人教A版高二数学选修1-1同步课件2-2-1双曲线及其标准方程_图文

2.2 双曲线

1.知识与技能 记住双曲线的定义,会推导双曲线的标 准方程. 2.过程与方法 会用待定系数法确定双曲线的方程 与椭圆的标准方程比较,加以区分.

本节重点:双曲线的定义及其标准方 程. 本节难点:双曲线标准方程的推导. 1.对于双曲线定义的理解,要抓住双曲 线上的点所要满足的条件,即双曲线上点的 几何性质,可以类比椭圆的定义来理解. 2.在理解双曲线的定义时,要注意到对 “定值”的限定.即定值大于零且小于 |F1F2|. 这样就能避免忽略两种特殊情况,即: “当定值等于 |F1F2| 时,轨迹是两条射线; 当定值大于|F1F2|时,点不存在.”

3.类比椭圆标准方程的推导方法,建立 适当坐标系,推导出双曲线的标准方程,但 要注意在椭圆标准方程推导中,是令b2=a2 -c2,而在双曲线标准方程的推导过程中, 是令b2=c2-a2.

1.当用双曲线的定义来求解双曲线的标 准方程时,可直接求出a、b,写出对应的方 程,而无须由距离公式写出推导过程. 2.利用待定系数法求双曲线的标准方程 时,应先判断焦点所在位置,不能确定时应 分类讨论. 3.已知双曲线上一点与两焦点构成的三 角形问题,往往利用正弦定理、余弦定理以 及双曲线的定义列出关系式. 4.当利用双曲线的定义求解轨迹方程问 题时,要注意应用数形结合的思想方法.

5.利用待定系数法求双曲线标准方程的 步骤 (1)确定焦点位置:根据条件判定双曲线 的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两坐标轴 都有可能.

(3)确立参数的关系式:根据已知条件列 出关于a、b、c的方程组. (4)解方程组:定形式,解上述方程组,

注意:方程 mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线为双曲线, x2 y2 它包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情形, 方程变为 1 + 1 m n x2 y2 =1,当 m>0,n<0 时,方程为 1 - 1=1 表示焦点在 x m -n 轴上的双曲线,此时 a= 1 ,b= m 1 - ; n

y2 x2 当 m<0,n>0 时,方程为 - =1 表示焦点在 y 1 1 - n m 轴上的双曲线,此时 a= 1 n,b= 1 -m.

在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定, 则常考虑上述设法.

1.在平面内到两个定点F1、F2距离之差 的绝对值等于定值 2a( 大于 0 且小于 |F1F2|) 的 双曲线 点的轨迹叫做 焦点 .这两个定点叫做双曲线 的 焦距 ,两焦点之间的距离叫做双曲线的 . 2.在双曲线的定义中,条件 0<2a<|F1F2| 两条射线 不应忽视,若 2a = |F1F2| ,则动点的轨迹是 不存在 ; 若 2a>|F1F2| 则 动绝对值 点的轨迹是 . 绝对值 3.双曲线定义中应注意关键词“ 双曲线一支 ”,若去掉定义中“ ”三个 字,动点轨迹只能是 .

[例 1] -4

已知双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3,

?9 ? 2),?4,5?,求双曲线的标准方程. ? ?

[解析]

解法一:(1)若双曲线的焦点在 y 轴上,设所

y2 x2 求双曲线的标准方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) a b ?32 9 ? a2 -b2=1 依题意得? 81 ?25 2- 2=1 ? a 16b 32m-9n=1 ? ? 1 1 令 m=a2,n=b2,则方程组化为:? 81 25m- n=1 ? 16 ?

1 ? ?m=16 解这个方程组得? ?n=1 ? 9



2 y 即 a2=16, b2=9, 所以所求双曲线的标准方程为 - 16

x2 9 =1.

x2 y2 (2) 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线方程为 2 - 2 = a b 1(a>0,b>0), ? 9 32 ?a2- b2 =1 依题意得? ? 81 2-25 2 =1 ?16a b

,此时无解.

y2 x2 综上所得,所求双曲线的标准方程为16- 9 =1. 解法二:设所求双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0),

1 ? 9A-32B=1 ? ?A=-9 ? 依题意得?81 ,解得? 1 A-25B=1 ? ? B=16 ?16 ? x2 y2 y2 x2 故所求双曲线方程为- + =1 即 - =1. 9 16 16 9

[点评] 求双曲线的标准方程一般应先 判定焦点所在的坐标轴,其次再确定a、b的 值.若已知双曲线经过两个定点,求双曲线 方程,设所求双曲线方程为Ax2-By2= 1(AB<0),列出关于A、B的二元一次方程组, 求出A、B既避免了讨论又降低了未知数的 次数,大大减少所需的运算,体现了由繁至 简的化归思想.

