河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试文科数学试题(含解析)

河北省衡水中学 2019 届高三下学期一调考试 数学(文科)
一、选择题:本题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合



A.

C. 【答案】D 【解析】 【分析】

,则

()

B.

D.

解分式不等式 集可得答案

,得集合 A,再计算函数

的定义域,得集合 B,求集合 A 与集合 B 的交

【详解】因为 选择 D

,即

,得

,令

,得

,所以



【点睛】用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类

型,常借助数轴来解决数集间的关系

2.已知复数

(其中

的点位于( )

, 为虚数单位),若复数 的共轭复数的虚部为 ,则复数 在复平面内对应

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】A

【解析】

分析:先化简复数 ,根据 的共轭复数的虚部为 求出复数 ,再根据复数的几何意义确定复数在复平面内 对应的点的位置.

详解:由题意得







又复数 的共轭复数的虚部为 ,



,解得 .





∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限.

故选 A.

点睛:本题以复数的运算为基础,考查复数的基本概念和复数的几何意义,解题的关键是根据复数 的共轭

复数的虚部为 求得实数 ,由此得到复数 ,然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限.

3.函数

的部分图像大致为( )

A.

B.

C.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用

,排除选项 ;利用

D. 排除选项 ,从而可得结果.

【详解】



,排除选项 ;

,排除选项 ,故选 A.

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;

(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

4.如图,在 中,

,若



,则

()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】

,∵

,∴

,∵

,∴



,在 中,由正弦定理得

,变形得

,所以

,故选 C. 5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七

十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数 被 除余 ,被 除余 ,被 除余 ,

求 的最小值.按此歌诀得算法如图,则输出 的结果为(



A. 53

B. 54

C. 158

D. 263

【答案】A

【解析】

按程序框图知 的初值为 ,代入循环结构,第一次循环

,第二次循环



推出循环, 的输出值为 ,故选 A.

6.已知数列 , 满足



,则数列 的前 10 项和为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列和等比数列的通项公式求得 an 和 bn,从而得 ,进而利用等比数列求和公式求解即可.

【详解】由 an+1﹣an

2,

所以数列{an}是等差数列,且公差是 2,{bn}是等比数列,且公比是 2.

又因为 =1,所以 an= +(n﹣1)d=2n﹣1.

所以

b2n﹣1= ?22n﹣2=22n﹣2.



,所以 =22n﹣2,

所以

4,所以数列{?n}是等比数列,且公比为 4,首项为 1.

由等比数列的前 n 项和的公式得:

其前 10 项的和为 故选:D.

(410﹣1).

【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用,属于基础题.

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】

先由几何体的三视图还原几何体可知,该几何体为一个三棱柱截去了四分之一,进而可根据体积公式求解.

【详解】由题意可得:该几何体为一个三棱柱截去了四分之一,如图所示,

大三棱柱的底面边长分别为 3 和 4,且底面为直角三角形,三棱柱的高为 2,

所以

.

故选 B

【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积,熟记体积公式即可,属于常考题型.

8.已知函数

的部分图像如图所示,其中





,且

在下列区间中具有单调性的是( )

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意得到三角函数的周期满足 结果.

,然后取周期接近 和接近 ,分别排除 D、A、C,即可得出

【详解】因为

,所以 异号,根据题意可得





,所以 且

,即



①当周期无限接近 时,图中的最低点自左向右无限接近 ,所以 故 D 错;

在区间

上先减后增,不单调,

②当周期无限接近 又小于 时,图中最高点 的横坐标大于 0 小于 ,所以 不单调,故 A 错;

在区间

上先增后减,

图中最低点的横坐标大于 小于 , 因此选 B

在区间

上先减后增,不单调,故 C 错;

【点睛】本题主要考查三角函数图像和性质,熟记正弦型函数的图像和性质即可,属于常考题型.

