湖北省华中师大一附中2017届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017 学年湖北省华中师大一附中高三(上)期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的. 1.集合 A={y|y=2x﹣1},B={x||2x﹣3|≤3},则 A∩B=( ) A.{x|0<x≤3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|0≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 2.设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z 在复平面内对应的点在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.数列{an}中,a1=1,an+1=2an﹣2n,则 a17( ) 16 17 16 A.﹣15×2 B.15×2 C.﹣16×2 D.16×217 4.sinθ+cosθ=﹣ ,θ 是第二象限的角,则 tanθ( D.﹣ ) , =(1,sin2x) .设 f(x)= ? ,若 f(α﹣ )=( D. =x +y , ) )=2,α∈ )

A.﹣3 B.﹣2 C.﹣ 5.已知向量 =(2cos2x, [ ,π],则 sin(2α﹣ B.

A.﹣

C.﹣

6. 两个单位向量 , 的夹角为 60°, 点 C 在以 O 圆心的圆弧 AB 上移动, 则 x+y 的最大值为( ) A.1 B. C. D.

7. = 已知函数 f (x)

, 若函数 y=f (x) ﹣4 有 3 个零点, 则 a 的值为 (



A.3 B.4 C.5 D.6 8.下列四个命题中,正确的个数是( ) 2 ①命题“存在 x∈R,x ﹣x>0”的否定是“对于任意的 x∈R,x2﹣x<0”; ②若函数 f(x)在上有零点,则 f<0; ③在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则公差 d 为﹣ ; ④函数 y=sin2x+cos2x 在[0, A.0 9.若 B.1 C.2 D.3 ,则 P,Q,R 的大小关系为( ) ]上的单调递增区间为[0, ].

<θ<π,P=3cosθ,Q=(cosθ)3,R=(cosθ)

A.R<Q<P B.Q<R<P C.P<Q<R D.R<P<Q

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10.实数 x,y 满足

,若目标函数 z=mx+y(m>0)的最大值为 5,则 m 的值

为( A.

) B. C.2 D.5

11.定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,f'(x) (x﹣1)>0,则对任意的 x1 <x2,f(x1)>f(x2)是 x1+x2<2 的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知函数 y=f(x)的定义域的 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x,y∈R, 等式 f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足 f(an+1)f( (0) ,则下列结论成立的是( ) A.f(a2013)>f(a2016) B.f(a2014)>f(a2017) C.f(a2016)<f(a2015) D.f(a2013)>f(a2015) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填写在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. )=1(n∈N*) ,且 a1=f

13.关于 x 的不等式

表示的平面区域是等腰直角三角形,则该三角形的面积





14.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 4cos2 ﹣cos2(B+C)= , 若 a=2,则△ABC 的面积的最大值是 . .

15.已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy 的最小值为

16.已知函数 f(x)=m(x+m+5) ,g(x)=2x﹣2,若任意的 x∈R,总有 f(x)<0 或 g(x) <0,则 m 的取值范围是 . 三、解答题:写出文字说明,证明过程或演算过程. 17.已知 f(x)=( xinωx+cosωx)cosωx﹣ ,其中 ω>0,若 f(x)的最小正周期为 4π.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)锐角三角形 ABC 中, (2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 18.如图所示,△ABC 中,D 为 AC 的中点,AB=2,BC= (1)求 cos∠ABC 的值; (2)求 BD 的值. ,∠A= .

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19.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+2n+1. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn=an2n,求{bn}的前 n 项和 Tn. 20.已知函数 f(x)= (a≠0) .

(1)试讨论 y=f(x)的极值; (2)若 a>0,设 g(x)=x2emx,且任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)﹣g(x2)≥﹣1 恒成 立,求 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中 a 是实数) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)若设 2(e+ )<a< ,且 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,求 f(x1)﹣f(x2)

取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) . 22.已知 f(x)=|x﹣1|﹣|2x+3|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)关于 x 的不等式 f(x)≤ a2﹣a 的解集为 R,求 a 的取值范围.

