高中数学 8_2_7 随机变量的方差同步精练 湘教版选修2-31

高中数学 8.2.7 随机变量的方差同步精练 湘教版选修 2-3
基础巩固 1 一批数量较大的商品的次品率为 3%,从中任意地连续取出 30 件,取出的次品数为 X,则 ( ) A.E(X)=0.9,D(X)=0.837 B.E(X)=0.3,D(X)=0.873 C.E(X)=0.9,D(X)=0.873 D.E(X)=0.3,D(X)=0.837 2 在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 )

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( A.9.4,0.484 C.9.5,0.04 B.9.4,0.016 D.9.5,0.016

3 甲、乙两台自动车床生产同种标准产品 1 000 件,ξ 表示甲机床生产 1 000 件产品中的次品 数,η 表示乙机床生产 1 000 件产品中的次品数,经过一段时间的考察,ξ 、η 的分布列分别是: ξ P 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1

η P 据此判定( )

0 0.5

1 0.3

2 0.2

A.甲比乙质量好 C.甲与乙的质量相同

B.乙比甲质量好 D.无法判定 ) 35 D. 16
3

4 设投掷一个骰子的点数为随机变量 ξ ,则 D(ξ )为( 7 A. 2 49 B. 4 35 C. 12

3 5 若随机变量 X1~B(n,0.2),X2~B(6,p),X3~B(n,p),且 E(X1)=2,D(X2)= ,则 2 的值是… ( A.0.5 ) B. 1.5 C. 2.5 D.3.5

6 设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=________时,成功次数的标准
1

差最大,其最大值为________. 7 有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开,用它们去试开门上的 锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不能放回,求试开次数 ξ 方差. 的数学期望和

综合过关 8 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c〔a,b, 2 1 c∈(0,1)〕,已知他投篮一次得分的期望为 2,则 + 的最小值为________. a 3b 9 若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量 ξ 表示 A 在一次试验中发 生的次数. (1)求方差 D(ξ )的最大值; (2)求 能力提升 10 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了 n 株 沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学期望 E(ξ )为 3,标准差 σ (ξ )为 6 . 2 ξ ξ -1 的最大值.

(1)求 n,p 的值,并写出 ξ 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.

参考答案

1 解析:由题意知 X~B(30,3%),则 E(X)=0.9,D(X)=0.873. 答案:C 2 答案:D 3 解析:∵E(ξ )=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(η )=0×0.5+1×0.3+2×0.2 =0.7, 由于 E(ξ )<E(η ),∴甲生产的次品数平均比乙生产的次品数少,故选 A. 答案:A 4 解析:ξ 的分布列为

2

ξ P

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

1 ∴E(ξ )=(1+2+3+4+5+6)× =3.5, 6 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 D(ξ ) = (1 - 3.5) × + (2 - 3.5) × + (3 - 3.5) × + (4 - 3.5) × + (1 - 3.5) × + (5 - 6 6 6 6 6 1 1 35 2 2 3.5) × +(6-3.5) × = ,故选 C. 6 6 12 答案:C 5 解析:∵X1~B(n,0.2),∴E(X)=0.2n=2,∴n=10. 3 又 X2~B(6,p),∴D(X2)=6p(1-p)= , 2 1 ∴p= . 2 1 又 X3~B(n,p),∴X3~B(10, ),∴ 2 答案:C 6 解析:由二项分布性质得 σ (ξ )= 为 5. 1 答案: 2 5 - 1 ,所以当 p= 时,σ (ξ )最大,其最大值 2
3



1 1 10× × = 2.5,故选 C. 2 2

7 解:ξ 的可能取值为 1,2,3,…,n. 1 1 1 n-1 1 1 P(ξ =1)= ;P(ξ =2)=(1- )· = · = ; n n n-1 n n-1 n 1 1 1 n-1 n-2 1 1 P(ξ =3)=(1- )·(1- )· = · · = ;… n n-1 n-2 n n-1 n-2 n P(ξ = k) = (1 - 1 1 1 1 1 )·(1 - )·(1 - )…(1 - )· = n n-1 n-2 n-k+2 n-k+1

n-1 n-2 n-3 n-k+1 1 1 · · ·…· · = ,所以 ξ 的分布列为 n n-1 n-2 n-k+2 n-k+1 n ξ P 1 1 n 2 1 n … … k 1 n … … n 1 n

1 1 1 1 n+1 E(ξ )=1· +2· +3· +…+n· = , n n n n 2 D(ξ ) = (1 - n+1 2 1 n+1 2 1 n+1 2 1 n+1 2 1 ) · + (2 - ) · + (3 - ) · +…+ (k - ) · +…+ (n - 2 n 2 n 2 n 2 n

n+1 2 1 1 2 n+1 2 1 1 2 2 2 ) · = (1 +2 +3 +…+n )-(n+1)(1+2+3+…+n)+( ) ·n]= · n(n+1)(2n+1) 2 n n 2 n 6
3



+ 2

2



+ 4

2

n -1 ]= . 12

2

2 8 解析:由已知得 3a+2b+0×c=2,即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b 2 1 又 + = ( + ) a 3b 2 a 3b 1 2b a =3+ + + 3 a 2b 10 ≥ +2 3 2b a 16 · = , a 2b 3

2b a 1 1 2 1 16 当且仅当 = 且 3a+2b=2,即 a= 且 b= 时取等号,所以 + 的最小值为 . a 2b 2 4 a 3b 3 16 答案: 3 9 解:随机变量 ξ 的所有可能的取值是 0,1,并且有 P(ξ =1)=p,P(ξ =0)=1-p. 从而 E(ξ )=0×(1-p)+1×p=p; D(ξ )=(0-p) ×(1-p)+(1-p) ×p=p-p . 1 2 1 2 (1)D(ξ )=p-p =-(p- ) + . 2 4 ∵0<p<1, 1 1 ∴当 p= 时,D(ξ )取最大值,最大值是 . 2 4 (2) ξ ξ -1 = -p p
2 2 2 2

-1 1 =2-(2p+ ). p

∵0<p<1, 1 ∴2p+ ≥2 2. p 1 2 当 2p= ,即 p= 时取“=”. p 2 因此当 p= 2 时, 2 ξ ξ -1 取最大值 2-2 2.

10 分析:对(1)可由期望和方差公式列方程组求得 n、p 的值,再求出分布列;对(2)可借用(1) 的结论,再求出概率即可. 解:由题意知,ξ 服从二项分布 B(n,p),P(ξ =k)=Cnp (1-p)
k k n-k

,k=0,1,2,…,n.

3 1 1 (1)由 E(ξ )=np=3,D(ξ )=np(1-p)= ,得 1-p= ,从而 n=6,p= . 2 2 2 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6

4

P

1 64

6 64

15 64

20 64

15 64

6 64

1 64

(2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 P(A)=P(ξ ≤3),得 1+6+15+20 21 P(A)= = , 64 32 或 P(A)=1-P(ξ >3)=1- 15+6+1 21 = . 64 32

5


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