江苏省2016届高考数学压轴卷

江苏省 2016 届高考数学压轴卷
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满分 为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸 ... 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式: 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在题中横线上) 1.若集合 A ? {x | y ? x ? 1, x ? R}, B ? {x || x |? 1, x ? R} ,则 A ? B ?
5 . ? m (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m ? 1 ? 2i 3.若原点 (0,0) 和点 (1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的异侧,则 a 的取值范围是



2.若复数



4.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为 . 5.右图是一个算法流程图,则输出的 x 的值为 . 开始 6.从 2 个红球,2 个黄球,1 个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率 是 . n←1 ,x←1 7.若 sin ? ?

3 ? 且 ? 是第二象限角,则 tan(? ? ) ? 5 4

. x←

8. 正四棱锥 P ? ABCD的底面边长为 2 3cm ,侧面积为 8 3cm2 ,则它的体积 为 .

x x+1

n ← 2 ny ? 1 y ← ?1 n>5 Y 输出 x 结束 .
(第 5 题)

x2 y2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a b
该双曲线的离心率为 .

N

? x ? 3, ? 10.不等式组 ? x ? y ? 0, 所表示的区域的面积为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 11. 已知 ?ABC 外接圆的半径为 2 ,圆心为 O ,且 AB ? AC? 2 AO, | AB |?| AO | ,则 CA ? CB 的值等





12. 如图所示, 三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上, 边 B3C3 上有 10 个不同的点 P1 ,P2 , ?,

M i ? AB 2 ? APi ( i ? 1,2,?,10) ,则 M 1 ? M 2 ? ? ? M 10 ? P 10 ,记



1

第 12 题

13. 在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3 ,公差 d ? 2 ,若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗漏掉一项的 情况下,求得余下 9 项的和为 185,则此连续 10 项的和为 . .

14.设关于 x 的实系数不等式 (ax ? 3)( x 2 ? b) ? 0 对任意 x ? [0, ??) 恒成立,则 a 2 b ? 二、解答题 15. (本小题满分 14 分) (本大题满分 14 分)

如图, 在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2 AD . (1)求 AD 的长; (2)求△ ABC 的面积. C

A

D 第 15 题

B

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC // 平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.
C B

D E

A

17. (本大题满分 14 分)

P (第 16 题)

ON 上的两个码头, ON 的距离分别为 2km , 如图,A ,B 是海岸线 OM , 海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM ,

7 10 km .测得 tan ?MON ? ?3 , OA ? 6km .以点 O 为坐标原点,射线 OM 为 x 轴的正半轴,建立如图 5

所示的直角坐标系.一艘游轮以 18 2km / 小时的平均速度在水上旅游线 AB 航行(将航线 AB 看作直线, 码头 Q 在第一象限,航线 AB 经过 Q ) . ??? ? (1)问游轮自码头 A 沿 AB 方向开往码头 B 共需多少分钟? (2)海中有一处景点 P (设点 P 在 xOy 平面内, PQ ? OM ,且 PQ ? 6km ) ,游轮无法靠近.求游轮在水
2

上旅游线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标.
N

B?

y

?P

? C

?Q
A

18 . (本大题满分 16 分) 已知椭圆 C :

O (第 17 题)

?

xM

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 2 a b

2

2

3 F ?1,0 ? ,且点 P (1, ) 在椭圆 C 上. 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 过椭圆 C1 :

x2 y2 4 ? ? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O : x 2 ? y 2 ? 的两条切线,切点分别为 2 a b2 ? 5 3 3
1 1 ? 2 2 3m n

M ,N( M ,N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m ,n , 证明:
为定值; (3)若 P 1,P 2 是椭圆 C2 :

x2 3 y 2 E 过 P1 , P ? ? 1上不同的两点, PP 2 ,且椭圆 C2 上任意一 1 2 ? x 轴,圆 a 2 b2

点都不在圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆.试问:椭圆 C2 是否存在过左焦点 F1 的内 切圆? 若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 19.已知函数 f ( x) ? ex x2 ? a (a… 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调减区间; (2)若存在 m>0,方程 f ( x) ? m 恰好有一个正根和一个负根,求实数 m 的最大值. 20.(本大题满分 16 分) 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) , 其中 n ? N* , k1 , k2 ? Z . (1)试写出一组 k1 , k 2 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数; (2)若 k1 ? 1 , k2 ? N* ,数列 {bn } 满足 bn ? 条件的 k 2 的值; (3)若 0 ? k1 ? k2 ,数列 {cn } 满足 cn ? an ? | an | ,其前 n 项和为 Sn ,且使 ci ? c j ? 0 ( i , j ? N* , i ? j )的

an ,且对任意的 m ? N* ( m ? 3 ),均有 b3 ? bm ,写出所有满足 n

i 和 j 有且仅有 4 组, S1 , S2 ,?, Sn 中有至少 3 个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求 k1 , k 2
的最小值.