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2016-2017 学年湖北省华中师大一附中高三(上)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的. 1.集合 A={y|y=2x﹣1},B={x||2x﹣3|≤3},则 A∩B=( ) A.{x|0<x≤3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|0≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出集合 A,B,然后求解交集即可. 【解答】解:集合 A={y|y=2x﹣1}={y|y>0},B={x||2x﹣3|≤3}={x|0≤x≤3}, 则 A∩B={x|0<x≤3}. 故选:A. 2.设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z 在复平面内对应的点在( A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:∵(1﹣i)z=2i, ∴(1+i) (1﹣i)z=2i(1+i) , 化为 z=i﹣1 则 z 在复平面内对应的点(﹣1,1)在第二象限. 故选:C. 3.数列{an}中,a1=1,an+1=2an﹣2n,则 a17( A.﹣15×2 B.15×2 【考点】数列递推式.
16 17 16



) C.﹣16×2 D.16×217

【分析】an+1=2an﹣2n,变形为 【解答】解:∵an+1=2an﹣2n, ∴ ﹣ =﹣ ,



=﹣ ,利用等差数列的通项公式即可得出.

∴数列

是等差数列,公差为﹣ .



= ﹣ (n﹣1)=



可得 an=(2﹣n)?2n﹣1,
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∴a17=﹣15×216. 故选:A.

4.sinθ+cosθ=﹣

,θ 是第二象限的角,则 tanθ( D.﹣



A.﹣3 B.﹣2 C.﹣

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】已知等式两边平方,利用同角三角函数间基本关系化简求出 sinθcosθ 的值,然后 由倍角公式进行计算. 【解答】解:∵sinθ+cosθ=﹣ ,

∴1+2sinθcosθ=1+sin2θ= ,则 sin2θ=﹣ . 又∵θ 是第二象限的角,即 ∴π<2θ<2π, ∴cos2θ= , <θ<π,

∴tanθ=

=

=﹣ .

故选:C. 5.已知向量 =(2cos2x, [ ,π],则 sin(2α﹣ B.

) , =(1,sin2x) .设 f(x)= ? ,若 f(α﹣ )=( D. )

)=2,α∈

A.﹣

C.﹣

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】进行数量积的运算,并化简即可得出 f(x)= 即可得出 cos2α= 样便可求出 【解答】解:f(x)= = = = ;
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,这样根据

,而由 α 的范围便可得出 2α 的范围,从而求出 α,这

的范围.

∴ ∴ ∵ ∴2α∈[π,2π]; ∴ ∴ 故选 C. ; ; ;

=﹣2cos2α+1=2;



6. 两个单位向量 , 的夹角为 60°, 点 C 在以 O 圆心的圆弧 AB 上移动, 则 x+y 的最大值为( ) A.1 B. C. D.

=x

+y



【考点】数量积表示两个向量的夹角;基本不等式. 【分析】本题是向量的坐标表示的应用,结合图形,利用三角函数的性质,即可求出结果. 【解答】解:∵两个单位向量 , 的夹角为 60°,点 C 在以 O 圆心的 =x +y , 圆弧 AB 上移动, 建立如图所示的坐标系,则 B(1,0) ,A(cos60°,sin60°) , 即 A( , ) . =x +y =(cosα,sinα)=( x+y, x) ,

设∠BOC=α,则



∴x=

sinα,y=cosα﹣

sinα,

∴x+y=cosα+

sinα=

sin(α+60°) . ≤sin(α+60°)≤1, ,

∵0°≤α≤60°,∴60°≤α+60°≤120°,∴ 故当 α+60°=90°时,x+y 取得最大值为 故选:D.

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7. = 已知函数 f (x) A.3 B.4 C.5 D.6

, 若函数 y=f (x) ﹣4 有 3 个零点, 则 a 的值为 (



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由已知中函数函数 y=f(x)﹣4= 函数的零点,及 x=4 时,函数的零点,进而可得实数 a 的值. 【解答】解:由题意,函数 y=f(x)﹣4= x≠a 时,函数关于 x=a 对称,此时 f(x)=4 一定有两个零点,则当 x=a 时,f(x)=4,∴ a=4. 若 x≠4,则 ﹣2=0,则 x=1.5 或 x=5.5; ,我们分别判断出 x≠4 时,

若 x=4,则 a﹣4=0,则 a=4, 满足函数 y=f(x)﹣4 有 3 个零点 故选 B. 8.下列四个命题中,正确的个数是( ) ①命题“存在 x∈R,x2﹣x>0”的否定是“对于任意的 x∈R,x2﹣x<0”; ②若函数 f(x)在上有零点,则 f<0; ③在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则公差 d 为﹣ ; ④函数 y=sin2x+cos2x 在[0, A.0 B.1 C.2 D.3 ]上的单调递增区间为[0, ].