9.对于函数 和 ,设



,若对所有的 , 都有

,则称 和

互为“零点相邻函数”.若函数



互为“零点相邻函数”,则实数

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先得出函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2 的零点为 x=1.再设 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 的零点为 β,根据函数 f(x) =ex﹣1+x﹣2 与 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,利用新定义的零点关联函数,有|1﹣β|≤1,

从而得出 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 的零点所在的范围,最后利用数形结合法求解即可. 【详解】函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2 的零点为 x=1. 设 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 的零点为 β, 若函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2 与 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,

根据零点关联函数,则|1﹣β|≤1,

∴0≤β≤2,如图

由于 g(x)=x2﹣ax﹣a+3 必过点 A(﹣1,4),

故要使其零点在区间[0,2]上,则





解得 2≤a≤3,

故选:D

【点睛】本题主要考查了函数的零点,考查了新定义,主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范

围问题,解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用

10.已知双曲线

的左、右顶点分别为 , , 为双曲线左支上一点,

形且其外接圆的半径为 ,则该双曲线的离心率为( )

为等腰三角

A.

B.

C.

【答案】C

【解析】

由题意知等腰 中,

,设

,则

∵ 外接圆的半径为 ,

D. ,其中 必为锐角.













设点 P 的坐标为 ,则

. ,

故点 P 的坐标为



由点 P 在椭圆上得

,整理得 ,

∴ 点睛:

.选 C.

本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查,综合性较强,解题时要抓住问题的关键和要点,从所要 求的离心率出发,寻找双曲线中 之间的数量关系,其中通过解三角形得到点 P 的坐标是解题的突破 口.在得到点 P 的坐标后根据点在椭圆上可得 间的关系,最后根据离心率的定义可得所求.

11.已知在正四棱柱

(底面是正方形的直棱柱)中,



球 上,球 与 的另一个交点为 ,且

,则球 的表面积为( )

,点 , , , 在

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

连结 , ,易证得 是矩形,则三棱柱

是球 的内接直三棱柱,∵



,∴

,即 表面积为: 12.已知关于 的方程 围是( )

,又

,∴



,∴球 的半径

,故选 B.

恰有四个不同的实数根,则当函数

,球 时,实数 的取值范

A.

B.

C. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数判断 的单调性和极值,得出方程

D. 的根分布情况,从而得出方程

恰有

四个不同的实数根等价于关于 的方程 二次函数的性质列不等式可求出 的范围.

在 上有一个解,在

上有一个解,利用

【详解】





,解得 或





或 时,

;当

时,





上单调递增,在 上单调递减,在

上单调递增,



时,函数 取得极大值



当 时,函数 取得极小值



作出 的大致函数图象如图所示,



,则当 或 时,关于 的方程

只有一个解;

当 时,关于 的方程

有两个解;



时,关于 的方程

有三个解,

恰有四个零点,

关于 的方程

在 上有一个解,

在 显然

上有一个解,

不是方程

的解,

关于 的方程

在和

上各有一个解,

,解得



即实数 的取值范围是

,故选 B.

【点睛】已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条

件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值

域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形

结合求解.一是转化为两个函数

的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的

个数就是函数零点的个数,二是转化为

的交点个数的图象的交点个数问题 .

二、填空题。

13.若直线 【答案】 【解析】

上存在点 满足约束条件

,则实数 的取值范围为_______.

试题分析:由题意,由

,可求得交点坐标为 ,要使直线

上存在点 满足约束条



,如图所示,可得 ,则实数 m 的取值范围



考点:线性规划. 14.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近 5 年的年广告支出 (单位:万元)与年销售额 (单位: 万元)进行了初步统计,如下表所示.

年广告支出 /万元

2

4

5

年销售额 /万元

30

40

6

8

50

70

经测算,年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程

,则 的值为_____.

【答案】60

【解析】

【分析】

根据表中数据先求出 的平均数,以及 的平均数,再由回归直线必然过样本中心,即可求出结果.

