福建省福州三中2013届高三第二次月考数学理试题

福州三中 2013 届高三 10 月份月考

数学(理)试题
注意事项: 本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ (选择题 卷

共 60 分)

一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意要求的。 1.已知 i 是虚数单位,满足 (1 ? i) z ? ?3 ? i 的复数 z 等于 ( ) A.-1+2i

B.-2-I

C.-1-2i

D.-2+i

2.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a2 ? 3, a6 ? 11, 则 S7 等于 ( ) A.13

B.35

C.49

D.63

???? ? ??? ? ??? ? 3.在△ ABC 中,M 为 AC 中点,若 AB ? (4,1), AC ? (2,3), 则 AM ?
( ) A. (6,4) B. (1,1) C. (3,2) 4.已知某几何体的三视图如图所示,则其体积为 ( ) A.8 B.4 C. D. (2,3)

3 4

D. 2 3
2

5.已知 a ? R, 则 " a ? 2" 是" a ? 2a " 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 x 6.若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间 2





A. (0, )

1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( , )

1 2 2 3

D. ( ,1) )

2 3

7. P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动, 点 则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为 (

1

A.

1 4

B.

1 2

C.

? 4

D. ?

8.函数 f ( x) ? 1n ( )

1 的大致图象为 | x ? 1|

x 9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 恒成立,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 ,则

f (1og2 6) 的值为
( ) B.2 C.

3 A. 2
10. 函数 f ( x) ? ?

3 4

D.-2

?1, x ? Q. ex ?1 , 则关于函数 h( x) ? f ( x), g ( x) 的奇偶性的判 , g ( x) ? x e ?1 ??1, x ? [ R Q,
) B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数 共 100 分)

断,正确的是 ( A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数

第Ⅱ (非选择题 卷

二、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置。 11.对某校 400 名学生的体重(单位:kg)进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,则 学生体重在 60kg 以上的人数为 。

2

12.若实数 x、y 满足 ? 是 。

?x ? y ? 4 , 则 z ? 2 x ? y 是最小值 ? y ? 3x
1 , 则b ? 4


13.在△ ABC 中,a,b,c 是三个内角,A,B,C 所对的边,若 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ? ( )
2

14.若命题“ ?x ? R, 使 x ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围是

15.给定区间 D,对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 及任意 x1 , x2 ? D (其中 x1 ? x2 ) ,若不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则称函数 f ( x) 相对于函数 g ( x) 在区间 D 上是
“渐先函数”。已知函数 f ( x) ? ax ? ax 相对于函数 g ( x) ? 2 x ? 3 在区间[a,a+2]上是
2

渐先函数,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别 a、b、c, B ? (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )当 x ? [0,

2? , a ? 2c sin A. 3

?
2

] 时,求函数 f ( x) ? sin 2x ? 4cos A cos2 x 的最大值

17. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,在 x 轴 a 2 b2

上有一点 B,满足 AB ? AF2 且 F1 为 BF2 的中点。 (Ⅰ )求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ )若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,判断椭圆 C 和直线 l 的位置关系。

3

18. (本小题满分 13 分) 已知全集 ? ? {1, 2,3, 4,5,6} 。 (Ⅰ )求集合 U 的非空子集的个数; (Ⅱ )若集合 M={2,3},集合 N 满足 M ? N ? ? ,记集合 N 元素的个数为 ? ,求 ? 的 分布列数数学期望 E ? 。

19. (本小题满分 13 分) 已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,△ ACD 为等腰直角三角形,AC⊥ AD,且 AD=DE=2AB, F 为 CD 中点。 (Ⅰ )求证:平面 BCE⊥ 平面 CDE; (Ⅱ )求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 7.
3 2

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )求 a ? 2 时,证明:对于任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f '(a)( x ? a);

4

(Ⅲ )设 x0 是函数 y ? f ( x) 的零点,实数 ? 满足 f (a) ? 0, ? ? ? ? 数? 、

f (a) ,试探究实 f '(a)

? 、 x0 的大小关系。
21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。 、 、 如果多做,则按所做的前两题记分,作答时,先在答题卡上把所 选题目对应的题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 M ??

?a ?3

1 ? ? 有 特 征 值 ? ? ?1 及 对 应 的 一 个 特 征 向 量 d ?