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】写出原命题的否定,可判断①;根据函数零点的存在定理,可判断②;求出满足 条件的公差,可判断③;根据三角函数的单调性,可判断④ 【解答】解:①命题“存在 x∈R,x2﹣x>0”的否定是“对于任意的 x∈R,x2﹣x≤0”;故错 误; ②若函数 f(x)在上有零点,则 f<0 不一定成立,故错误; ③在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则(2+2d)2=2(2+3d) ,
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解得:d=﹣ ,或 d=0,故错误; ④函数 y=sin2x+cos2x= ∈[ , ], ].即在[0, ]上函数 y=sin2x+cos2x 的单调递增区间为[0, ].故 sin(2x+ ) ,x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],令 2x+

解得:x∈[0, 正确; 故选:B.

9.若

<θ<π,P=3cosθ,Q=(cosθ)3,R=(cosθ)

,则 P,Q,R 的大小关系为(



A.R<Q<P B.Q<R<P C.P<Q<R D.R<P<Q 【考点】不等式比较大小. 【分析】判断三个数的范围,即可比较大小. 【解答】解: R=(cosθ) <θ<π,cosθ∈(﹣1,0)且 P=3cosθ<1,Q=(cosθ)3∈(﹣1,0) ; ,∈(0,1) . ,

(cosθ)3>(cosθ) 可得:R<Q<P. 故选:A.

10.实数 x,y 满足

,若目标函数 z=mx+y(m>0)的最大值为 5,则 m 的值

为( A.

) B. C.2 D.5

【考点】简单线性规划. 【分析】由 z=mx+y(m>0) ,得 y=﹣mx+z,利用 z 与直线截距之间的关系确定直线的斜率 满足的条件即可求出 a 的值. 【解答】解:由 z=mx+y(m>0) ,得 y=﹣mx+z, ∵m>0,∴直线的斜率为﹣m<0, 作出不等式组对应的平面区域如图: 若﹣m≥﹣1,即 0<m≤1 时,平移直线 y=﹣mx+z, 得直线经过点 A 时直线截距最大,





,即 A( , ) ,

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此时 m+ =5,得 m=7,此时 m 不成立, 若﹣m<﹣1,即 m>1 时,平移直线 y=﹣mx+z, 得直线经过点 C 时直线截距最大, 由 得 ,即 C(2,1) ,

此时 2m+1=5,得 m=2, 故选:C

11.定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,f'(x) (x﹣1)>0,则对任意的 x1 <x2,f(x1)>f(x2)是 x1+x2<2 的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】 根据条件判断函数的对称性和单调性, 结合函数单调性和对称性之间的关系进行转 化求解即可. 【解答】解:由 f(x)=f(2﹣x) ,得函数关于 x=1 对称, 由 f'(x) (x﹣1)>0 得, x 1 当 > 时,f′(x)>0,此时函数为增函数, 当 x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数, 若 x1<x2,当 x2≤1,函数为减函数,满足对任意的 x1<x2,f(x1)>f(x2) , 此时 x1+x2<2, 若 x2>1, ∵函数 f(x)关于 x=1 对称,则 f(x2)=f(2﹣x2) , 则 2﹣x2<1, 则由 f(x1)>f(x2)得 f(x1)>f(x2)=f(2﹣x2) , 此时函数在 x<1 时为减函数, 则 x1<2﹣x2,即 x1+x2<2, 即对任意的 x1<x2,f(x1)>f(x2)得 x1+x2<2, 反之也成立, 即对任意的 x1<x2,f(x1)>f(x2)是 x1+x2<2 的充要条件, 故选:B