3

数学附加题 注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号 写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区 ...... 域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC.以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE?BC,垂足为 E,连接 AE 交 E B C ⊙O 于点 F.求证:BE?CE=EF?EA. F D O

A B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

?1 2? 已知矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 r ? 2cos q ? 2sin q ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平
? ? x ? 1 ? t, 面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),求 直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. ? ? y ? 3t

D.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ? 2y ? 3 . x ? 2 xy ? y 2
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内 作答.解答应写出 ........ 文字说明、证明过程或演算步骤.

4

22. (本小题满分 10 分) 2 1 甲、乙两人投篮命中的概率分别为 与 ,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局每人各投一球. 3 2 (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E( ξ ). 23. (本小题满分 10 分) 若存在 n 个不同的正整数 a1 , a2 ,?, an ,对任意 1 剟i ? j
n ,都有

ai ? a j ai ? a j

? Z ,则称这 n 个不同的正整数

. a1 , a2 ,?, an 为“ n 个好数” (1)请分别对 n ? 2 , n ? 3 构造一组“好数” ; (2)证明:对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数” .

答案与提示 一、填空题 1. ? 1? 2. ?1 3.

? 0, 2?

4. 0.032

5.

1 6

6.

4 5

7. ? 7

8.4

9.

5

10.16

1.12

12.180

13. 200 14.9 解析:

11. 如图,取 BC 中点 D,联结 AD,则 AB ? AC ? 2AD , 又因为 AB ? AC ? 2 AO ,所以 O 为 BC 的中点, 因为 AB ? AO ,所以 △ABO 是等边三角形, ?C ?

??? ? ??? ?

????

??? ? ??? ?
????

????

??? ?

π , 6

因为 △ ABC 外接圆的半径为 2,所以 CB ? 4 , CA ? 2 3 , 所以 CA ? CB ? 4 ? 2 3 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3 ? 12 ,故答案为 12. 2

12. 延长 AB2 , C3 B3 ,则 ?B2 AC3 ? 30o ,又 ?AC3 B3 ? 60o ,所以 AB2 ? B3C3 ,即 AB2 ? B3C3 ? 0 ,则

???? ?

?????

???? ? ?????

???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 3 M i ? AB2 ?APi ? AB2 ? ( AC3 ? C3 P AC ?18 , i ) ? AB 2 ? 3 ? 2 3 ?6 ? 2

5

则 M1 ? M 2 ????M10 ? 18 ?10 ? 180 ,故答案为 180. 13. 等差数列 {an } 中的连续 10 项为 ax , ax +1 , ax?2 ,…, ax?9 ,( x ? N* ) , 遗漏的项为 ax +n , n ? N* 且 1≤n≤9, 则

(ax ? ax ?9 ) ?10 (a ? ax ? 18) ?10 ? ax ? n ? x ? ( a x ? 2n) 2 2

? 9(3 ? 2 x ? 2) ? 2n ? 185 ,化简得 44≤9 x ? 43 ? n≤52 ,所以 x ? 5 , a5 ? 11 ,
则连续 10 项的和为

(11 ? 11+18) ?10 =200 ,故答案为 200. 2

14. 令 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? x2 ? b , 在同一坐标系下作出两函数的图像: ①如图(1),当 g ( x) ? x2 ? b 的在 x 轴上方时, b ? 0 , f ( x) ? 0 , 但 f ( x) ? ax ? 3≤0 对 x ? [0, ??) 却不恒成立; ②如图(2), b ? 0 ,令 g ( x) ? 0 得 x ? b , 令 f ( x) ? ax ? 3 ? 0 得 x ? ?

3 , a

要使得不等式 (ax ? 3)( x2 ? b)≤0 在 x ? [0, ??) 上恒成立, 只需 b ? ?

9 3 2 ,b ? 2 ,a b ? 9 . a a

综上, a 2b ? 9 ,故答案为 9.

二、解答题 15. 解:(1)在△ ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ? x ? 0? ,则 BD ? 2 x . 在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2 x , 所以 cos ?CDB ?

