福建省东山县第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 (附答案)

2018~2019 东山二中高二(下)月考一数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z= A. ( )

i

B.- i

C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i

2 . 已 知 z ? 2m2 ? 2 ? (m2 ? 3m ? 2)i ( m ∈ R , i 为 虚 数 单 位 ) , 则 “m= ﹣ 1” 是 “z 为 纯 虚 数 ” 的 ( ) B.必要不充分条件 C.充分必要条件
2

A.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a、 b 、c 中至少 有一个是偶数”时,下列假设正确的是 A.假设 a、 b 、c 都是偶数 C.假设 a、 b 、c 至多有一个偶数 4.欲证 2 ? 3 ? 6 ? 7 成立,只需证 A. ( 2 ? 3)2 ? ( 6 ? 7)2 C. ( 2 ? 7)2 ? ( 3 ? 6)2
'

(

)

B.假设 a、 b 、c 都不是偶数 D.假设 a、 b 、c 至多有两个偶数 ( )

B. ( 2 ? 6)2 ? ( 3 ? 7)2 D. ( 2 ? 3 ? 6)2 ? (? 7)2

5.已知函数 f ( x) ? ln x, 且 f ( m) ? A.1 B.2

1 , 则 m 的值等于 e
C.

( D. e (



1 e

6.已知函数 f ( x) ? ln x ? x, 则函数 f(x)的单调递增区间是 A.(-∞,1) B.(0,1)C.(-∞,0) , (1,+∞)



D.(1,+∞)

7.已知双曲线 C 的中心为原点,点 F ( 2,0) 是双曲线 C 的一个焦点, 点到渐近线的距离为 1,则 C 的方程为 A. x ? y ? 1
2 2





y2 ?1 B. x ? 2
2

x2 y 2 ? ?1 C. 2 3

x2 y 2 ? ?1 D. 3 3

8 . 已 知 正 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , M 是A1B1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 AM 与 B1C 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( A. )

10 5

B.

10 10

C.

3 2
-1-

D.

6 2

9.设抛物线 C:y2 ? 12 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 M 在 C 上,点 N 在 l 上,且 FN ? ? FM (? ? 0), ,若

FM ? 4 ,则 ? 的值
A.

( C.



3 2

B.2

5 2

D.3

10. 在平面几何中有结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S2 ,则

S1 1 = ,推广到空间可 S2 4 V1 = V2

以 得 到 类 似 结 论 ; 已 知 正 四 面 体 P?ABC 的 内 切 球 体 积 为 V1 , 外 接 球 体 积 为 V2 , 则 ( A. 1 8 ) 1 B. 9 C. 1 64 1 D. 27

11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 ( A. )

x2 y2 → ? ? 1 的中心和焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则→ OP·FP的最小值为 9 25
13 4 15 4
( )

11 4

B.

17 4

C.

D.

12.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) 有三个零点,则实数的取值范围是 A. (0,2) B. ( 2, e) C. (e,??) D. (2,??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知△ABC 中,A=30°,B=60°,求证 a<b. 证明:因为 A=30°,B=60°,所以 A<B,所以 a<b.画线部分是演绎推理三段论中的 前提”或“结论”) 14. .(填“大前提” “小

2 1 ? 1 ( x ? x)dx =_______

15.对于实数 x, ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:

? 1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? ? 8 ? ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 ? ? ? 10 ? ? ? 11? ? ? 12 ? ? ? 13 ? ? ? 14 ? ? ? 15 ? ? 21…… ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为______.

16.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,
-2-

如果 AB ? (2, ?1, ?4), AD ? (4,2,0), AP ? (?1,2, ?1) . 对于下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③ AP 是平面 ABCD 的法向量; ④ AP BD .其中正确的是________(填序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本题 10 分)p 命题: ?x ? R, x2 ? mx ? 1 ? 0 ;q 命题:方程 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题,求实数的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.若“p m 2

18.已知复数 z ? (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3m)i, ( m ? R ),其中 i 是虚数单位
2 2

求实数 m 的值或范围. (12 分) (1)若 z 是实数,求实数 m 的值; (3)若 z ? (2) 若 z 是纯虚数,求实数 m 的值;

4 ? 3i , z 在复平面内对应的点在第几象限? 1 ? 2i

19. (12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)求出 a2 , a3 , a4 , a5 的值;

1 3an , 且 an ?1 ? n? N* . 3 2an ? 1

?

?

(2)猜想数列 ?an ? 的通项公式并用数学归纳法证明.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PC ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, A B ? A D , AB P CD ,

AB ? 2AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点.
(Ⅰ)求证:平面 EAC ? 平面 PBC ;
-3-

(Ⅱ)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的余弦值. 3

21.椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,右焦点 F 的坐标为(2,0) ,且点 F 到短轴的一个端点的距 离是 6 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 作斜率为 k 的直线 l,与椭圆 C 交于 A、B 两点,若

4 OA ? OB ? ? ,求 k 的取值范围. 3

22. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? a( x2 ? x) ? ln x,(a ? R) . (1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取到极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证:当 n ? 2 时,

1 1 1 n ?1 ? ?…? ? . ln 2 ln 3 ln n n

-4-

2018~2019 东山二中高二(下)月考一理科数学答案 A C B C D B A A D D A D 16. ①②③

13.小前提 , 14.