【详解】由题意可得





又回归直线必过样本中心,



所以 故答案为 60

,解得

.

【点睛】本题主要考查回归分析,熟记回归直线的特征即可,属于基础题型.

15.已知数列 _____.

的前 项和

.若 是 中的最大值,则实数 的取值范围是

【答案】 【解析】 【分析】

先由

求出 ,再由 是 中的最大值,即可求出结果.

【详解】因为



所以当

时,



当 时,

也满足上式;

当 时,



当 时,



综上,



因为 是 中的最大值,

所以有



,解得

.

故答案为 【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法,熟记递推公式

即可,属于基础题型.

16.如图, , 分别是椭圆

的左、右顶点,圆 的半径为 2,过点 作圆 的切线,切点为 ,

在 轴的上方交椭圆于点 ,则

_______.

【答案】 【解析】

【分析】

先连结

,可得

是边长为 2 的等边三角形,由此求出

的方程,联立直线方程求出 点

横坐标,再由圆 与直线 相切于点 ,求出直线 的方程,联立直线与椭圆方程求出 点横坐标,最后



即可求出结果.

【详解】

连结

,可得

是边长为 2 的等边三角形,所以



可得直线 的斜率

因此,直线 的方程为





,直线 的斜率为 ,直线 的方程为

, ,



解得



因为圆 与直线 相切于点 ,所以

,因此

故直线 的斜率

,因此直线 的方程为

去得

,解得 或 ,

因为直线 交椭圆于

与 点,设 ,可得 ,

, ,代入椭圆方程

,消

由此可得

.

故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结和椭圆的性质求解,属于常考 题型.
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在

中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若





.

(1)求角 的大小;

(2)求 的面积.

,点 在线段 上,且

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】

【分析】

(1)根据

,利用正弦定理可得

,由两角和的正弦公

式结合诱导公式可得 ,在

,从而得 中,在 中,在

,进而可得结果;(2)设 中,结合

方程组求得

,根据三角形面积公式可得结果.

, ,利用余弦定理列

【详解】(1)根据

可得









,∴





,∴

又∵ (2)设

,∴ . ,

. .

在 中,由余弦定理可得

在 中,由余弦定理可得

由于

,故

.
. ,

即 整理可得

, .①

在 中,由余弦定理可知 代入①式整理可得

.所以

. .

据此可知 的面积

.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的应用,属于中档题. 本题主要考查余弦定

理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1)



(2)

,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的

问题时,还需要记住

等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.

18.如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点,



(I)证明:平面

平面 ;

(II)若



三棱锥

的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

【答案】(1)见解析(2)3+2 【解析】

试题分析:(Ⅰ)由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD,由 BE 平面 ABCD 知 AC BE,由线面垂直判定

定理知 AC 平面 BED,由面面垂直的判定定理知平面

平面 ;(Ⅱ)设 AB= ,通过解直角三角

形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来,在 AEC 中,用 x 表示 EG,在 EBG 中,用 x 表示 EB,根

据条件三棱锥

的体积为 求出 x,即可求出三棱锥

的侧面积.

试题解析:(Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC BD,

因为 BE 平面 ABCD,所以 AC BE,故 AC 平面 BED.

又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC 平面 BED

(Ⅱ)设 AB= ,在菱形 ABCD 中,由 ABC=120°,可得 AG=GC= ,GB=GD= .

因为 AE EC,所以在 AEC 中,可得 EG= .

由 BE 平面 ABCD,知 EBG 为直角三角形,可得 BE= .

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 从而可得 AE=EC=ED= .

.故 =2

所以 EAC 的面积为 3, EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .

故三棱锥 E-ACD 的侧面积为

.

