北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准

北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准 2001.5 一、选择题: (1)C; (2)D; (3)B; (4)C; (5)A; (6)B; (7)C; (8)C; (9)B; (10)C; (11)D; (12)D. 二、填空题: (13)12; (14) ?x | ?2 ? x ? 1?; 三、解答题: (17)解(I) :设 z=a+bi (a, b ? R ) ∴ z 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abi ………………………………1 分 (15) ?0,2? ; (16) 2 2 3 , , (写出一个即可) 24 12 12 ?2ab ? 2 ? a ? 1 ? a ? ?1 由已知,有 ? 2 ,可解出 ? 或? 2 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?a ? b ? 2 ∴ z1 ? 1 ? i 或 z 2 ? ?1 ? i ………………………………………………………………………3 分 ∴ arg z1 ? ? 4 , arg z 2 5 ? ………………………………………………………………………5 分 4 ∴ z1 ? 2 (cos ? 4 ? 5 5 ? i sin ) 或 z 2 ? 2 (cos ? ? i sin ? ) ……………………………………7 分 4 4 4 (Ⅱ) :当 z ? 1 ? i 时,可得 z 2 ? 2i , z ? z 2 ? 1 ? i ∴A(1,1) ,B(0,2) ,C(1,–1) ∴ S ?ABC ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ………………………………………………………………………10 分 2 ∴当 z ? ?1 ? i 时,可得 z 2 ? 2i , z ? z 2 ? ?1 ? 3i ∴A(–1,–1) ,B(0,2) ,C(–1,–3) 1 ? 2 ?1 ? 1 2 综上 ?ABC 的面积为 1.………………………………………………………………………12 分 (18) (I)证明:∵ ?ABC 是正三角形,AF 是 BC 边中线, ∴AF⊥BC. ∵D、E 分别是 AB、AC 的中点, ∴DE∥BC, ∴AF⊥DE. 又 AF∩DE=G, ∴ A?G ⊥DE,FG⊥DE,又 A?G ∩FG=G, ∴DE⊥平面 A ?FG .……………………4 分 又 DE ? 平面 DECB, ∴平面 A ?FG ⊥平面 DECB.…………6 分 (Ⅱ)解:∵ A?G ⊥DE,GF⊥DE, ∴∠ A ?GF 是二面角 A? ? DE ? B 的平面角. ………………………………………7 分 ∵平面 A ?GF ⊥平面 BCED,作 A?O ⊥AG 于 O, ∴ S ?ABC ? ∴ A?O ⊥平面 BCED. 设 A?E ? BD ,连结 EO 并延长交 AD 于 H, ∴EH⊥AD. ∵AG⊥DE,. ∴O 是正三角形 ADE 的垂心也是中心. ∵AD=DE=AE= ∴ A?G ? AG ? a , 2 3 3 a , OG ? a. 4 12 OG 1 在 Rt?A ?OG 中, cos ?A?GO ? ? . A?G 3 ∵ ?A?GF ? ? ? ?A?GO , 1 ∴ cos ?A?GF ? ? cos ?A?GO ? ? . 3 即当 ?A ?GF 的余弦值为 ? 1 时, A?E 与 BD 互相垂直.…………………12 分 3 3 S n ?1 成等差数列, 2 (19)解(I) :∵当 n ? 2 时, 3S n ? 4 , a n , 2 ? ∴ 2a n ? 3S n ? 4 ? 2 ? 3 ………………………………………………1 分 S n?1 , 2 ∴ a n ? 3S n ? 4 ( n ? 2 ). 由 a1 ? 1 ,可得 a 2 ? 3(1 ? a 2 ) ? 4 ,∴ a 2 ? 同理,可求出 a3 ? ? 1 .………………………………2 分 2 1 1 , a 4 ? .…………………………………………4 分 4 8 (Ⅱ) :当 n ? 2 时,∵ 3S n ? a n ? 4 ①, ∴ 3S n ?1 ? a n?1 ? 4 ②, ②–①得 3a n?1 ? a n?1 ? a n . ∴ a n ?1 1 ? ? 为常数,……………………………………………………6 分 an 2 1 1 , q ? ? .… 2 2 …………………………………………………………………………7 分 (n ? 1) ?1 ? ∴通项 a n ? ? 1 1 n ?2 .……9 分 1 (? ) ? ?(? ) n ?1 (n ? 2) ? 2 ?2 2 ∴ a 2 , a3 , a 4 ,…, a n ,…成等比数列,其中首项 a 2 ? (Ⅲ) :∵ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ? (a 2 ? a3 ? ? ? a n ) ∴ lim S n ? 1 ? lim(a 2 ? a3 ? ? ? a n ) n?? n?? =1 ? 1 2 1 1 ? (? ) 2 ?1? 1 4 …………………………………………12 分 ? 3 3 (20)解(I) :∵ y ? f ( x) 是以 5 为周期的周期函数, ∴ f (4) ? f (5 ? 1) ? f (?1) . ∵函数 y ? f ( x) ( ?1 ? x ? 1 )是奇函数, ∴ f (?1) ? ? f (1) ? f (4) . ∴ f (1) ? f (4) ? 0 .……………………………………………………………6 分 (Ⅱ) :当 x ? ?1,4? 时,由题意,可设 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 ,得 a(1 ? 2) 2 ? 5 ? a(4 ? 2) 2 ? 5 ?

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