经典必修二立体几何总结


必修二立体几何总结 第一章 空间几何体

(1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面 底面是正多边形

棱柱 柱;

斜棱柱

直棱柱

正棱

底面是平行四边形

侧棱垂直于底面

四棱柱
底面是矩形

平行六面体
底面是正方形

直平行六面体
棱长都相等

长方体 正四棱柱 正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 ③面积: S 直棱柱侧 ? ch ( c 是底周长, h 是高) ④体积:V棱柱 ? Sh ?

1 S 侧面 d ( S 为底面积,h 为高,d 为已知侧面与它对棱的距离) 2

(2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几 何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱 锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方 比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形 Rt?POH , Rt?POB , Rt?PBH , Rt?BOH 实现边,高,斜高间的换算 ③面积: S 正棱锥 ? ④体积: V棱锥 ?

1 ch' ( c 为底周长, h' 为斜高) 2
D O

P

1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

C H B

(3)正四面体: 对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为

A

2 a 的正方体问题。 2

对棱间的距离为

2 a (正方体的边长) 2

正四面体的高

6 2 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3 2 3 1 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 12 3

正四面体的体积为

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

外接球的半径为

6 1 a (是正方体的外接球,则半径 ? l正方体体对角线 ) 4 2 6 1 a (是正四面体中心到四个面的距离,则半径 ? l正方体体对角线 ) 12 6

内切球的半径为

(4)球(组合体问题转化为平面问题 即过球心的截面)
(1)定义:①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。 ②球体:球面所围 成的几何体。 (2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小 圆) 两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。 ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 r ? 半径, d 为球心的到截面的距离。 (3)面积公式: S 球面 ? 4?R ( R 为球半径) (4)体积公式:V球 ? ;
2

R 2 ? d 2 ,其中 R 为球半径, r 为截面

4 3 ?R ( R 为球半 3

径)

第二章 一、平面基本公理:

点、直线、平面之间的位置关系

公理 1、已知直线 a 及平面 ? ,若点 A, B ? a ,且 A, B ? ? 则 a ? ? ; (作用:证明一条直线在一个平面内的依据) 公理 2、不共线的三点可唯一确定一个平面。其有如下三个推论: 推论 1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面; 推论 2、经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论 3、经过两条平行直线有且只有一个平面; (公理 2 及推论的作用: ①空间中确定平面的依据; ②为立体几何问题转化为平面几何问题

提供了理论依据和具体办法) . 公理 3、若两个平面 ? , ? 有一个公共点 P ,则 ? , ? 有且仅有一条过 P 的公共直线; (作用:①判定两平面相交;②判断点在直线上,证明若干点共线的依据) 公理 4、 (平行公理)平行于同一直线的两直线平行,即 a // b 且 b // c ? a // c ; 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等 三垂线定理(如图 9-2-4) ①三垂线定理:平面 ? 内的一条直线 a ,如果和斜线 l 在平面 ? l 上的射影 l 垂直,则直线 a 与 l 垂直;其逆命题也成立,即: ②三垂线定理的逆定理:平面 ? 内的一条直线 a ,如果和平面 ? 的斜线 l 垂直,则直线 a 与 l 在平面 ? 上的射影 l 垂直.
' '

?

l'

a

图 9-2-4

二、位置关系(位置关系的判定多借助于长方体模型) (1)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; ①从公共点角度:有且只有一个公共点——相交;没有公共点——平行或异面; ②从共面与否的角度: 在同一个平面内——相交或平行; 不同在任何一个平面——异面 (2)直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ; 相交或平行的情况统称为直线在平面外,记为 a ? ? ; (3)平面与平面的位置关系: 相交 ; 平行 ; ; 三、平行与垂直的判定与性质(空间问题转化为平面问题) ⑹ ⑴
平行公理

线线平行

⑵ ⑶ ⑾

线面平行

⑷ ⑸

面面平行

三垂线定理

⑺ 线线垂直

⑿ ⑼ ⑽



⒁ ⒂ ⒃

线面垂直

面面垂直

三垂线逆定理



(1)线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。 (2)线线垂直的判断: ⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直。 ⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影 垂直。 ⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 (3)线面平行的判断: ⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 (4)线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 (5)面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 (6)面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 四、空间角的求法: (步骤:1 作 2.证。3.求 角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所 成的角。异面直线所成角的范围: 0 ? ? ? 90 ;
o o

所有角的问题最后都要转化为解三

(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 ; ②线面垂直:线 面所成的角为 90 ;③斜线与平面所成的角:范围 0 ? ? ? 90 ;即也就是斜线与它在平
o o o

o

面内的射影所成的角。

(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面 法; 注意:还可以用射影法: cos? ?

S' ;其中 ? 为二面角 ? ? l ? ? 的大小, S 为 ? 内的 S

一个封闭几何图形的面积; S ' 为 ? 内的一个封闭几何图形在 ? 内射影图形的 面积。一般用于解选择、填空题。


相关文档

立体几何初步总结(必修2)
新课标必修2立体几何知识点总结
必修二立体几何总结
非常好的资料 必修2立体几何总结
必修二立体几何知识点总结及练习题
必修二 立体几何知识点总结第二章
立体几何初步总结必修2
必修2知识点总结:立体几何 直线 圆
必修二立体几何知识点总结第一章
高中数学必修二立体几何知识点总结
电脑版