3 ? ln 2 , 15. 2n2 ? n 2

17 解答: p 命题: ?x ? R, x2 ? mx ? 1 ? 0 为真,

? ? m2 ? 4 ? 0 ? ?2 ? m ? 2
q 命题为真,即方程

…………2 分

x2 y 2 ? ? 1 是焦点在轴上的椭圆, ? 0 ? m ? 2 m 2

……4 分

又“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题 p 是真命题且 q 是假命题,或 p 是假命题且 q 是真命题…………6 分

{

m ? 0或m ? 2 -2 ? m ? 2

或{

m<-2或m ? 2 0?m?2

…………8 分

m 的取值范围是 ??2,0? ??2? …………10 分
18.(1) z 是实数, m2 ? 3m ? 0, m ? 0或m ? 3. ,-----4 分
2 ? ?(m -5m+6)=0 (2) z 是纯虚数, ? 2 ,解得 m=2 ------8 分 ? ?m -3m ? 0

(3)

z?

4 ? 3i ? 2?i 1 ? 2i

? z 对应的点(2,-1)在第四象限. ---12 分
19. 当 a1 ? 猜想: a n ?

1 3 9 27 81 , a5 ? 时,可求出 a 2 ? , a 3 ? , a 4 ? , 3 5 11 29 83

3n ?1 , n ? N* . -------6 分 n ?1 3 ?2

下面用数学归纳法证明: ① n ? 1 时,不难验证公式成立;

3k ?1 ②假设当 n ? k ? k ? N ? 时公式成立,即 a k ? k ?1 ,------8 分 3 ?2
*

3 ? 3k ?1 ? k ?1??1 k ?1 3a k ?2 ? 3 ? 3 k? 则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? , 2a k ? 1 2 ? 3 1 3? k ?1??1 ? 2 ?1 3k ?1 ? 2
故此时公式也成立,
-5-

综合①②,可知 a n ?

3n ?1 . ------12 分 3n ?1 ? 2

20. (Ⅰ)? PC ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD,? AC ? PC

AB ? 4, AD ? CD ? 2,? AC ? BC ? 2 2.

? AC2 ? BC2 ? AB2 ,? AC ? BC ,又 BC ? PC ? C,? AC ? 平面PBC …………4 分

? AC ? 平面EAC ?平面EAC ? 平面PBC .………5 分

(Ⅱ)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 C (0,0,0), A(1,1,0), B(1, ?1,0)

( ,? (0,0, a) 设P (a ? 0 ) ,则 E

? 1 1 a , ) 1,1, 0) , CA =( , 2 2 2 ? ? 1 1 a ? , ), CP =( 0, 0, a ) , CE =( , . . . . . . .6 分 2 2 2
? ?

取 m ? (1, ?1,0) 则 m ? CP ? m ? CA ,∴ m 为面 PA C 的法向量 设 n ? (x , y , z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CE ? n ? CA ? 0 ,
? ?

?x ? y ? 0 ? 即 ?x ? y ? az ? 0 ,取 x =a , y =-a , z =-2 ,则 n ? (a, ?a, ?2) , . . . . . . . . . . . . . . 8分
依题意, | cos ? m, n ?|? | m ? n| ?

a a ?2
2

|m||n|

?

6 ,则 . . . . . . . . . . . . . .9 分 a =2 . 3

于是 n ? (2, ?2, ?2) , PA ? (1,1, ?2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? PA, n ??
?

r

?

| PA? n| | PA||n|
?

?

?

2 , 3

cos ? ?

7 7 ,则直线 PA 与平面 EAC 所成角的余弦值为 . . . . . . . . . .12 分 3 3
; ,

21.(I)由已知,

-6-

故椭圆 C 的方程为 (II)设

………………4 分

则 A、B 坐标是方程组 消去

的解。 ,则

, ………………7 分

所以 k 的取值范围是 22. 【解析】 (1) f '( x ) ? 2ax ? a ?

………………12 分

1 , f ( x ) 在 x ? 1 处取到极值, f '(1) ? 0 即 a ? 1 ? 0 ? a ? 1 x



检验, a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取到极小值.------3 分 (2) f '( x) ?

2ax 2 ? ax ? 1 2 ,令 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1, ( x ? 1) x
?1 ? 0 , f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减,又 f (1) ? 0 ,? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,不满足 x

1 当 a ? 0 时, f '( x) ?

f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立
2 当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 开口向上,对称轴为 x ?

1 ,过 (0, ?1) 4

①当 g (1) ? 0 即 a ? 1 时, g ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,? f '( x) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增,又

f (1) ? 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 成立,满足 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立
②当 g (1) ? 0 即 0< a ? 1 时, 存在 x0 >1,使 x ? (1, x0 ) 时,g ( x) <0,f ( x ) 单调递减,x ? ( x0 , ??)时, g ( x) >0,

-7-

f ( x) 单调递增, ? f ( x0 ) ? f (1) ,又 f (1) ? 0 ,? f ( x0 ) ? 0 故不满足题意 3 当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 开口向下,对称轴为 x ?
1 , g ( x) 在 [1, ??) 单调递减, g (1) ? a ? 1 ? 0 , 4

? g ( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减,又 f (1) ? 0 ,? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,故不满足题意
综上所述, a ? 1 (3)证明:由(1)知令 a ? 1 ,当 x ? [1, ??) 时, ( x2 ? x) ? ln x ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取“=” )

1 1 ? 2 . ln x x ? x 1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? 2 ? 2 ?…? 2 ) 即当 x ? 2,3, 4,…, n ,有 ln 2 ln 3 ln n 2 ? 2 3 ? 3 n ?n
∴当 x ? 2 时,

?

1 1 1 1 ? ? ?…? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) ? 1? ? .--------------12 分 2 2 3 3 4 n ?1 n n n

-8-


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