考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理能力;运算求

解能力

19.到 2020 年,我国将全面建立起新的高考制度,新高考采用 模式,其中语文、数学、英语三科为必 考科目,满分各 150 分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣、爱好等因素, 在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门(6 选 3)参加考试,满分各 100 分.为 了顺利迎接新高考改革,某学校采用分层抽样的方法从高一年级 1000 名(其中男生 550 名,女生 450 名) 学生中抽取了 名学生进行调查. (1)已知抽取的 名学生中有女生 45 名,求 的值及抽取的男生的人数. (2)该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了解学生对这两个科目的选 课情况,对在(1)的条件下抽取到的 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个 科目,且只能选择一个科目),得到如下 列联表.

选择“物理”

选择“地理”

总计

男生

10

女生

25

总计

(i)请将列联表补充完整,并判断是否有 以上的把握认为选择科目与性别有关系. (ii)在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取 6 名,再从这 6 名学生中抽取 2 名,求这 2 名 中至少有 1 名男生的概率.

附:

,其中 0.05

. 0.01

3.841

6.635

【答案】(1) 【解析】 【分析】

,55 人 (2) (i)见解析;(ii)

(1)根据题意可得

,求解即可得出 的值,进而可得抽取的男生人数;

(2)(i)根据题中数据先完善列联表,再由 即可的结果;

求出 的值,结合临界值表

(ii)先由题易知抽取的选择“地理”的 6 名学生中,有 2 名男生,分别记为 , ,4 名女生,分别记为

, , , ;用列举法分别列举出“6 名学生中随机抽取 2 名”和“其中至少有 1 名男生”所包含的基本

事件,基本事件个数比即是所求概率.

【详解】解:(1)由题意得
则抽取的男生的人数为 (2)(i)

,解得



.

男生 女生 总计

选择“物理” 45 25 70

选择“地理” 10 20 30

总计 55 45 100

则 所以有

, 以上的把握认为送择科目与性别有关系.

(ii)由题易知抽取的选择“地理”的 6 名学生中,有 2 名男生,分别记为 , ,4 名女生,分别记为 ,

,, .

从 6 名学生中随机抽取 2 名,有 , , , , , , , , , , , , , , ,共

15 种情况,其中至少有 1 名男生的有 , , , , , , , , ,共 9 种情况,

故所求概率为

.

【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题,需要考生熟记分层抽样特征、独立性

检验的思想、以及古典概型的计算公式,属于常考题型.

20.已知焦点在 轴上的抛物线 过点 ,椭圆 的两个焦点分别为 , ,其中 与 的焦点重合,过

点 与 的长轴垂直的直线交 于 , 两点,且

,曲线 是以坐标原点 为圆心,以

圆.

(1)求 与 的标准方程;

(2)若动直线 与 相切,且与 交于 , 两点,求

的面积 的取值范围.

为半径的

【答案】(1) 的标准方程为 【解析】 【分析】 (1)先由已知设抛物线 的方程为

. 的标准方程为

.(2)

,根据抛物线 过点 ,即可求出抛物线方程,得出

坐标,再由题意可得 径的圆,根据 坐标坐标得出

,进而可求出椭圆方程;又曲线 是以坐标原点 为圆心,以 的值,即可写出圆的标准方程;

为半

(2)先由直线 与 相切,得圆心 到直线 的距离为 1,因此

,根据题意分类讨论:

当直线 的斜率不存在和斜率存在两种情况,结合韦达定理和弦长公式,分别求出 的范围即可.

【详解】解:(1)由已知设抛物线 的方程为





,解得 ,即 的标准方程为

.



,不妨设椭圆 的方程为





,得

,所以





,所以 ,



故 的标准方程为

.

易知

,所以 的标准方程为

.

(2)因为直线 与 相切,所以圆心 到直线 的距离为 1.所以

当直线 的斜率不存在时,其方程为

,易知两种情况所得到的

. 的面积相等.



,得

.

不妨设



,则

此时

.

当直线 的斜率存在时,设其方程为

, ,



,即

.



,得



所以











.

所以

恒成立.



,则



所以





,则



易知

区间 上单调递减,所以

.

综上,

的面积 的取值范围为

.

