【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的综合应用学案 理 新人教A版


数列的综合应用
导学目标: 1.通过构造等差、等比数列模型,运用数列的公式、性质解决简单的实际问 题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求, 另外还要注重数列在生产、 生 活中的应用.

自主梳理 1.数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题,二是数列与其他数学 内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会. (1)数列是一种特殊的函数,解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法. (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法,复杂的数列问题经常转化为等 差、等比数列或常见的特殊数列问题. (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想. 已知数列的前若干 项求通项,由有限的特殊事例推测出一般性的结论,都是利用此法实现的. (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到,如等比数列中,经常要对公比进行讨论;由 Sn 求 an 时,要对______________进行分类讨论. 2.数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答应用问题的核心是建立数 学模型. (1)建立数学模型时,应明确是等差数列模型、等比数列模型,还是递推数列模型,是求 an 还是求 Sn. (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中,每月的利息均按复利计算; ②在分期付款中规定每期所付款额相同; ③在分期付款时,商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增 值; ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买时到最后一 次付款的利息之和. 自我检测 1. (原创题)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 且 S8-S3=10, 则 S11 的值为 ( ) A.12 B.18 C.22 D.44 2.(2011·汕头模拟)在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7·a11=6,a4+a14=5,则 ( ) 2 A. 3 3 2

a6 等于 a16

B.

1 5 C.- D.- 6 6 3.若{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,把{an}的每一项都减去 2 后,得到一个新 * 数列{bn},设{bn}的前 n 项和为 Sn,对于任意的 n∈N ,下列结论正确的是 ( ) 1 n A.bn+1=3bn,且 Sn= (3 -1) 2 1 n B.bn+1=3bn-2,且 Sn= (3 -1) 2 1 n C.bn+1=3bn+4,且 Sn= (3 -1)-2n 2

1

1 n D.bn+1=3bn-4,且 Sn= (3 -1)-2n 2 4.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在 点火第一秒钟通过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面 240 km 的高度时, 火箭与飞船分离, 则这一过程需要的时间大约是 ( ) A.10 秒钟 B.13 秒钟 C.15 秒钟 D.20 秒钟 5 . (2011· 台州 月考 ) 已知 数列 {an} 的通 项为 an = (

n n +58
2

, 则 数列 {an} 的最大项 为

) A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 7 项或第 8 项 D.不存在 6.(2011·南京模拟)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn 分别为数列{lg an}与

{lg bn}的前 n 项和,且 = ,则 logb5a5=________. Tn 2n+1

Sn

n

探究点一 等差、等比数列的综合问题 例 1 设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,且 a1 +3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令 bn=ln a3n+1,n=1,2,?,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

变式迁移 1 假设 a1,a2,a3,a4 是一个等差数列,且满足 0<a1<2,a3=4.若 bn=2an (n =1,2,3,4).给出以下命题: ①数列{bn}是等比数列; ②b2>4; ③b4>32; ④b2b4=256.其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题 2x+3 ?1? 例 2 (2011·温州月考)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f? ?,n 3x ?an? * ∈N , (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?-a2na2n+1,求 Tn; 1 m-2 001 * (3)令 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+?+bn,若 Sn< 对一切 n∈N 成立, an-1an 2 求最小正整数 m.

变式迁移 2 已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等 差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成立,试 2 求 m 的取值范围.
2

探究点三 数列在实际问题中的应用 例 3 (2011·福州模拟)有一个下岗职工,1 月份向银行贷款 10 000 元,作为启动资金 开店,每月月底获得的利润是该月月初投入资金的 20%,每月月底需缴纳所得税为该月月利 润的 10%,每月的生活费为 300 元,余款作为资金全部投入下个月的经营,如此继续,问到 这年年底这个职工有多少资金?若贷款年利息为 25%,问这个职工还清银行贷款后纯收入多 少元?

