【2019精品】高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.2 余弦定理达标练习 北师大版必修5

2.1.2 余弦定理 [A 基础达标] 1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120°,则边 c 的值是( A.8 C.6 2 2 2 ) B.2 17 D.2 19 2 解析:选 D.由余弦定理得:c =a +b -2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,所以 c=2 19,故选 D. 13 2.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cos C= ,则最大角的余弦值是( 14 1 A.- 5 1 C.- 7 解析:选 C.由余弦定理, 13 2 2 2 2 得 c 2=a +b -2abcos C=8 +7 -2×8×7× =9, 14 所以 c=3,故 a 最大, 所以最大角的余弦值为 cos A= 1 B.- 6 1 D.- 8 ) b2+c2-a2 72+32-82 1 = =- . 2bc 2×7×3 7 2 3.在△ABC 中,a,b,c 为角 A、B、C 的对边,且 b =ac,则 B 的取值范围是( ) ? π? A.?0, ? 3? ? ? π? C.?0, ? 6? ? ?π ? B.? ,π ? ?3 ? ?π ? D.? ,π ? 6 ? ? a2+c2-b2 (a-c)2+ac (a-c)2 1 1 解析:选 A.cos B = = = + ≥ ,因为 0<B< π ,所以 2ac 2ac 2ac 2 2 B∈?0, ?. 3 ? ? π? ? 4.在△ABC 中,若 bcos A=acos B,则△ABC 是( A.等边三角形 C.直角三角形 解析:选 B.因为 bcos A=acos B, B.等腰三角形 D.锐角三角形 ) b2+c2-a2 a2+c2-b2 所以 b· =a· . 2bc 2ac 所以 b +c -a =a +c -b . 所以 a 2=b . 2 2 2 2 2 2 2 1 所以 a=b.故此三角形是等腰三角形. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C=120°,c= 2a,则( A.a>b C.a=b 2 2 ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 2 2 2 2 2 2 解析:选 A.由余弦定理,知 c =a +b -2abcos C,则 2a =a +b +ab,即 a =b +ab,则 2 ?b? +b-1=0,所以b= 5-1<1,所以 a>b,故选 A. ?a? a a 2 ? ? 6. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 2bcos B=acos C+ccos A, 则 B=________. 解析:依题意得 2b× a2+c2-b2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 2 2 2 =a× +c× ,即 a +c -b =ac,所以 2ac 2ab 2bc 1 π 2accos B=ac>0,cos B= .又 0<B<π ,所以 B= . 2 3 π 答案: 3 1 7.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B, 4 则 c=________. 解析:因为 3sin A=2sin B,所以 3a=2b.又 a=2,所以 b=3.由余弦定理可知 c =a +b -2abcos C, 2 2 2 ? 1? 2 2 2 所以 c =2 +3 -2×2×3×?- ?=16,所以 c=4. ? 4? 答案:4 1 acos B 8. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 a2=b2+ c2, 则 的值为________. 4 c 1 2 1 2 a +c -b 2 2 2 2 解析:因为 a =b + c ,所以 b =a - c .所以 cos B= = 4 4 2ac 2? ? 2 a2+c2-?a - c ? 2 2 2 ? 2ac 1 4 ? 5c = . 8a 5c 8a 5 acos B 所以 = = . c c 8 a· 5 答案: 8 9.设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求 b 的值. 2 解:(1)由 a=2bsin A,根据正弦定理,得 sin A=2sin Bsin A,因为 sin A≠0,所以 sin B= . π 因为△ABC 为锐角三角形,所以 B= . 6 (2)根据余弦定理,b =a +c -2accos B =27+25-2×3 3×5× 所以 b= 7. 10.在△ABC 中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且 sin C=2sin Bcos A,试判断△ABC 的形状. 解:由正弦定理,可得 sin B= ,sin C= . 2R 2R 3 =7. 2 2 2 2 1 2 b c b2+c2-a2 由余弦定理,得 cos A= . 2bc 代入 sin C=2sin Bcos A, 得 c=2b· b2+c2-a2 . 2bc 整理得 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以 a +b -c =ab, 即 cos C= 2 2 2 a2+b2-c2 1 π = ,故 C= . 2ab 2 3 又 a=b,所以△ABC 为等边三角形. [B 能力提升] 2 2 2 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b +c -a = 3bc,且 b= 3a, 则下列关系一定不成立的是( A.a=c C.2a=c 2 2 2 ) B.b=c D.a +b =c 2 2 2 解析:选 B.因为 b +c -a = 3bc, 所以 cos A= b2+c2-a2 3 = . 2bc 2 3 .又因为 2 又因为 A∈(0°,180°),所以 A=30

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