2013高考试题解析平面向量分类汇编

2013 高考试题解析分类汇编:平面向量 1 .在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分 别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 . 若 m, M 分 别 为 (ai ? a j ? ak ) ? (d r ? d s ? dt ) 的 最 小 值 、 最 大 值 , 其 中
{i , j , k } ?
?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?

,, , 4 5 } { 1 , 2 {r3s, t} ?, {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足





A. m ? 0, M ? 0 B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D. m ? 0, M ? 0 2 .已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
3 4 A. ? ,- ? ? ? ?5 5? 4 3 B. ? ,- ? ? ? ?5 5?
??? ?


4 3 ? 5 5?



C. ? ? , ? ? ?
3 4 ? 5 5?
1 4

D. ? ? , ? ? ?

3 .设 ?ABC, P0 是边 AB 上一定点,满足 P0 B ? AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有
PB ? PC ? P0 B ? P0C

.则 D. AC ? BC





A. ?ABC ? 900 B. ?BAC ? 900 C. AB ? AC
???? ??? ?

4 .在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C.5 D.10
??? ? ??? ?





5 .在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,两定点 A, B 满足 OA ? OB ? OA?OB ? 2, 则 点集 ?P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R? 所表示的区域的面积是 A. 2 2
????
??? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ? ?





B. 2 3
???? ?
???? ???? ?

C. 4 2
??? ?

D. 4 3
???? ???? ?

6 .在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值范 围是 A. ? 0, ?
? ? 5? ? 2 ?

??? ?

1 2

??? ?

( B. ? ?
? 5 7? , ? 2 2 ? ?



C. ? ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D. ? ?

? 7 ? , 2? ? 2 ?

7 . 已 知 a, b 是 单 位 向 量 , a?b ? 0 . 若 向 量 c 满 足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是 ( )

, A. ? 2-1, 2 +1? ? ?

, B. ? 2-1, 2 +2 ? ? ?

C. ?1, 2+1? ? , ?
?? ? ?? ?

D. ?1, 2 +2 ? ? , ? ( )

8 .已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,则 ? = A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. -1
??? ?
??? ?

??

?

9 .已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为() A.
3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

10.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______.
? ? ? 11 .已知向量 ??? 与 ???? 的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 ??? ? ? ??? ? ???? ,且 AP AB AC AC AB ??? ??? ? ? AP ? BC ,则实数 ? 的值为__________.
??? ?

??? ??? ? ?

????

12. 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b·c=0,则 t=_____. 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若
? c=λ a+μ b (λ ,μ ∈R),则 =_________. ?

b

a

c

14.设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若
e1 , e2 的夹角为
| x| ? ,则 的最大值等于________. 6 |b|

15 . 设 D,E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB,BC 上 的 点 , AD ? AB , BE ? BC , 若
DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为__________.

1 2

2 3

16 . 在 平 行 四 边 形 A B C D中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O , AB ? AD ? ? AO , 则
? ? _________.

??? ???? ?

????

17.设 e1 , e2 为单位向量.且 e1 , e2 的夹角为 ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上 的射影为 ___________ 18.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1,
?BAD ? 60? ,

? 3

E 为 CD 的中点. 若 AD· ? 1 , 则 BE

???? ??? ?

AB 的长为______.

1、 【解答】作图知,只有 AF ? DE ? AB ? DC ? 0 ,其余均有 ai ? d r ? 0 ,故选 D. 2、 AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,所以同方向的单位向量是

??? ???? ?

??? ???? ?

?? ?? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? 3 4 AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5

3、以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 AB=4,C(a,b) ,P(x,0) 则 BP0=1,A(﹣2,0) ,B(2,0) 0(1,0) ,P 所以 = (1, , = 0) (2﹣x, , 0) = (a﹣x, , b) =

(a﹣1,b) 因为恒有 所以(2﹣x) (a﹣x)≥a﹣1 恒成立 整理可得 x ﹣(a+2)x+a+1≥0 恒成立 2 所以△ =(a+2) ﹣4(a+1)≤0 2 即△ =a ≤0 所以 a=0,即 C 在 AB 的垂直平分线上 所以 AC=BC 故△ ABC 为等腰三角形 故选 D 4、由题意,容易得到 AC ? BD .设对角线交于 O 点, 则四边形面积等于四个三角形面积之和 即 S=
2

1 1 ( AO * DO ? AO * BO ? CO * DO ? CO * BO) ? ( AC * BD ) .容易算出 2 2

AC ? 5, BD ? 2 5 ,则算出 S=5.故答案 C
5、 若A, B, C三点共线, P是线外一点则PA ? ? PB ? ? PC, 其中? ? ? ? 1. 在本题中, OA ? OB ?| OA | ? | OB | ? cos? ? 4 cos? ? 2 ? ? ? 建立直角坐标系,设 A(2,0), B(1 3 ).则当? ? 0, ? ? 0,? ? ? ? 1时,P在三角形OAB内(含边界).

?
3

.

根据对称性,所求区域的面积S ? 4 ? 三角形OAB的面积 ? 4 3 所以选 D
6、 【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。因为

???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? AB2 ,所以将在直角坐标系中取点 A, B1 , B2 ,因为 OB1 ? OB2 ? 1 ,所

以过点 B1 , B2 作一个半径为 1 的单位圆,圆心为 O(a, b) .设 B1 (0, y ), B2 ( x,0) , 因 为 AP ? AB1 ? AB2 , 所 以 P( x, y )。 因 为 OB1 ? OB2 ? 1 , 所 以
2 2 2 2 ( x ? a) ? b ? 1 , a ? ( y ? b) ? , 两 式 相 加 得 1

??? ?