变式迁移 3 假设某市 2011 年新建住房 400 万平方米, 其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房 中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2011 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?(参考数据: 4 5 6 1.08 ≈1.36,1.08 ≈1.47,1.08 ≈1.59)

1.数列实际应用问题:(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容, 解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实 际问题,需利用数列知识建立数学模型.(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数 列的模型,然 后再去应用数列的通项公式求解;②通过归纳得到结论,用数列知识求解. 2.解决数列综合问题应体会以下思想及方法:(1)数列与函数方程相结合时主要考查函 数的思想及函数的性质(多为单调性).(2)数列与不等式结合时需注意放缩.(3)数列与解析 几何结合时要注意递推思想.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 a9+a10 1. (2010·湖北)已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1, a3,2a2 成等差数列, 则 2 a7+a8 的值为 ( ) A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 2.(2011·漳州模拟)数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且 a6=b7, 则有 ( ) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小不确定 S1+S2+?+Sn 3.有限数列 A:a1,a2,?,an,Sn 为其前 n 项和,定义 为 A 的“凯森和”,

n

3

若有 99 项的数列 a1,a2,?,a99 的“凯森和”为 1 000,则有 100 项的数列 1,a1,a2,?, a99 的 “ 凯 森 和 ” 为 ( ) A.1 001 B.991 C.999 D.990 4. 有一种细菌和一种病毒, 每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个, 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒, 问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A.6 秒 B.7 秒 C.8 秒 D.9 秒 2 n 5.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点,则 b10 等 于 ( ) A.24 B.32 C.48 D.64 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) ?2?2n-2 ?2?n-1 6.(2011·丽水月考)若数列{an}的通项公式 an=5? ? -4? ? ,数列{an}的最大项为 ?5? ?5? 第 x 项,最小项为第 y 项,则 x+y=________. 2 2 7.(2010·江苏)函数 y=x (x>0)的图象在点(ak,ak)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N*,a1=16,则 a1+a3+a5=________. * 8.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设 aij (i,j∈N )是位于这个 三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2 009,则 i 与 j 的和为________. 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ?????????????? 三、解答题(共 38 分) 1 x 9.(12 分)(2011·湘潭模拟)已知点(1, )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一 3 点,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn -Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 1 000 (2)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? bnbn+1 2 009

10.(12 分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召,对西部地区乙企业进行扶持性技 术改造.乙企业的经营现状是:每月收入为 45 万元,但因设备老化,从下月开始需付设备维 修费, 第一个月为 3 万元, 以后每月递增 2 万元. 甲公司决定投资 400 万元扶持改造乙企业. 据 预测,改造后乙企业第一个月收入为 16 万元,在以后的 4 个月中,每月收入都比上个月增长 50%,而后每个月收入都稳定在第 5 个月的水平上.若设备改造时间可忽略不计,那么从下个 月开始至少经过多少个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收 益?

4

11. (14 分)(2011·广东执信中学模拟)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)·f(y)且 f(1) 1 = . 2 * (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式; * (2)设 an=n·f(n),n∈N ,求证:a1+a2+a3+?+an<2; f n+ * (3)设 bn=(9-n) ,n∈N ,Sn 为{bn}的前 n 项和,当 Sn 最大时,求 n 的值.

f n

答案 自主梳理 1.(4)n=1 或 n≥2 自我检测 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 9 6. 19 课堂活动区 例 1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. 2.利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值.同时对两种数列的性质,要熟悉它 们的推导过程,利用好性质,可降低题目的思维难度,解题时有时还需利用条件联立方程求 解. 解 (1)由已知得

a1+a2+a3=7 ? ? ?(a1+3)+(a3+4) =3a2 ? 2 ?

,解得 a2=2.

设数列{an}的公比为 q,由 a2=2, 2 可得 a1= ,a3=2q.

q

2 又 S3=7,可知 +2+2q=7,

q

1 2 即 2q -5q+2=0.解得 q1=2,q2= . 2 由题意得 q>1,∴q=2,∴a1=1. n-1 故数列{an}的通项为 an=2 . 3n (2)由(1)得 a3n+1=2 , 3n ∴bn=ln a3n+1=ln 2 =3nln 2. 又 bn+1-bn=3ln 2,∴{bn}是等差数列, ∴Tn=b1+b2+?+bn n(b1+bn) 3n(n+1) = = ·ln 2. 2 2 3n(n+1) 故 Tn= ln 2. 2 变式迁移 1 D [设 a1,a2,a3,a4 的公差为 d,则 a1+2d=4,又 0<a1<2,所以 1<d<2. 易知数列{bn}是等比数列,故(1)正确;a2=a3-d∈(2,3),所以 b2=2a2>4,故(2)正确;a4 8 =a3+d>5,所以 b4=2a4>32,故(3)正确;又 a2+a4=2a3=8,所以 b2b4=2a2+a4=2 =256, 故(4)正确.] 例 2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题,利用函数关系式求通项 an,
5