CD 5 . ? BD 2 x

在△ ACD 中,因为 AD ? x , CD ? 5 , AC ? 5 3 , 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 . ? 2 ? AD ? CD 2? x ?5

因为 ?CDB ? ?ADC ? ? ,所以 cos ?ADC ? ? cos ?CDB , 即

x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 ?? . 2? x ?5 2x

解得 x ? 5 .所以 AD 的长为 5. (2)由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4 x2 ? 25 ? 5 3 .

6

所以 cos ?CBD ? 所以 S?ABC ?

1 BC 3 ,从而 sin ?CBD ? . ? 2 BD 2

1 1 1 75 3 ? AB ? BC ? sin ?CBA ? ? 15 ? 5 3 ? ? . 2 2 4 2

16. 证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC. 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC. 因为 PC/ ?平面 BDE,OE?平面 BDE,所以 PC // 平面 BDE. (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE. 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因 为 OE?平面 BDE,DE?平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE. 因为 PA?平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB. 17. 解: (1)由已知得 A(6,0) ,直线 ON 的 方程为 y ? ?3 x , 设 Q( x0 ,2)( x0 ? 0) ,由
3x0 ? 2 10 ? 7 10 及图 x0 ? 0 得 x0 ? 4 ,? Q(4, 2) , 5

C O

B

D E P

A

? 直线 AQ 的方程为 y ? ?( x ? 6) ,即 x ? y ? 6 ? 0 ,
? x ? ?3, ? y ? ?3 x , 由? 得? 即 B (?3,9) , ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

? AB ? (?3 ? 6)2 ? 92 ? 9 2 ,即水上旅游线 AB 的长为 9 2km .
??? ? 游轮在水上旅游线自码头 A 沿 AB 方向开往码头 B 共航行 30 分钟时间.

(2)解法一:点 P 到直线 AB 的垂直距离最近,则垂足为 C . 由(1)知直线 AB 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
? P(4,8) ,则直线 PC 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,

所以解直线 AB 和直线 PC 的方程组,得点 C 的坐标为(1,5) . 解法 2:设游轮在线段 AB 上的点 C 处,则 AC ? 18 2t , 0 ? t ?
? C (6 ? 18t ,18t ) .

1 , 2

? P(4,8) ,? PC 2 ? (2 ? 18t )2 ? (18t ? 8)2 ? 18(36t 2 ? 20t ) ? 68 , 0 ? t ?

1 , 2

当t ?

5 1 ? 时,离景点 P 最近,代入 C (6 ? 18t ,18t ) 得离景点 P 最近的点的坐标为(1,5). 18 2

18.解: (1)由题意得, c ? 1 ,所以 a2 ? b2 ? 1,

7

又点 P (1, ) 在椭圆 C 上,所以

3 2

1 9 ? 2 ? 1, 解得 a2 ? 4, b2 ? 3, 2 a 4b

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

x2 3 y 2 ? ? 1, 设点 Q( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ), (2)由(1)知, C1 : 4 4
则直线 QM 的方程为 x2 x ? y2 y ?

4 4 , ① 直线 QN 的方程为 x3 x ? y3 y ? , ② 3 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? 4 ? 3 , 所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? , 把点 Q 的坐标代入①②得 ? 3 ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
令 y ? 0, 得 m ? 所以 x1 ? 所以 (

4 4 , 令 x ? 0, 得 n ? , 3x1 3 y1

4 4 , y1 ? , 又点 Q 在椭圆 C1 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4, 即 2 ? 2 ? , 为定值. 3m 3n 3m n 4

E 在 x 轴上, (3)由椭圆的对称性,不妨设 P 1 (m, n), P 2 (m, ?n), 由题意知,点
设点 E(t ,0), 则圆 E 的方程为 ( x ? t )2 ? y 2 ? (m ? t )2 ? n2 . 由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点 E 的距离的最小值是 PE , 1
2 2 设点 M ( x, y ) 是椭圆 C2 上任意一点,则 ME ? ( x ? t ) ? y ? 2

3 2 x ? 2tx ? t 2 ? 1, 4

当 x ? m 时, ME 最小,所以 m ? ?

2

?2t 4t ? . 3 3 2



假设椭圆 C2 存在过左焦点 F 的内切圆,则 (? 3 ? t )2 ? (m ? t )2 ? n2 . 又点 P 1 在椭圆 C2 上,所以 n ? 1 ?
2



m2 . 4



由①②③得 t ? ?

3 或 t ? ? 3, 2
4t ?4 3 3 符合题意. ? ? ?2, 不合题意,舍去,且经验证, t ? ? 3 3 2

当 t ? ? 3 时, m ?

