高中数学选修2-1_全部课件_图文

1.1.1-1.1.2命题 与四种命题
高二数学 选修2-1
白塔中学

第一章
张忠印

常用逻辑用语

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师,一天, 他与一位批评家“狭路相逢”,这位文艺批评家生性 古怪,遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明, 一边高地往前走。一边大声说道:“我从来不给傻子 让路!”而对如此的尴尬的局面,但只是歌德笑容可 掏,谦恭的闪在一旁,一边有礼貌回答道“呵呵,我 可恰恰相反,”结果故作聪明的批评家,反倒自讨没 趣。

你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗?

常用逻辑用语
“数学是思维的科学”

逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

命题及其关系
1.1.1 命题

思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? ? (1) 12>5; ? (2) 3是12的约数; 语句都是陈述句, ? (3) 0.5是整数; ? (4)对顶角相等; 并且可以判断真假。 ? (5)3 能被2整除; ? (6)若x2=1,则x=1.

命题的概念
(1) 12>5; (3) 0.5是整数; (5)3 能被2整除;
?

(2) 3是12的约数; (4)对顶角相等; (6)若x2=1,则x=1.

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题。 ? 判断为真的语句叫做真命题。 ? 判断为假的语句叫做假命题。 ? 理解: 1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准 必 须确定,判断的结果可真可假,但真假必居其一。 2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的 真假。

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题。如何判断一个语句是不是命题?
7是23的约数吗? 2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
1)

疑问句 开语句

祈使句

判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符 合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们无法 确定这语句的真假,这样的语句叫开语句,以后会专门研 究。

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何? 不是(疑问句)

2) 你是不是作业没交? 不是(疑问句) 3) 这里景色多美啊! 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。 不是(感叹句) 是(否定陈述句) 是(肯定陈述句) 不是(开语句)

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (是,真) (是,假) (2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)指数函数是增函数吗?(不是命题)
(4)若平面上两条直线不相交,
则这两条直线平行. (是,真)

( ?2) 2 ? ?2 (5)

(是,假)

(6)x>15. (不是命题)

练习
(2) x
2

判断下列语句是否是命题 .
? 2 x ? 1 ? 0.

(1)求证 3 是无理数。

(3)你是高二学生吗?

(4)并非所有的人都喜欢苹果。
(5)一个正整数不是质数就是合数。 (6)若

x ? R ,则 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0.

(7)x+3>0. (1)(3)(7)不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题。

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p ?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。 ?其中p和q可以是命题也可以不是命题. ?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨 别,缺点是太格式化且不灵活.

“若p则q”形式的命题的书写
了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与 结论。 ? 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 ? 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平 面平行。
?

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 2)

若整数a能被2整除,则a是偶数; 菱形的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。 2) 写成若p,则q 的形式:若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

例3 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行

(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.

真命题 真命题 假命题 假命题 真命题

练习
1、将命题“a>0时,函数y=ax+b的值随x值的增 加而增加”改写成“p则q”的形式,并判断命题的 真假。 解答:a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的值也随之 增加,它是真命题.

在本题中,a>0是大前提,应单独给出, 不能把大前提也放在命题的条件部分内.

2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。

(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。

命题及其关系
1.1.2 四种命题

回顾
? ? ?

交换原命题的条件和结论,所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论,所得的命 否命题。 题是________ 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 逆否命题。 所得的命题是__________

原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐p, ? 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p

观察与思考



1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。
2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数。
3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数。 4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数。

你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?

课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

看下面的例子:

2.四种命题的真假

1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真) (假) 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 (真) 3)原命题:若x∈A∪B,则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题: x∈ UA∪ UB ,x∈A∪B 。 假 假 否命题: x?A∪B,x ? UA∪ UB。

(真) (真) (真) (真)

Help

逆否命题: x ? UA∪ UB ,x?A∪B 。



四种命题的真假,有且只有下面四种情况:

原命题
真 真 假 假

逆命题
真 假 真 假

否命题
真 假 真 假

逆否命题
真 真 假 假

几条结论:
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为真。但

其逆命题、否命题不一定为真。
(2) 若其逆命题为真,则其否命题一定为真。但

其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想? 由以上三例及总结我们能发现什么? 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

练一练
1.判断下列说法是否正确。 (对) 1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真;
2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真。 3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假。 4)一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为( )个。 答:0个、2个、4个。 如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A。 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ。 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A。 (对) (错) (错)

(假) (假) (假) (假)

练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x ? 2 x ? q ? 0 有实根。
2

(2)若ab=0,则a=0或b=0. (3)若 m ? 0 或n ? 0,则 m ? n ? 0 。 (4)若 x
2

? y ? 0,则x,y全为零。
2

总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

反证法:
要证明某一结论A是正确的,但不直接证 明,而是先去证明A的反面(非A)是错 误的,从而断定A是正确的。 ? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法。
?