观察 Tn 特点,求出 Tn.由 an 再求 bn 从而求 Sn,最后利用不等式知识求出 m. 2 +3 a 1 n 2+3an 2 ? ? 解 (1)∵an+1=f? ?= = =an+ , a 3 3 3 ? n?

an
2 ∴{an}是以 为公差的等差数列. 3 2 1 又 a1=1,∴an= n+ . 3 3 (2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+?+a2n(a2n-1-a2n+1) ?5 4n 1? n? + + ? 4 4 ?3 3 3? =- (a2+a4+?+a2n)=- · 3 3 2 4 2 =- (2n +3n). 9 1 1 (3)当 n≥2 时,bn= = an-1an ?2 1??2 1? ?3n-3??3n+3? ? ?? ? 1 ? 9? 1 - = ? ?, 2?2n-1 2n+1? 9 ? 1? 又 b1=3= ×?1- ?, 2 ? 3? ∴Sn=b1+b2+?+bn 1 1 ? 9 ? 1 1 1 - = ×?1- + - +?+ 2n-1 2n+1? 2 ? 3 3 5 ? 1 ? 9? 9n = ? 1- , ?= 2n+1? 2n+1 2? m-2 001 * ∵Sn< 对一切 n∈N 成立. 2 9n m-2 001 即 < , 2n+1 2 1 ? 9n 9? 又∵ = ?1- ?递增, 2n+1 2? 2n+1? 9n 9 m-2 001 9 且 < .∴ ≥ , 2n+1 2 2 2 即 m≥2 010.∴最小正整数 m=2 010. 变式迁移 2 解 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8. 3 ?a1q+a1q =20, ? ∴a2+a4=20.∴? 2 ? ?a3=a1q =8,
?q=2, ? 解之,得? ? ?a1=2

1 ? ?q= , 或? 2 ? ?a1=32.
? ?q=2, ? ?a1=2.

又{an}单调递增,∴?

∴an=2 .

n

6

1 n n n (2)bn=2 ·log 2 =-n·2 , 2 2 3 n ∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 .① 2 3 4 n n+1 ∴-2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +?+(n-1)×2 +n×2 .② 2 3 n n+1 ∴①-②,得 Sn=2+2 +2 +?+2 -n·2 n 2(1-2 ) n+1 n+1 n+1 = -n·2 =2 -n·2 -2. 1-2 由 Sn+(n+m)an+1<0, n+1 n+1 n+1 n+1 即 2 -n·2 -2+n·2 +m·2 <0 对任意正整数 n 恒成立, 1 n+1 n+1 ∴m·2 <2-2 对任意正整数 n,m< n-1 恒成立. 2 1 ∵ n-1>-1,∴m≤-1, 2 即 m 的取值范围是(-∞,-1]. 例 3 解 依题意,第 1 个月月余款为 a1=10 000(1+20%)-10 000×20%×10%-300 =11 500, 第 2 个月月底余款为 a2=a1(1+20%)-a1×20%×10%-300, 依此类推下去,设第 n 个月月底的余款为 an 元, 第 n+1 个月月底的余款为 an+1 元,则 an+1=an(1+20%)-an×20%×10%-300=1.18an- 300. 下面构造一等比数列. an+1+x 设 =1.18,则 an+1+x=1.18an+1.18x, an+x ∴an+1=1.18an+0.18x. ∴0.18x=-300. 5 000 an+1- 3 5 000 ∴x=- ,即 =1.18. 3 5 000 an- 3 5 000 5 000 5 000 ∴数列{an- }是一个等比数列,公比为 1.18,首项 a1- =11 500- = 3 3 3 29 500 . 3 5 000 29 500 n-1 ∴an- = ×1.18 , 3 3 5 000 29 500 11 ∴a12- = ×1.18 , 3 3 5 000 29 500 11 ∴a12= + ×1.18 ≈62 396.6(元), 3 3 即到年底该职工共有资金 62 396.6 元. 纯收入有 a12-10 000(1+25%) =62 396.6-12 500=49 896.6(元). 变式迁移 3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{an}, 由题意可知{an}是等差数列,其中 a1=250,d=50, 则 an=250+(n-1)·50=50n+200, n(n-1) 2 Sn=250n+ ×50=25n +225n, 2 2 令 25n +225n≥4 750, 2 即 n +9n-190≥0,而 n 是正整数,∴n≥10.
7