【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合,以及直线与圆锥曲线的位置关系,通常需要联立直线与曲线方程,

结合韦达定理与弦长公式等求解,属于常考题型.

21.已知函数 (1)若关于 的不等式

,. 对

恒成立,求 的取值范围.

(2)设函数

,在(1)的条件下,试判断

的正负;若不存在,请说明理由.

在区间

上是否存在极值.若存在,判断极值

【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)当

极值,且极值均为正.

时, 在

上不存在极值;当

时, 在 上存在

【解析】

试题分析:(1)不等式恒成立问题,一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题:

的最大值,利用导数研究函数

最值,易得 在

上单调

递减,所以

,因此 ,(2)即研究 导函数的零点情况,先求导数,确定研

究对象为

,再求目标函数导数,确定单调性:先增后减,两个端点值都小于零,讨论

最大值是否大于零,最后结合零点存在定理确定极值点个数.

试题解析:解:(Ⅰ)由

,得







上恒成立.

设函数

,.







,∴



∴当

时,



∴在

上单调递减.

∴当

时,



∴ ,即 的取值范围是



(Ⅱ)











,则





,得 .



时,

;当

时,



∴ 在 上单调递增,在 上单调递减.









据(Ⅰ),可知



(ⅰ)当

,即 时,





∴ 在 上单调递减.

∴当 时, 在 上不存在极值.

(ⅱ)当

,即

时,

则必定

,使得

,且



当 变化时, , , 的变化情况如下表:

-

0

+

0

-

-

0

+

0

-



极小值



极大值



∴当

时, 在 上的极值为

,且









,其中







,∴ 在 上单调递增,



,∴



,当且仅当 时取等号.

∴当

时, 在 上的极值



综上所述:当 正.

时, 在

上不存在极值;当

时, 在 上存在极值,且极值均为

注:也可由

,得

.令

后再研究 在 上的极值问题.

点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数

的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,

便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质

很难研究,就不要使用分离参数法.

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为

( 为参数).以坐标原点 为极点, 轴的 .

(1)求 的普通方程和 的直角坐标方程;

(2)已知直线 的极坐标方程为

, 是 与 的交点, 是 与 的交点,且 , 均

异于原点 ,

,求 的值.

【答案】(1) 的普通方程为

. 的直角坐标方程为

.

(2) 【解析】

【分析】

(1)根据曲线 的参数方程,消去参数,即可得到 的普通方程;由

两边同时乘以 ,即可得到

,进而可得 的直角坐标方程;

(2)根据 的直角坐标方程先得到其极坐标方程,将 分别代入 和 的极坐标方程,求出 和 ,再



,即可求出结果.

【详解】解:(1)由

消去参数 ,得 的普通方程为

.



,得

,又





所以 的直角坐标方程为

.

(2)由(1)知曲线 的普通方程为



所以其极坐标方程为

.

设点 , 的极坐标分别为 , ,







所以



所以

,即



解得





,所以

.

【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化,熟记公式即

可,属于常考题型.

23.[选修 4-5:不等式选讲]

已知函数

.

(1)当 时,求关于 的不等式

的解集;

(2)若当

时,

恒成立,求 的最小值.

【答案】(1) 【解析】

;(2)3.

【分析】

时不等式化为

,零点分段法去掉绝对值,化为不等式求解集即可;

时不等式恒成立,化为

恒成立;画出





上的图象,利用数形结合法求得 k、b 的取值范围,从而求得 的最小值.

【详解】解: 当 时,不等式化为





,或

,或



解得 ,或

,或



综上,原不等式的解集为 ; 时,不等式

恒成立,

可化为

恒成立;

画出



的图象,如图所示:

由图象知当 ,且 时,

的图象始终在

的上方,

,即 的最小值为 这时 ,

【点睛】本题考查了零点分段法求绝对值不等式的解集,考查了不等式恒成立问题,也考查了数形结合思

想的应用,是中档题.


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