?1 ? e1 ? ? ? 。 ? ?3 ?
(Ⅰ )求距阵 M; (Ⅱ )设曲线 C 在矩阵 M 的作用下得到的方程为 x ? 2 y ? 1 ,求曲线 C 的方程。
2 2

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ,曲线 P 在以该 (t 为参数) ? y ? t ?1

直角坐标系的原点 O 的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为

p2 ? 4 p cos? ? 3 ? 0 。
(Ⅰ )求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ )设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |, 不等式 t ? f ( x) 在 x ? R 上恒成立。 (Ⅰ )求实数 t 的取值范围; (Ⅱ )记 t 的最大值为 T,若正实数 a、b、c 满足 a ? b ? c ? T , 求 a ? 2b ? c 的最大
2 2 2

值。

5

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分 1 A 6 B 2 C 7 C 3 C 8 D 4 B 9 A 5 A 13 10 A 14 二、填空题:每小题 4 分,共 20 分 11 12

100 5
4

m ?1

? 5 ? 41 a? 4
15



? 1? 17 a? 2
……2 分 ……4 分 ……6 分 ……8 分

三、 解答题:共 80 分 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )因为 a ? 2c sin A ,由正弦定理得 sin A ? 2 sin C sin A ,

1 因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,解得 sin C ? . 2 ? ? 2? 又因为 B ? ,所以 C ? (0, ) ,所以 C ? . 3 2 6
(Ⅱ )由(Ⅰ )知, A ?

?

6 所以 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? sin 2x ? 3(1 ? cos2x)



? sin 2x ? 3 cos2x ? 3 ? = 2 sin( 2 x ? ) + 3 . 3 ? ? ? 4? ], 因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 3 3 3 所以 f (x) 的最大值是 2 ? 3 .
17.

……11 分

……13 分

(本小题满分 13 分) (Ⅰ )由题意知 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , A(0, b) .
2 2 2 因为 AB ? AF2 ,所以在 Rt?ABF 中, BF ? AB ? AF . 2 2 2

……2 分 ……4 分

又因为 F1 为 BF2 的中点,所以 (4c) 2 ? ( 9c 2 ? b 2 ) 2 ? a 2 ,

6

又 a ? b ? c ,所以 a ? 2c .故椭圆的离心率 e ?
2 2 2

c 1 ? . a 2

……6 分

1 a 3 a ,于是 F2 ( ,0) , B ( ? a,0) , 2 2 2 1 Rt?ABF 的外接圆圆心为 F1 (? a,0) ,半径 r ? a . 2 2 1 ? a ?3 2 ? a ,解得 a ? 2 ,所以 c ? 1 , b ? 3 . 所以 2 x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为: 4 3 ? x2 y2 ?1 ? ? 2 由? 4 得: 13x ? 24x ? 0 ,可得 ? ? 0 ,所以直线和椭圆相交. 3 ?x ? 3 y ? 3 ? 0 ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 c ? 分 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )集合 U 的非空子集的个数为 63 个. (Ⅱ ? 的所有取值为 2,3,4,5,6 . )

……8 分

……11 分

……13

……5 分

0 1 2 3 4 满足条件的集合 N 所有可能的结果总数为: C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 2 4 ? 16 . ……7 分 则每个随机变量 ? 的概率分别为:
0 C4 C1 1 C2 3 1 ? , P(? ? 3) = 4 = , P(? ? 4) = 4 ? , 16 8 16 16 16 4 3 4 C C 1 1 P(? ? 5) ? 4 ? , P(? ? 6) = 4 ? . 16 4 16 16 所以 ? 的分布列为:

P(? ? 2) ?

……11 分

E? ? 2 ?

1 1 3 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 . 16 4 8 4 16

……13 分

19. (本小题满分 13 分)


A 为原点, AC 、 AD 、 AB 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.
……1 分 ……2 分
z B E

设 AB ? a ,因为 ?ACD 为等腰直角三角形, AC ? AD ,且 AD ? DE ? 2 AB , 所以 B(0,0, a) , C (2a,0,0) , D(0,2a,0) , E (0,2a,2a) , 所 以 BC ? (2a,0,?a) , BE ? (0,2a, a) ,

CD ? (?2a,2a,0) , DE ? (0,0,2a) .
C x F

……分
A

Dy

7

(Ⅰ )设平面 BCE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则由 ? 令 z ? 2 ,则 n1 ? (1,?1,2) . 设平面 CDE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,则由 ? 令 x ? 1 ,则 n2 ? (1,1,0) . 所以 n1 ? n2 ? 0 ,所以平面 BCE ? 平面 CDE .

?n1 ? BC ? 0 ? ?n1 ? BE ? 0 ?

,得 ?

?2ax ? az ? 0 , ?2ay ? az ? 0
……5 分

?n2 ? CD ? 0 ? ?n2 ? DE ? 0 ?

,得 ?

?? 2ax ? 2ay ? 0 , 2az ? 0 ?
……7 分 ……8 分

(Ⅱ )因为 F 为 CD 中点,所以 F (a, a,0) , BF ? (a, a,?a) . 则 cos ? BF, n1 ??