∴到 2020 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn}, 由题意可知{bn}是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, n-1 则 bn=400·(1.08) . 由题意可知 an>0.85bn, n-1 即 50n+200>400·(1.08) ·0.85. 当 n=5 时,a5<0.85b5, 当 n=6 时,a6>0.85b6, ∴满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. ∴到 2016 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 课后练习区 1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 6.3 7.21 8.107 1 ?1?x 9.解 (1)∵f(1)=a= ,∴f(x)=? ? .???????????????????(1 3 ?3? 分)

a1=f(1)-c= -c,
2 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- ; 27 4 2 a2 81 2 1 又数列{an}成等比数列,a1= = =- = -c, a3 2 3 3 - 27 ∴c=1;???????????????????????????????? (2

1 3

a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ,

分)

a2 1 2 ?1?n-1 ?1?n * 公比 q= = ,an=- ×? ? =-2×? ? ,n∈N ;????????????(3 分) a1 3 3 ?3? ?3?
∵Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1) = Sn+ Sn-1(n>2),??????????????????????????(4 分) 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1. 数列{ Sn}构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 2 2 当 n≥2,bn=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1; 又当 n=1 时,也适合上式, * ∴bn=2n-1,n∈N .??????????????????????????(6 分) 1 1 1 1 (2)Tn= + + +?+

b1b2 b2b3 b3b4

bnbn+1

1 1 1 1 + + +?+ 1×3 3×5 5×7 (2n-1)×(2n+1) 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? = ?1- ?+ ? - ?+ ? - ?+?+ 3? 2?3 5? 2?5 7? 2? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 n - = ?1- = .?????????????????(10 分) ? ? ? 2 n - 1 2 n + 1 2 n + 1 2? ? 2? ? 2n+1 n 1 000 1 000 由 Tn= > ,得 n> , 2n+1 2 009 9 =

8

∴满足 Tn> 分)

1 000 的最小正整数为 112.??????????????????? (12 2 009

10.解 设乙企业仍按现状生产至第 n 个月所带来的总收益为 An(万元),技术改造后生 产至第 n 个月所带来的总收益为 Bn(万元).依题意得 An=45n-[3+5+?+(2n+1)] 2 =43n-n ,??????????????????????????????(4 分) ??3?5 ? 16?? ? -1? ??2? ? 当 n≥5 时,Bn= + 3 -1 2 ?3? 4 16? ? (n-5)-400=81n-594,?????????????????????? (8 ?2? 分) 2 ∴当 n≥5 时,Bn-An=n +38n-594, 2 2 令 n +38n-594>0,即(n+19) >955,解得 n≥12, ∴至少经过 12 个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收 益. ???????????????????????????????????(12 分) 11.解 (1)令 x=n,y=1, 1 得 到 f(n + 1) = f(n)·f(1) = 2 f(n),???????????????????????(2 分) 1 1 ∴{f(n)}是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 1 n 即 f(n)=( ) .??????????????????????????????(5 2 分) (2)记 Sn=a1+a2+a3+?+an, 1 n ∵an=n·f(n)=n·( ) ,?????????????????????????? 2 (6 分) 1 1 2 1 3 1 n ∴Sn= +2×( ) +3×( ) +?+n×( ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn=( )2+2×( )3+3×( )4+?+(n-1)×( )n+n×( )n+1, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 n+1 两式相减得 Sn= +( ) +?+( ) -n×( ) , 2 2 2 2 2 1 n-1 1 n 整理得 Sn=2-( ) -n( ) <2.?????????????????????? (9 2 2 分) 1 n f(n+1) (3)∵f(n)=( ) ,而 bn=(9-n) 2 f(n) 1 n+1 ( ) 2 9-n = (9 - n) = . ????????????????????????? (11 1 n 2 ( ) 2 分) 当 n≤8 时,bn>0; 当 n=9 时,bn=0; 当 n>9 时,bn<0,
9

∴n=8 或 9 时,Sn 取到最大值.????????????????????(14 分)

10


相关文档

【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的通项与求和学案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 6.4数列求和教案 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 直接证明与间接证明学案 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.4数列求和课件 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 导数的综合应用学案 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的概念与简单表示法学案 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 等比数列及其前n项和学案 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 3.3导数的应用(二)课件 理 新人教A版
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 新人教A版
电脑版