专题讲座——三角函数高考常见题型(华师大内部讲义)

三角函数高考常见题型
三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题,试题难度一般不大,但其战略意义重大,所以稳拿该题 12 分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷,可以发现,三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一 起,且向量为辅,三角为主,主要有以下三类:

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 3 3 x x ? 例 1 已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ? [ , ? ] 。 2 2 2 2 2
(1)若 | a ? b |? 3 ,求 x 的取值范围; (2)函数 f ( x) ? a ? b? | a ? b | ,若对任意 x1 , x2 ? [

?
2

, ? ] ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? t ,求 t 的取值范围。

解: (1)? | a |?| b |? 1, a ? b ? cos 2x,? | a ? b |? 2 ? 2cos 2 x ? ?2cos x ? 3 , 即 cos x ? ?

3 ? 5? .? x ? [ , ? ],? ? x ?? 。 2 2 6
1 2
2

(2) f ( x) ? a ? b ? | a ? b |? cos 2 x ? 2 cos x ? 2(cos x ? ) ?

3 。 2

? ?1 ? cos x ? 0,? f ( x)max ? 3, f ( x)min ? ?1 ,又? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x)max ? f ( x)min ? 4,?t ? 4
二、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及 对称中心。
例2 若 m ? ( 3sin ? x,0), n ? (cos ? x, ? sin ? x), ? ? 0 ,在函数 f ( x) ? m ? (m ? n) ? t 的图象中,

对称中心到对称轴的最小距离为

? ? ,且当 x ? [0, ] 时, f ( x ) 的最大值为 1。 4 3
(2)若 f ( x) ? ?

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

1? 3 , x ? [0, ? ] ,求实数 x 的值。 2

解:由题意得 m ? n ? ( 3sin ? x ? cos ? x, ? sin ? x) ,

f ( x) ? m ? (m ? n) ? t ? ( 3sin ? x,0) ? ( 3sin ? x ? cos ? x, ? sin ? x) ? t ? 3sin ? x( 3sin ? x ? cos ? x) ? t ? 3sin 2 ? x ? 3sin ? x ? cos ? x ? t
? 3 3 3 ? 3 ? cos 2? x ? sin 2? x ? t ? 3 sin(2? x ? ) ? ? t 2 2 2 3 2
(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为

? ,∴ f ( x ) 的最小正周期 T ? ? , 4 2? ? 3 ? ? ? , ? ? 1,? f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? ? t 。 2? 3 2

1

当 x ? [0,

?
3

] 时, 2 x ?

?
3

? [?

? ?

? 3 3 , ],? sin(2 x ? ) ? [? , ] ,? f ( x) ?[t ,3 ? t ] 。 3 3 3 2 2

? 1 ? f ( x) max ? 1,? 3 ? t ? 1, t ? ?2,? f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? 。 3 2
(2)由 f ( x) ? ? 故 2x ?

? 1 ? ? 5? 1? 3 ,得 sin(2 x ? ) ? ? ,由 x ? [0, ? ] ,得 ? ? 2 x ? ? 。 3 2 3 3 3 2

?
3

??

?
6



7? ? 3? ,? x ? 或 。 6 12 4

1 1 ? 例 3 已知向量 a ? (sin? , ? ) , b ? (1 , 2 cos ? ) , a ? b ? , ? ? (0, ) 2 5 2 (1)求 sin 2?及 sin? 的值; 2 值是多少,并求 f ( x) 的单调增区间。
解: (1) a ? b ? sin? ? cos? ? (2)设函数 f ( x) ? 5sin(?2 x ?

?

? ? ) ? 2 cos2 x ( x ?[

, ]) ,求 x 为何值时, f ( x) 取得最大值,最大 24 2

? ?

1 1 24 , (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? , 5 25 25

(sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? sin 2? ?

49 7 3 4 ,∴ sin? ? cos? ? ,∴ cos? ? , sin? ? . 25 5 5 5 (2) f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? 1 ? cos 2 x ? 5(cos 2 x cos? ? sin 2 x sin? ) ? cos 2 x ? 1

3 4 ? ? ? ? 5( cos 2x ? sin 2x) ? cos 2x ? 1 ? 4 cos 2x ? 4 sin 2x ? 1 ? 4 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,∵ ?x? , 4 24 2 5 5


?
3

? 2x ?

?
4

?