3 4 已知双曲线过 P1(-2, 5)和 P2( 7,4)两点,求双 2 3 曲线的标准方程.

[解析]

解法一:当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双

x2 y2 曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 3 ? 2 ? ( 5) 2 ?(-2) - 2 ? a2 b2 =1 ∵P1、P2 在双曲线上,∴? ?(4 7)2 42 ?3 2 - 2=1 ? b ? a



1 ?1 ?a2=-16 解得? ? 12=-1 9 ?b

(不合题意舍去).

当双曲线的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

? ?(3 5)2 4 ?2 ? a2 -b2=1 ∵P1、P2 在双曲线上,∴? ? 2 (4 7)2 3 ?4 2- ? b2 =1 ?a ?1 1 ?a2=9 解得? ? 12= 1 ?b 16

,即 a2=9,b2=16.

y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 9 16

解法二:因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲 线方程为 mx2+ny2=1(mn<0),因 P1、P2 在双曲线上,所 以有 45 ? ?4m+ 4 n=1 ? ?16×7m+16n=1 ?9 1 ? ?m=-16 ,解得? ?n=1 ? 9



x2 y2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为-16+ 9 =1,即 9 -16=1.

[例2] 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1与圆C2相 外切,求动圆圆心M的轨迹方程. [解析] 如图所示,设动圆M与圆C1及圆 C2 分别外切于点 A 和 B ,根据两圆外切的充 要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. ∵|MA|=|MB|, ∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,

∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 与两定点 C2 、 C1 的距离的 差是常数 2. 根据双曲线的定义,动点 M的轨 迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1 的距离小). 这里a=1, c=3,则b2=8,设点 M的坐 标为(x,y), 则其轨迹方程为x2- =1(x<0).

[ 点评 ] (1) 本题是用定义法求动点的轨 迹方程,当判断出动点的轨迹是双曲线的一 支,且可求出a、b时,直接根据定义写出其 标准方程,而无需用距离公式写出方程,再 通过复杂的运算进行化简. (2) 由于动点 M 到两定点 C2 、 C1 的距离的 差为常数,而不是差的绝对值为常数,因此, 其轨迹只能是双曲线的一支.这一点要特别 注意!

已知△ABC的底边BC长为12,且底边固 定,顶点A是动点,使sinB-sinC= sinA. 求点A的轨迹.

[解析]

以 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线

为 y 轴建立直角坐标系,则 B(-6,0)、C(6,0). 设 A(x,y)是所求轨迹上任一点,则 y≠0. 1 因为 sinB-sinC=2sinA, 利用正弦定理, 我们有|AC| 1 -|AB|= |BC|,结合双曲线定义,动点到两个定点 C、B 2 的距离之差为 6,动点 A 位于以 B、C 为焦点的双曲线 上.又注意到,此时 A 点只能在左支上,并且不能与左 顶点重合.

双曲线中,实轴长为 6,焦距为 12,则 a=3,c=6,
2 x b2=c2-a2=27,中心在原点,两焦点在 x 轴上,方程为 9

y2 -27=1. x2 y2 所以 A 点轨迹是双曲线 9 -27=1 的左支,并且除去 点(-3,0).

[例 3]

x2 y2 若 F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 9 16

在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

[解析] 由双曲线的对称性,可设点P在 第一象限, 由双曲线的方程,知a=3,b=4,∴c= 5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6. 上式两边平方,得 |PF1|2 + |PF2|2 = 36 + 2|PF1|·|PF2|=36+64=100, 由余弦定理,得

[点评] 在焦点三角形中,正弦定理、 余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知 识点.另外,还经常结合|PF1|-|PF2|=2a, 运用平方的方法,建立它与|PF1|·|PF2|的联 系,请同学们多加注意.

x2 y2 △PF1F2 的顶点 P 在双曲线 2- 2=1 上, F1、 F2 是双 a b 曲线的焦点,且∠F1PF2=θ.求△PF1F2 的面积 S.

[解析] 设双曲线的左焦点为F1,右焦点 为F2,如图所示,由双曲线的定义知||PF1|- |PF2||=2a.在△F1PF2中,由余弦定理,得

1 在 △F1PF2 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 S△F1PF2 = 2 sinθ θ 2 2 |PF1|· |PF2|· sinθ= · b =b · cot2. 1-cosθ

[例4] 设声速是am/s.在相距10am的A、 B两个哨所,听到一炮弹爆炸声的时间相差 6s,且B处的声强是A处声强的4倍,试确定 炮弹爆炸点P的位置,即确定P点到AB中点 M的距离及∠PMB的大小.(注:声强与距 离的平方成反比)

[解析]

以 M 点为原点,直线 AB 为 x 轴建立直角坐

标系,如下图所示,A(-5a,0),B(5a,0),设 P(x,y).依 题意有:||PA|-|PB||=6a, x2 y2 ∴P 点在双曲线 - =1 上, (3a)2 (4a)2 k ∴B 处的声强为: , (x-5a)2+y2 k A 处的声强为: 2 2, (x+5a) +y k 4k ∵ 2 2= 2 2, (x-5a) +y (x+5a) +y

∴(x+5a)2+y2=4[(x-5a)2+y2].
2 2 2 ? ?16x -9y =144a 所以? 2 2 2 2 ? ( x + 5 a ) + y = 4[( x - 5 a ) + y ] ?