反证法的步骤:
1. 假设命题的结论不成立,即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发,通过推理论证,得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确。

王新敞
奎屯

新疆

例 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2+q2=2,则p+q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性,要证原命题为真命题,可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p ? q ? 2, 则p ? q ? 2.”

例 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
证明: 假设 p ? q ? 2 ,
则 ( p ? q) 2 ? 4 , ∴ p 2 ? q 2 ? 2 pq ? 4 ,
2 2

假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立

∵ p ? q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p ? q ) ? 4 , ∴ p ? q ? 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p ? q ? 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.

变式练习
p 3 ? q 3 ? 2。求证:p ? q ? 2. 1、已知
解:假设p+q>2,那么q>2-p,

q3 ? (2 ? p)3 , 根据幂函数 y ? x 的单调性,得 q3 ? 8 ? 12 p ? 6 p 2 ? p 3 , 即 1? ? 2 3 3 2 p ? q ? 8 ? 12 p ? 6 p ? 6 ?( p ? 1) ? ? , 3? ? p3 ? q3 ? 2. 因此 p3 ? q3 ? 2. 所以 这说明,原命题的逆否命题为真命题,从而原 命题为真命题。
3

可能出现矛盾四种情况:
与题设矛盾; 与反设矛盾; 与公理、定理矛盾; 在证明过程中,推出自相矛盾的结论。

? ?

?
?



用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a ? b .
证明: 假设

a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以

a< b? a a? b a
a b ? b b ? a <b
这些条件都与已知a

a = b ? a =b
a? b

? b ? 0 矛盾
成立

所以原命题



圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知:如图,在⊙O中,弦AB、CD交于P,且AB、 CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.

证明: 假设弦AB 、CD被P平分, ∵P点一定不是圆心O,连接OP, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直, 这与垂线性质矛盾, ∴弦AB、CD不被P平分。

若a2能被2整除,a是整数, 求证:a也能被2整除.
证:假设a不能被2整除,则a必为奇数, 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数, 这与题中的已知条件(a2能被2整除)相矛 盾, ∴a能被2整除.

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系?
1. 2. 3. 4.

若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1.

2.

互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p

若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; p q 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; q p

原命题与其逆 例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题是“两 命题的真假是 直线平行,同位角相等”。 否存在相关性 呢?

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系?
若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
1.
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q” 互否命题 原命题 (原命题的)否命题

原命题:若p,则q

否命题:若┐p,则┐q

原命题与其否 例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题是“同 命题的真假是 位角不相等,两直线不平行”。 否存在相关性 呢?

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系?
若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
1.

互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是 原命题与其逆 否命题的真假 “两直线不平行,同位角不相等”。
是否存在相关 性呢?

三个概念
1、互逆命题:如果第一个命题的条件(或题设)是第二个 命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那 么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的逆命题。 2、互否命题:如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题。如果 把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命 题。 3、互为逆否命题:如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做 互为逆否命题。

原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐p, ? 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p

判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。

否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。 ? 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。 ? 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ,则┐q 。
?

例 设原命题是“当c >0 时,若a >b ,则ac >bc ”,写出它 的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假:

解: 逆命题:当c >0 时,若ac >bc ,则a >b. 逆命题为真. 否命题:当c >0 时,若a ≤b ,则ac ≤ bc . 否命题为真. 逆否命题:当c >0 时,若ac ≤ bc ,则a ≤b . 逆否命题为真.

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论
是 都是 大于 小于

反设词
不是 不都是

原结论
至少有一个 至多有一个

反设词
一个也没有 至少有两个

至少有n个 至多有(n-1)个 不大于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立

练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x ? 2 x ? q ? 0 有实根。
2

(2)若ab=0,则a=0或b=0.


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