直接求和法(或公式法) 掌握一些常见的数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ……+n= 2 2 2 2 n(n ? 1) ,1+3+5+……+(2n-1)= n2 2 2 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ……+n = , 13 ? 23 ? 33 ? ……+n3 = ? 等. 6 ? 2 ? ? 例 1 求 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? 992 ? 1002 . 解:原式 ? (22 ?12 ) ? (42 ? 32 ) ? (62 ? 52 ) ? 由等差数列求和公式,得原式 ? 变式练习:已知 log 3 x ? 1 n 解:1- 2 ? (1002 ? 992 ) ? 3 ? 7 ?11 ? ? 199 . 50 ? (3 ? 199) ? 5050 . 2 ?1 ,求 x ? x 2 ? x 3 ? ...... ? x n ? ...... log 2 3 的前 n 项和. 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导, 目的在于利用与首末两项等距离的两项 相加有公因式可提取,以便化简后求和. 例2 求 12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 ? 102 的和. 102 ? 12 ? 102 102 ? 12 解:设 S ? 102 92 82 则S ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 10 ? 1 2 ? 9 3 ? 8 12 ? 2 2. 10 ? 1 两式相加,得 三、裂项相消法 2S ? 1? 1 ? ? ? 1 , 1 ? 0S ? .5 常见的拆项公式有: 1 1 1 1 1 1 ) , ? ( n ? k ? n) , ? ( ? n( n ? k ) k n n ? k n?k ? n k 1 1 1 1 ? ) ,等. ? ( (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 例 3 已知 12 ? 22 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 6 3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? ? 2 (n ? N? ) 的和. 求 2? 2 2 2 2 1 1 ?2 1 ?2 ?3 1 ? 22 ? ? n 2 2n ? 1 2n ? 1 6 解: an ? 2 , ? ? 2 2 1 1 ?2 ? ?n n ( n ? 1) n(n ? 1)(2n ? 1) 6 ? n2 ? ? 1 1 ? Sn ? 6 ? ? ? ? 3 ?1? 2 2 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 6 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 ? 1 ? ? ? 6 ?1 ? ? ? n ?1 ? ln ? . n ?1 ? 1 ? n n( ? ? ?1 ) n 1 ? 1 ? n ? 1? ? ? 小 结 : 如 果 数 列 {an } 的 通 项 公 式 很 容 易 表 示 成 另 一 个 数 列 {bn } 的 相 邻 两 项 的 差 , 即 an ? bn?1 ? bn ,则有 Sn ? bn?1 ? b1 .这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习:求数列 1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2) 解:∵ 1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 3 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? 1 ? )= ? ? Sn= ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )? = (1 ? ? 2 n ? 1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4 2? 3 2 4 n n?2 ? 2 四、错位相减法 源于等比数列前 n 项和公式的推导,对于形如 {anbn } 的数列,其中 {an } 为等差数列,{bn } 为等比数列,均可用此法. 例 4 求 x ? 3x2 ? 5x3 ? 解:当 x ? 1 时, Sn ? ? (2n ?1) xn 的和. 当 x ? 1 时, Sn ? n2 . x 2 x 2 (1 ? x n?1 ) (2n ? 1) x n?1 ; ? ? 1? x (1 ? x)2 1? x 小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列 {bn } 的公比;②将两个等式相 减;③利用等比数列的前 n 项和公式求和. 变式练习:求数列 a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前 n 项和。 解: (1)若 a=0, 则 Sn=0 (3)若 a≠0 且 a≠1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan , ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 n ?1 a?a ? nan ?1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1= 1? a n ?1 n ?1 a ? a na ∴ Sn= 当 a=0 时,此式也成立。 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a ∴Sn = (2)若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n= n( n ? 1) 2 n(n ? 1) (a ? 1) 2 n ?1 a?a nan?1 ? (a ? 1) (1 ? a) 2 1 ? a 五、分组求和法 若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求. 1 1 1 1 4 , 6 ,, 2n ? n ?1 , 的前 n 项和 Sn . 例 5 求数列 2 , 4 8 16 2 Sn ? (2 ? 4 ? 6 ? ?1 1 1 ? 2n) ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ?2 2 2 1 3 1 9 1 1 ,4 , 27 81 ? 1

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