? 27 ?x= 5 a 解得? ?y=8 14a 5 ?

?27 8 ? ,∴P? a, ?5

14 ? ? , a 5 ? ?

y 8 14 ∴|PM|= 65a,tan∠PMB=x= 27 . 即 P 点到 AB 中点的距离为 65a, 且与 AB 成的角为 8 14 arctan . 27

[点评] 本题是实际问题,必须抽象为 数学问题,建立数学模型后,利用所学知识 解决.本题符合双曲线的定义,故可利用双 曲线方程求解.

[例5] 已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦 点为(0,3),求k的值.
[ 误解] x2 y2 将双曲线方程化为标准方程 - = 1. 因为 1 8 k k
2

8 2 1 焦点在 y 轴上,所以 a =k,b =k,所以 c= a2-b2= 8 1 7 7 k -k=3,即k=9,所以 k=9.

[辨析]

上述解法有两处错误:一是 a2、b2 确定错
2

8 2 1 误,应该是 a =-k ,b =- k;二是 a、b、c 的关系式 用错了.在双曲线中应为 c2=a2+b2. [正解]
2 2 k x y 将双曲线方程化为 kx2- y2=1, 即 - = 8 1 8 k k

1.因为一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3, 8 2 1 8 1 2 2 2 a =-k ,b =-k,所以 a +b =-k -k =c =9.所以 k
2

=-1.

一、选择题 1 .已知两定点 F1(- 5,0)、 F2(5,0) ,动点 P满足 |PF1|- |PF2|= 2a ,则当 a=3 和 5 时, P 点的轨迹为 ( ) A.双曲线和一直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 [答案] C

[ 解析 ] 当 a = 3 时, |PF1| - |PF2| = 2a = 6<|F1F2|=10,由双曲线定义知,P点轨迹是 双曲线的右支. 当 a= 5时, |PF1|- |PF2|=2a=10 = |F1F2|, ∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线.

2.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则 方程的曲线是 ( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 [答案] D

[解析]

2 2 x y 方程 mx2-my2=n 可化为: + =1, n n - m m

n n ∵mn<0,∴m<0,-m>0, ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.

x2 y2 3.已知双曲线方程为 - =1,那么它的焦距为 20 5 ( A.10 C. 15 B.5 D.2 15 )

[答案] A [解析] ∵a2=20,b2=5,c2=25,c=5, ∴焦距2c=10.

x2 y2 4.双曲线 2 - =1 的焦距是 m +12 4-m2 ( A.4 C.8 B.2 2 D.与 m 有关 )

[答案] C [ 解析 ] c2 = a2 + b2 = m2 + 12 + 4 - m2 = 16,c=4, 焦距2c=8.

二、填空题 y2 2 5.双曲线 2 -x =1 的两个焦点坐标是________.

[解析]

a2=2,b2=1,c2=3,∴c=± 3,又焦点在

y 轴上,所以两焦点坐标为(0,± 3).

x2 y2 6.方程 + =1 表示双曲线,则 m 的取值 |m|-1 2-m 范围是________.
[答案] m>2或-1<m<1

三、解答题 7.已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0, -13),双曲线上一点P到两焦点距离之差的 绝对值为24,求双曲线标准方程.

[解析]

y2 x2 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) a b

由已知得,2a=24,∴a=12,c=13,∴b=5, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为:144-25=1.


相关文档

人教A版高二数学选修1-1同步课件2-3-1抛物线及其标准方程
多彩课堂2015-2016学年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2-1
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章3.1 双曲线及其标准方程
高二数学双曲线及其标准方程(第一课时)说课课件人教版(精)
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-2-1双曲线及其标准方程
(人教版)2018年秋九年级上学期数学课件:22.2二次函数与一元二次方程(2)
(人教版)2018年秋九年级上学期数学课件:22.2二次函数与一元二次方程(1)
2.3.1双曲线及其标准方程 课件(人教A版选修2-1)
2016九年级化学(人教版)下册同步习题课件第十一单元盐化肥化肥实验活动8粗盐中难溶性杂质的去除
选修2-12.3.1双曲线及其标准方程(人教A版)精选教学PPT课件
电脑版