综 上,椭圆 C2 存在过左焦点 F 的内切圆,圆心 E 的坐标是 (?

3 , 0). 2

8

?e x ( x2 ? 1), x ? 1, ? 19. 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x 2 ? ?e (1 ? x ), x ? 1,
当 x ? 1 时, f ?( x) ? ex ( x2 ? 2x ? 1) , 由 f ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? 2剟 x ? 1+ 2 , 所以 f ( x) 的单调减区间为 [?1 ? 2, ?1] , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?e x ( x2 ? 2 x ? 1) , 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 2 或 x…? 1+ 2 , 所以 f ( x) 的单调减区间为 [?1+ 2,1] , 综上: f ( x ) 的单调减区间为 [?1+ 2,1] , [?1 ? 2, ?1] . (2) 当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? x2 ,则 f ?( x) ? e x ? x2 ? 2x ? e x ? e x x( x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 , (??, ?2) x ?2
f ?( x)
f ( x) (?2,0) (0, ??)

0 0 极小值

+ ↗

0 极大值

- ↘

+ ↗

所以 f ( x) 有极大值 f (?2) ?

4 ,极小值 f (0) ? 0 , e2

x 2 ? ?e ( x ? a), x ? a , 当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? ?e (a ? x ), x ? a ,

同(1)的讨论可得, f ( x) 在 (??, ? a ? 1 ? 1) 上增,在 (? a ? 1 ? 1, ? a ) 上减, 在 (? a , a ? 1 ? 1) 上增,在 ( a ? 1 ? 1, a ) 上减,在 ( a , ??) 上增, 且函数 y ? f ( x) 有两个极大值点,
f (? a ? 1 ? 1) ? 2e ? f ( a ? 1 ? 1) ? 2e
a ?1 ?1

( a ? 1 ? 1) ?

2e?
a ?1

a ?1

( a ? 1 ? 1) , e

a ?1 ?1

( a ? 1 ? 1) ?

2e

( a ? 1 ? 1) , e
a ?1

且当 x ? a ? 1 时, f (a ? 1) ? ea ?1 (a 2 ? a ? 1) ? e 所以若方程 f ( x) ? m 恰好有正根, 则 m ? f ( a ? 1 ? 1) (否则至少有二个正根) .

( a ? 1 ? 1) ?

2e

a ?1

( a ? 1 ? 1) , e

又方程 f ( x) ? m 恰好有一个负根,则 m ? f (? a ? 1 ? 1) .

9

令 g ( x) ? e? x ( x ? 1), x … 1 ,则 g ?( x) ? ? xe? x ? 0 ,
2 所以 g ( x) ? e? x ( x ?1) 在 x …1 时单调减,即 g ( x) ? g (1) ? , e

等号当且仅当 x ? 1 时取到.
2 所以 f (? a ? 1 ? 1) ? ( ) 2 ,等号当且仅当 a ? 0 时取到. e

且此时 f ( a ? 1 ? 1) ? 2e

a ?1?1

( a ? 1 ? 1) ? 0 ,

即 f (? a ? 1 ? 1) ? f ( a ? 1 ? 1) , 所以要使方程 f ( x) ? m 恰好有一个正根和一个负根, m 的最大值为 20. 解: (1) k1 ? ?1 、 k2 ? ?2 (答案不唯一) . (2)由题设, bn ?
4 . e2

an k ? n ? 2 ? (1 ? k2 ) . n n
k2 均单调递增,不合题意,因此, k2 ≥ 3 . n

当 k2 ? 1 , 2 时, f (n) ? n ?

当 k2 ≥ 3 时,对于 f (n) ? n ?

k2 , n

当 n ≤ k2 时, f (n) 单调递减;当 n ≥ k2 时, f (n) 单调递增. 由题设,有 b1 ? b2 ? b3 , b3 ? b4 ? ? . 于是由 b2 ? b3 及 b4 ? b3 ,可解得 6 ? k2 ? 12 . 因此, k 2 的值为 7,8,9,10,11. (4)因为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ? n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ,且 0 ? k1 ? k2 ,

?2an , n ? k1 or n ? k2 , 所以 cn ? an ? | an |? ? k1 ≤ n ≤ k2 . ?0,
因为 ci ? c j ? 0 ( i , j ? N* , i ? j ) ,所以 i 、 j ? (k1 , k2 ) . 于是由 cn ? 2[n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ] ,可得

k1 ? k2 i ? j ,进一步得 0 ? i ? k1 ? k2 ? j , ? 2 2

此时, i 的四个值为 1 , 2 , 3 , 4 ,因此, k1 的最小值为 5 . 又 S1 , S2 ,?, Sn 中有至少 3 个连续项的值相等, 其它项的值均不相等,不妨设 Sm ? Sm +1 =Sm +2 =? ,于是有 cm +1 =cm +2 =? ? 0 , 因为当 k1 ≤ n ≤ k2 时, cn ? 0 ,所以 5 ? k1 ≤ m ? 1 ? m ? 2 ? ?≤ k2 , 因此, k2 ≥ 6 ,即 k 2 的最小值为 6 .