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12.已知函数 y=f(x)的定义域的 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x,y∈R, 等式 f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足 f(an+1)f( (0) ,则下列结论成立的是( ) A.f(a2013)>f(a2016) B.f(a2014)>f(a2017) C.f(a2016)<f(a2015) D.f(a2013)>f(a2015) 【考点】抽象函数及其应用. 【分析】利用恒等式和赋值法求 f(0)的值,由恒等式化简 f(an+1)f( )=1,得到 )=1(n∈N*) ,且 a1=f

数列的递推公式,依次求出 a2、a3、a4,判断数列{an}是周期数列,再由周期性求出 a2013、 a2014、a2015、a2016、a2017,即可比较大小,选出答案项. 【解答】解:∵对任意的实数 x,y∈R,f(x)?f(y)=f(x+y)恒成立, ∴令 x=﹣1,y=0,则 f(﹣1)?f(0)=f(﹣1) , ∵当 x<0 时,f(x)>1,∴f(﹣1)≠0,则 f(0)=1, ∵f(an+1)f( ∴f(an+1+ 即 an+1=﹣ )=1=f(0) , )=f(0)=a1,则 an+1+ ,且 a1=1, =0,

当 n=1 时,a2=﹣ ;当 n=2 时,a3=﹣2;当 n=3 时,a4=1, ∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列, ∴a2013=a3=﹣2,a2014=a1=1,a2015=a2=﹣ , a2016=a3=﹣2,a2017=a1=1, 故选:C. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填写在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

13.关于 x 的不等式

表示的平面区域是等腰直角三角形,则该三角形的面积







【考点】简单线性规划. 【分析】讨论直线斜率,作出对应的区域,求出交点坐标,结合三角形的面积公式进行求解 即可. 【解答】解:当 k=0 时,对应的三角形为△OAB,此时三角形为等腰直角三角形,满足条 件,此时 OB=1,则对应的面积 S= ,

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若 k≠0,直线 kx﹣y+1=0 与 x+y=0 垂直,则 k=1, 此时对应的三角形为△OAB,此时三角形为等腰直角三角形,满足条件,





,得 A(﹣ , ) ,

则三角形的面积 S=

= ,

综上该三角形的面积为 或 , 故答案为: 或 .

14.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 4cos2 ﹣cos2(B+C)= , 若 a=2,则△ABC 的面积的最大值是 . 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】利用三角形的内角和,结合已知条件等式,可得关于 A 的三角方程,从而可以求 得 A 的大小,利用余弦定理及基本不等式,可求得 bc,从而可求△ABC 的面积的最大值. 【解答】 (本题满分为 10 分) 解:∵A+B+C=π, ∴4cos2 ﹣cos2(B+C)=2(1+cosA)﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3= , ∴2cos2A﹣2cosA+ =0. ∴cosA= . …

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∵0<A<π,∴A=

°.…

∵a=2,由余弦定理可得:4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc, (当且仅当 b=c=2,不等式等号成立) . ∴bc≤4. ∴S△ABC= bcsinA≤ × 故答案为: . = .…

15.已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy 的最小值为 e . 【考点】等比数列的通项公式;基本不等式. 【分析】由题意可得 lnx>0,lny>0,lnx?lny= ,由基本不等式可得 lnx+lny 的最小值,由 对数的运算可得 xy 的最小值. 【解答】解:∵x>1,y>1,∴lnx>0,lny>0, 又∵ ∴ = 成等比数列, ,解得 lnx?lny= ,

=1, 由基本不等式可得 lnx+lny≥2 当且仅当 lnx=lny,即 x=y= 时取等号, 故 ln(xy)=lnx+lny≥1=lne,即 xy≥e, 故 xy 的最小值为:e 故答案为:e 16.已知函数 f(x)=m(x+m+5) ,g(x)=2x﹣2,若任意的 x∈R,总有 f(x)<0 或 g(x) <0,则 m 的取值范围是 ﹣6<m<0 . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】画出函数图象,结合图象求出 m 的范围即可. 【解答】解:结合题意,画出图象,如图示:



若任意的 x∈R,总有 f(x)<0 或 g(x)<0, 显然 m<0,且 1+m+5>0,即 m>﹣6, 故答案为:﹣6<m<0.
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三、解答题:写出文字说明,证明过程或演算过程. 17.已知 f(x)=( xinωx+cosωx)cosωx﹣ ,其中 ω>0,若 f(x)的最小正周期为 4π.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)锐角三角形 ABC 中, (2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性. 【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2ωx+ f x) =sin 用周期公式可求 ω, 可得函数解析式: ( ( x+ k∈Z,可得 f(x)的单调递增区间. (2)利用正弦定理化简已知,整理得 cosB= ,进而解得 B= A+ < ,根据正弦函数的性质可求 f(A)的取值范围. ,利用已知求得范围 < ) , 令 2kπ﹣ ≤ x+ ) ,利 ,

≤2kπ+

【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵f(x)=( = sin2ωx+ cos2ωx ) ,… xinωx+cosωx)cosωx﹣

=sin(2ωx+

∵最小正周期为 4π, ∴ω= = ,可得:f(x)=sin( x+ ≤ x+ ≤2kπ+ ) ,… ≤x≤3kπ+ ,k∈Z,

∴令 2kπ﹣

,k∈Z,可得:4kπ﹣ ,3kπ+ ],k∈Z…

∴f(x)的单调递增区间为[4kπ﹣ (2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC, ∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,

整理得 2sinAcosB=sinA,可得:cosB= ,解得:B= ∵锐角三角形 ABC,

,…





∴ ∴

<A< < A+

,… < ,可得: <f(A)< .…

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18.如图所示,△ABC 中,D 为 AC 的中点,AB=2,BC= (1)求 cos∠ABC 的值; (2)求 BD 的值.

,∠A=



【考点】余弦定理. 【分析】 (1)在△ABC 中利用正弦定理可求 sinC,利用大边对大角可得 C 为锐角,利用同 角三角函数基本关系式可求 cosC,利用两角差的余弦函数公式即可计算得解 cos∠ABC 的 值. (2)由已知在△ABC 中,利用余弦定理可求 AC,进而在△ABD 中,利用余弦定理可求 BD. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵在△ABC 中, ,sinA= ,

∴sinC=

=

=

,由 BC>AB,可得:A>C,C 为锐角,

∴cosC= ∴cos∠ABC=cos( (2)∵AB=2,BC=

=

, ﹣C)=cos ,cos∠ABC= cosC+sin . sinC= .

∴在△ABC 中,AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=9,可得:AC=3, ∴在△ABD 中,BD2=AB2+AD2﹣2AB×ADcosA= ∴BD= .… ,

19.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+2n+1. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn=an2n,求{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和.
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【分析】 (1)由 Sn=3n2+2n+1 知,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n﹣1,验证 n=1 时是否适合, 即可求得{an}的通项公式; (2)bn=an2n,易求 T1=12,n>1 时,Tn=6×2+11×22+17×23+…+(6n﹣1)×2n,利用错 位相减法可求得{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)∵Sn=3n2+2n+1, ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2+2n+1﹣[3(n﹣1)2+2(n﹣1)+1]=6n﹣1, 当 n=1 时,a1=6,不适合上式, ∴an= …..

(2)∵bn=an2n, ∴n=1 时,T1=b1=a1×2=12….. n>1 时,Tn=6×2+11×22+17×23+…+(6n﹣1)×2n,① 2Tn=6×22+11×23+17×24+…+(6n﹣7)×2n+(6n﹣1)2n+1,②… ②﹣①得:Tn=﹣32﹣6(23+24+…+2n)+(6n﹣1)2n+1 =16+(6n﹣7)×2n+1.….. ∴Tn= .…

20.已知函数 f(x)=

(a≠0) .