???? ???? ?

????

???? ?

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2 ? a 2 ? 2
2
2 2

, 又 ,所以

O P ( ?

? 2 ) a? ( x

2

? ) b, y

2 ? , A 2 ? OP ? OA ? 2 , 即 OA ? 2 ? OP O 所以 a b

2

??? 1 ? ??? 2 1 ? ??? 2 ? ??? 2 ? 1 7 2 OA ? 2 ? OP ,因为 OP ? ,所以 OP ? ,即 2 ? ? 2 ? OP ? 2 ,即 ? 2 ? OP ? 2 ,所 2 4 4 4
??? 2 ? ??? ? 7 7 ? 2 ? OP ? 2 ,即 ? OA ? 2 ,所以 OA 的取值范围是 ( 4 2 ? ? ? ? ? ? 7、本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以


7 , 2] ,选 D. 2 ? ? ? ? a ? b ? 2 ,不妨让 a, b 固定,

设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1 ,即 c 的终点在以 u 对应点为圆心,半径为 1 的圆上。则当 c 与 u 方向相同时,

?

? ?

? ?

?

?

?

?

? c

max

? ? ? ? 2 ? 1,当 c 与 u 方向相反时, c
, =(2λ+3,3) , ,所以

min

? , ? 2 ?1 ,所以 c 的取值范围是 ? 2-1, 2 +1? ,选 A. ? ?
. . =0,

8、因为 所以 因为

所以﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3.故选 B.

) D 9 、 本 题 考 查 向 量 的 投 影 以 及 数 量 的 坐 标 运 算 。 因 为 A B? ( 2 , 1 C ,?

??? ?

??? ?

(, 5 , 以 ) 所 5

? ? ?? ? ? ? ? ??? ? A B C D( 2 , 1?) ( 5 ? 5 ) CD 5 52 ? 52 ? 5 2 。 所 以 向 量 AB 在 CD 方 向 上 的 投 影 为 ? ? , , 1 ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ? CD 15 3 2 ,选 A. AB cos ? AB, CD ?? ??? ? ? ? 2 5 2 CD
10、因为已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 故 ﹣0﹣ 11 、 向 = ( ) ? ( ) = ( ) ? ( ) = =0, ﹣ + ﹣ =4+0

=2,故答案为 2. 量

??? ? AB



???? AC









120?





??? ? ???? | A B| ? 3 ?, |C 所 A

| 以

2 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? A ?B A? C ?c oB s 1 2 ? 0 ? A A C 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ?P B(? C ? ?A ) B ( ? A C ? ), A
4 ? ?9 ? ?3 ?( ,解得 ? )? ? 1
12、因为 ,

? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? B 由 ?。 3 ? 2A ??3 B得C , A ?P ? 0 C, 即 ? P
? ? ? ? ? ???? 2? ???? 2 ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? 0 ? C B 所 以A AC ? ? AB ? (? ? 1) AB ? AC ? 0
, 即

7 。 0 12
,所以 =0,解得 t=2.故答案为 2. =0,

所以 tcos60°+1﹣t=0,所以 1

13、以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系

可得 =(﹣1,1) =(6,2) =(﹣1,﹣3) , , 因为

所以

,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣

因此,

=

=4 故答案为:4 1 1
2

|x| |x| |x| 14、 |b|= = 2= 2 2 (xe1+ye2) x +y + 3xy 2 15、易知 DE ?

= x +y + 3xy x2
2 2

?y? + 3y+1 ?x ? x

=

|x| ,所以|b|的最大值为 ?y 3 ? 1 ? x ? 2 ? +4 ? ?
2

1

? ? ? ? ? ? ? 1 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ??? ??? 1 ??? 2??? AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 所以 ?1 ? ?2 ? 2 2 3 2 3 6 3

?

?

16、因为四边形 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O, 所以 + = ,

又 O 为 AC 的中点, 所以 所以 因为 =2 + + , =2 =λ , ,所以 λ=2.故答案为:2.

17 、 本 题 考 查 向 量 的 投 影 的 概 念 , 以 及 平 面 向 量 的 数 量 积 的 运 算 。 向 量 a 在 b 方 向 上 的 射 影 为

?

?

? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? 2 ?? ?? ? ? ? ? 1 a ?b ? a cos ? a, b ?? ? 。 b ? 2 , a ? b ? (e1 ? 3e2 ) ? 2e1 ? 2e1 ? 6e1 ? e2 ? 2 ? 6 ? ? 5 ,所以向量 a 在 b 方 2 b ? ? a ?b 5 向上的射影为 ? ? 。 2 b
???? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? BE 18、因为 E 为 CD 的中点,所以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . AC ? AD ? AB 因为 AC· ? 1 , 2 2 ???? ??? ???? 1 ??? ???? ??? ? ? ? ???? 2 1 ??? 2 1 ??? ???? ? ? ? ? 1 ??? 2 1 ??? 所以 AC· ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 ,即 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 BE 2 2 2 2 2 ??? 2 1 ??? ? ? ??? 1 ? 1 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 4 2


相关文档

2013年高考真题理科数学解析分类汇编6-平面向量
2013年高考数学(理)真题分类解析汇编5.平面向量
2013高考试题解析分类汇编
2013高考试题分类汇编(文科):平面解析几何文
2013高考试题分类汇编(理科):平面向量
2013高考试题解析分类汇编1111
2013高考试题分类汇编(文科):平面向量文
高考试题解析分类汇编(文):平面向量
2012年高考试题分类解析汇编平面向量
jingxinwu.net
90858.net
xaairways.com
tuchengsm.com
gaizaoahe.com
eonnetwork.net
ceqiong.net
bestwu.net
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科