BF ?n1 BF ? n1

?

? 2a 6 ? 3a

??

2 . 3
2 3

……11 分

设直线 BF 和平面 BCE 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? BF, n1 ? ? 所以直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ )由 f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ? 0 得 x ? ?

2 . 3
2 或2 . 3

……15 分

……2 分

则 f (x) 的单调递增区间为 (?? ,? ) , (2,??) ,

2 3

2 ,2) . 3 (Ⅱ )令 g ( x) ? f ( x) ? f (a) ? f ?(a)(x ? a) , 2 2 则 g ?(x ) = 3x ? 4x ? 4 ? (3a ? 4a ? 4) , 记 g ?( x) ? h( x) , 因为当 x ? 2 时, h?( x) ? 6 x ? 4 ? 0 ,则 h(x) 在 (2,??) 单调递增 又因为 g ?(a) ? h(a) ? 0 , 所以当 2 ? x ? a 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? a 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g (x) 在 ( 2, a ) 递减,在 (a,??) 递增, 所以 g ( x) ? g (a) ? 0 成立,所以命题得证.
单调递减区间为 (?

……4 分

……6 分

……8 分 ……9 分

8

(Ⅲ )因为 f (x) 的单调递增区间为 (?? ,? ) , (2,??) ,单调递减区间为

2 3

2 2 149 (? ,2) ,且 f (? ) ? ? ? 0, 3 3 27 所以函数 f (x) 的零点 x0 只有一个,且 x0 ? 2 ,
且对 (??, x0 ) 内的任意实数 x ,都有 f ( x) ? 0 因为 f (? ) ? 0 ? f ( x0 ) ,所以 ? ? x0 ? 2 所以 f ?(? ) ? (3? ? 2)(? ? 2) ? 0 在(Ⅱ )的结论中,取 a ? ? , x ? x0 , 则有 f (? ) ? f ?(a)(x0 ? ? ) ? f ( x0 ) ? 0 ……① ……11 分 ……12 分

f (? ) ,得 f (? ) ? f ?(? )(? ? ? ) ? 0 ……② f ?(? ) 构造函数 F ( x) ? f (? ) ? f ?(? )(x ? ? ) 则由① F ( x0 ) ? 0 ,由② F ( ? ) ? 0 得 得 因为 f ?(? ) ? 0 所以 F ( x) ? f (? ) ? f ?(? )(x ? ? ) 为增函数 所以 x0 ? ? 因为 F (? ) ? f (a) ? 0 ? F ( ? ) ,所以 ? ? ? 综上得 x0 ? ? ? ? .
由? ?? ? 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

……14 分

? a 1 ?? 1 ? ? 1 ? ?a ? 3 ? ?1 ?? ? ? (?1)? ? ,即 ? , ?? ? ? ? 3? ? 3 d ?? ? 3? ? ? ?3 ? 3d ? 3 ? 2 1? ?a ? 2 解得 ? ,所以 M ? ? ? 3 0? . ? ? ? ?d ? 0
(Ⅰ )依题意得: ? ?
2

……2 分 ……3 分
2

( Ⅱ) 设曲 线 C 上 一点 P( x, y) 在 矩 阵 M 的 作 用下 得到 曲线 x ? 2 y ? 1 上 一 点 P?( x?, y?) ,

? x? ? ? 2 1 ?? x ? ? x? ? 2 x ? y ??? , ? ? 3 0 ?? y ? ,即 ? y? ? 3x ?? ? ? y? ? ? ?? ? ? 2 2 2 2 又因为 ( x?) ? 2( y?) ? 1 ,所以 (2x ? y) ? 2(3x) ? 1 , 2 2 整理得曲线 C 的方程为 22x ? 4 xy ? y ? 1 .
则? ?

……5 分

……7 分

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ( Ⅰ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为 ……3 分 x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 . 2 2 (Ⅱ )曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 ( 2,0) ,半径 r ? 1 的圆, 则圆心到直线 C 的距离为 d ?

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .……7 分 2

9

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ )不等式 t ? f (x) 在 x ? R 上恒成立,则 t ? f (x) min , 又因为 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,所以函数 f (x ) 的最小值为 3 , 所以 t 的取值范围为 (??,3] .
2 2 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )知, T ? 3 ,即 a ? b ? c ? 3 .

……3 分

由柯西不等式知:(a ? 2b ? c) 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 )(12 ? 22 ? 12 ) , (a ? 2b ? c) 2 ? 18 . 则 所以 a ? 2b ? c 的最大值为 3 2 , 当且仅当 a ? ……6 分 ……7 分

2 2 ,b ? 2 ,c ? 时等号成立. 2 2

10


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