21. 【选做题】

10

A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 BD.因为 AB 为直径,所以 BD⊥AC. 因为 AB=BC,所以 AD=DC. 因为 DE?BC,AB?BC,所以 DE∥AB, 所以 CE=EB. 因为 AB 是直径,AB?BC,所以 BC 是圆 O 的切线, 所以 BE =EF?EA,即 BE?CE=EF?EA. B.选修 4—2:矩阵与变换 解:矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? ?
2

C

E F D

B

O

A

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 , ? ?4

由 f ? ? ? ? 0 ,解得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 .

? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,特征方程组为 ? ? x ? 2 y ? 0, ? 2? 故属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量 ?1 ? ? ? . ?1 ? ?2 x ? 2 y ? 0, 当 ?2 ? 3 时,特征方程组为 ? ? x ? y ? 0, ?1? 故属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量 ? 2 ? ? ? . ?1?
C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 圆心为 (1,1) ,半径为 2 , 直线的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 所以圆心到直线的距离为 d ? 所以弦长 ? 2 2 ?
1 ? 7. 4

3 ?1 ? 3 2

?

1 , 2

D.选修 4—5:不等式选讲 因为 x>0,y>0,x-y>0,
2x ? 1 1 , ? 2 y ? 2( x ? y ) ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ( x ? y )2

= ( x ? y) ? ( x ? y) ? 所以 2 x ?

1 1 ≥ 3 3 ( x ? y)2 ?3, ( x ? y )2 ( x ? y )2

1 ≥ 2y ? 3. x ? 2 xy ? y 2
2

11

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率
2 3 3 3 2 2 1 3 3 2 P=C1 . 3 ( ) ( ) +C 3 ( ) ( )C 3 ( ) +C 3 ( ) C 3 ( ) =

2 1 3 3

1 2

2 3

1 3

1 2

2 3

1 2

11 36

(2)ξ 的取值为 0,1,2,3,所以 ξ 的概率分布列为 ξ 0 7 24 1 11 24 2 5 24 3 1 24

P

7 11 5 1 所以数学期望 E(ξ )=0× +1× +2× +3× =1.分 24 24 24 24 23. (本小题满分 10 分) 解: (1)当 n ? 2 时,取数 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,因为
2 ?1 ? ?3 ? Z , 1? 2
a1 ? a2 ? ?5 ? Z , a1 ? a2

当 n ? 3 时,取数 a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 4 ,则

a2 ? a3 a ? a3 ? ?7 ? Z , 1 ? ?3 ? Z ,即 a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 4 可构成三个好数. a2 ? a3 a1 ? a3

(2)证:①由(1)知当 n ? 2,3 时均存在, ②假设命题当 n ? k (k ? 2, k ? Z ) 时,存在 k 个不同的正整数 a1 , a2 ,?, ak ,其中 a1 ? a2 ? ? ? ak , 使得对任意 1 剟i ? j
k ,都有

ai ? a j ai ? a j

? Z 成立,

则当 n ? k ? 1 时,构造 k ? 1 个数 A, A ? a1 , A ? a2 ,?, A ? ak , , (*) 其中 A ? 1? 2 ? 3 ? ? ? ak , 若在(*)中取到的是 A 和 A ? ai (i ? k ) ,则
A ? A ? ai 2A ?? ? 1 ? Z ,所以成立, A ? A ? ai ai

若取到的是 A ? ai (i ? k ) 和 A ? a j ( j ? k ) ,且 i ? j , 则
A ? ai ? A ? a j A ? ai ? A ? a j ? ai ? a j ai ? a j 2A ,由归纳假设得 + ?Z , ai ? a j ai ? a j ai ? a j
2A ?Z, ai ? a j

又 a j ? ai ? ak ,所以 a j ? ai 是 A 的一个因子,即
A ? ai ? A ? a j A ? ai ? A ? a j ? ai ? a j 2A + ?Z , ai ? a j ai ? a j

所以

所以当 n ? k ? 1 时也成立. 所以对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数”.

12


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