5? ? ? ,∴当 x ? 时, f max ( x) ? f ( ) ? 1 ? 2 6 ,要使 y ? f ( x) 单调递增, 4 24 24

∴?

?
2

? 2k? ? 2x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , ?

3? ? ? ? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z) ,又 x ?[ , ] ,∴ y ? f ( x) 的单调增区间为 8 8 24 2

[

, ]. 24 8
例4 设向量 a ? (cos

? ?

x x 3 3 ? , sin ),向量b ? (sin x, cos x), x ? [0, ] . 2 2 2 2 2
(Ⅱ)若函数 f ( x) ? a ? b ? 2 | a ? b | ,求 f ( x) 的最小值、最大值.

(Ⅰ)求 a ? b及 | a ? b | ; 解: (I) a ? b ? cos

x 3x x 3x 3x x sin ? sin cos ? sin( ? ) ? sin 2 x, 2 2 2 2 2 2
2 2

?| a ? b | 2 ? (a ? b) 2 ? a ? b ? 2a ? b ? 2 ? 2 sin 2 x, ?| a ? b |? 2 ? 2 sin 2 x ? 2(1 ? sin 2 x) ? 2(sin x ? cos x) 2 ? 2 (sin x ? cos x).( x ? [0, ]). 2
(II)由(I)得: f ( x) ? sin 2 x ? 2(sin x ? cos x) ? 2 sin x cos x ? 2(sin x ? cos x). 令 sin x ? cos x ? t ,? x ? [0, ],? t ? [1, 2 ],? 2 sin x ? cos x ? t 2 ? 1, 2

?

?

? y ? t 2 ? 1 ? 2t ? (t ? 1) 2 ? 2, t ?[1, 2 ] 。?当t ? 1时, ymin ? 2;当t ? 2 时, ymax ? 1 ? 2 2.
三、解三角形问题,判断三角形形状,正余弦定理的应用。
2

x x x 已知函数 f ( x) = sin cos + 3 cos2 . 3 3 3 (I)将 f ( x) 写成 A sin(wx + j ) + B 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (II)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2= a c,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及此时函数 f ( x) 的

例5

值域.
3 3 3 1 2x 2x 1 2x 2x 解: (I)f(x) = sin + (1+ cos )= sin + cos + 2 3 3 2 3 3 2 2 2

=sin(

3k-1 3 2x p 2x p 2x p + )+ .由 sin( + )= 0,即 + =kπ(k∈Z),得 x= p (k∈Z),即对称中心的横坐标为 2 3 3 3 3 3 3 2

3k-1 p ,(k∈Z). 2

(II)由已知 b2=ac,得 cosx= ∴

1 p a 2 + c2 -b2 a 2 + c2 -ac 2ac-ac 1 ≥ = .∴ ≤cosx<1,0<x≤ . = 2 3 2ac 2 2ac 2ac

p 2 x p 5p p p 5p p p 2x p < + ≤ .∵ | - | > | - | ,∴sin <sin( + )≤1. 3 3 9 3 3 3 3 2 9 2 3

3 3 3 3 2x p + <sin( + )+ ≤1+ , 3 3 2 2 2 2

即 f(x)的值域为( 3 ,1+ 例6

3 ). 2

在△ ABC 中,角 A,B , C 的对边分别为 a, b ,c.已知向量 m ? (a ? c, b ? a) , n ? (a ? c, b) ,

且m?n. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ? sin B ?

6 ,求角 A 的值。 2
2 2 2

解: (1)由 m ? n 得 (a ? c)(a ? c) ? (b ? a)b ? 0 ; 即 a ? b ? c ? ab ,又 cos C ?
2 2 2

整理得 a ? b ? c ? ab ? 0 .

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? ? .又因为 0 ? C ? ? ,所以 C ? . 2ab 2ab 2 3

(2)因为 C ? 由 sin A ? sin B ?

?
3

,所以 A ? B ?

2? 2? , 故B? ? A. 3 3

6 2? 6 3 1 6 .即 sin A ? , , 得 sin A ? sin( ? A) ? cos A ? sin A ? 2 3 2 2 2 2

所以 3 sin A ? cos A ? 2 .即 sin( A ? 故 A?

?
6

)?

?
6

?

?
4

或 A?

?
6

?

? 7? 3? ,∴ A ? 或A? . 12 12 4

2 2 .因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? ? 5? , 2 3 6 6 6

三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点,因此,熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件,在 日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯。再者,填空题答案书写的规范也需反复强调。

3


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