(1)试讨论 y=f(x)的极值; (2)若 a>0,设 g(x)=x2emx,且任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)﹣g(x2)≥﹣1 恒成 立,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的极值即可; (2)结合题意得到 f(x)min(x1)+1≥gmax(x2) ,法一:分离参数问题转化为 m≤﹣ 从而求出 m 的范围即可;法二:通过分类讨论求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)=﹣ , ,

a>0 时,当 x=﹣1 时,f(x)的极小值为 f(﹣1)=﹣ , 当 x=1 时,f(x)的极大值为 f(1)= , a<0 时,当 x=﹣1 时,f(x)的极大值为 f(﹣1)=﹣ , 当 x=1 时,f(x)的极小值为 f(1)= ; (2)方法一:由题意知,x1,x2∈[0,2], f(x)min(x1)+1≥gmax(x2) , x1∈[0,2],fmin(x1)+1=1,
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x∈[0,2],x2emx≤1,m≤﹣

,m≤{﹣

}min,m≤﹣ln2,

方法二:分类讨论 x1∈[0,2],fmin(x1)+1=1, ∴x∈[0,2],gmax(x)≤1, g(x)=x2emx,g′(x)=emxx(mx+2) , 1)当 m≥0 时,g(x)在[0,2]上单调递增, gmax(x)=g(2)=4?e2m≤1,解得:m≤﹣ln2(舍) , 2)当﹣1<m<0 时,g(x)在[0,2]上单调递增, gmax(x)=g(2)=4e2m≤1,解得:m≤﹣ln2, ∴﹣1<m≤﹣ln2, 3)当 m≤﹣1 时,g(x)在[0,﹣ ]上单调递增,在[﹣ ,2]上单调递减,

gmax(x)=g(﹣ )= 综合得:m≤﹣ln2.

≤1,解得:m≤﹣ ,∴m≤﹣1,

21.已知函数 f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中 a 是实数) . 1 f x ( )求 ( )的单调区间; (2)若设 2(e+ )<a< ,且 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,求 f(x1)﹣f(x2)

取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) . 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)求出 f(x)的定义域为(0,+∞) , 利用导数性质和分类讨论思想能求出 f(x)的单调区间. f x1) f x2) = (2) 推导出 ( ﹣( = , 令h (x) , ( ) , = ,由此



<0 恒成立,由此能求出 f(x1)﹣f(x2)的取值范围.

【解答】解: (1)∵f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中 a 是实数) , ∴f(x)的定义域为(0,+∞) , = ,….

令 g(x)=2x2﹣ax+2,△=a2﹣16,对称轴 x= ,g(0)=2, 当△=a2﹣16≤0,即﹣4≤a≤4 时,f′(x)≥0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间.… 2 当△=a ﹣16>0,即 a<﹣4 或 a>4 时, ①若 a<﹣4,则 f′(x)>0 恒成立,
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∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ,无减区间.… ②若 a>4,令 f′(x)=0,得 , ,

当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,x1) , (x2,+∞) ,单调递减区间为(x1,x2) .… 综上所述:当 a≤4 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间. 当 a>4 时,f(x)的单调递增区间为(0,x1)和(x2,+∞) ,单调递减区间为(x1,x2) .… (2)由(1)知,若 f(x)有两个极值点,则 a>4,且 x1+x2= >0,x1x2=1,∴0<x1<1 <x2, 又∵ 又 0<x1<1,解得 ∴f(x1)﹣f(x2)=( =( ,a=2( .… )﹣( ) ) , ,e+ < <3+ ,

)﹣a(x1﹣x2)+2(lnx1﹣lnx2) ﹣a(x1﹣x2)+2ln )?(x1+ )+4lnx1

=(x1﹣x2) =﹣(

=

,…

令 h(x)=

, (

) ,



<0 恒成立,

∴h(x)在( 即

)单调递减,∴h( )<h(x)<h( ) , ﹣4ln3, , ) .…

﹣4<f(x1)﹣f(x2)<

故 f(x1)﹣f(x2)的取值范围为( 22.已知 f(x)=|x﹣1|﹣|2x+3|. (1)解不等式 f(x)>2;

(2)关于 x 的不等式 f(x)≤ a2﹣a 的解集为 R,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.
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【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,求出各个区间上的 x 的范围,取并集即可; (2)求出 f(x)的范围,得到关于 a 的不等式,解出即可. 【解答】解: (1) ,①,



,②,



,③,

解①得:﹣2<x≤﹣ , 解②得:﹣ <x<﹣ , 解③得:x∈?, 综上得解集为:{x|﹣2<x<﹣ };

(2)f(x)=



f(x)∈

∴ a2﹣a≥ ,解得:a≥ 或 a≤﹣1.

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2016 年 11 月 27 日

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