2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件(浙江专版):基本初等函数、函数与方程及函数的应用_图文

第三讲
考点

基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考情
1.对指数函数、对数函数及幂函数的考查多以函数的定义域、

指数函数、对数 比较大小等问题形式考查,如2013年新课标全国卷ⅡT8等. 函数及幂函数 2.结合函数与方程的关系,求函数的零点.

函数的零点及其 在零点的个数进行判断,如2013年重庆T6,天津T7,湖南T5等. 应用
4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.

3.结合根的存在性定理或函数图像,对函数是否存在零点或存

5.对函数实际应用问题的考查,题目大多以社会生活为背景,

函数的实际应用 设问新颖、灵活,而解决这些问题所涉及的数学知识、思想方法都 问题 是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等.

1. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log36, b=log510, c=log714, 则 A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c ( )

解析:a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c= log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小 即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y= log7x的图像,由三个图像的相对位置关系,可知a>b>c.

答案:D

2.(2013· 重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x- b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( )

解析:由已知易得f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,故函数f(x)的两 个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.

答案:A

3.(2013· 天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( A.1 B.2 )

C.3 D.4 解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为函数y=

1 |log0.5x|与y= 2x 图像的交点个数.在同一直角坐标系中作出 1 函数y=|log0.5x|与y=2x的图像,易知有2个交点.

答案:B

4.(2013· 湖南高考)函数f(x)=2ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+ 5的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 ( )

解析:由已知g(x)=(x-2)2+1,所以其顶点为(2,1),又f(2) =2ln 2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f(x)=2ln x图像的下 方,故函数f(x)=2ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像 有2个交点.

答案:B

5.(2013· 天津高考)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若 实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则 A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b) B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0 ( )

解析:因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1- 2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时a∈(0,1).又g(x)=ln x+

x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0. 由g(2)=ln 2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,且 f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以f(b)>0.综上可知, g(a)<0<f(b).

答案:A

1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am·n=am n; a (2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN; M (4)loga N =logaM-logaN; (5)logaMn=nlogaM; (6)alogaN=N; logbN (7)logaN= log a (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0). b


2.指数函数与对数函数的图像和性质
指数函数 对数函数

图像

单调性

0<a<1时,在R上单调递减; a>1时,在R上单调递增

a>1时,在(0,+∞)上单调 递增; 0<a<1时,在(0,+∞)上单 调递减

函数值 性质

0<a<1,当x>0时,0<y<1;当 x<0时,y>1

0<a<1,当x>1时,y<0;当 0<x<1时,y>0

a>1, a>1,当x>0时,y>1;当x<0时, 当x>1时,y>0;当0<x<1 0<y<1 时,y<0

3.函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函 数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像交点的横坐标.

指数函数、对数函数及幂函数
[例 1] (1)(2013· 南昌模拟)已知 a=0.7 ,b=0.6 ,c= ( C.a<b<c )
? 1 3 ? 1 3

log2.11.5,则 a,b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a

D.b<a<c

(2)(2013· 太原模拟)已知函数 f(x)=ln x1<x2,则下列结论中正确的是

? 1? x,x1,x2∈?0, e?,且 ? ?

(

)

A.(x1-x2)[f(x 1)-f(x 2)]<0
?x1+x2? f?x1?+f?x2? ? B.f? ? 2 ?< 2 ? ?

C.x1f(x2)>x2f(x1) D.x2f(x2)>x1f(x1)
[自主解答]
?

(1)依题意得 a=0.7 >0.70=1,b=0.6 >0.60

1 3

?

1 3

a ?7? ? 1 ?7?0 =1,b=?6? 3 <?6? =1,即 1<a<b;又 c=log2.11.5<log2.12.1=1, ? ? ? ? 因此 c<a<b.

(2)选项A,由于函数在区间上为增函数,由单调性定义可 知(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故A错误;选项B,由函数图像的凸
?x1+x2? f?x1?+f?x2? f?x? ? ? 凹性可知f ? > ,故B错误;选项C,令g(x)= x 2 2 ? ? ? ? 1-ln x 1? ln x = x ,由于g′(x)= x2 ,当x∈ ?0, e ? ,g′(x)>0,即函数 ? ? ? 1? f?x1? f?x2? 在区间 ?0, e ? 上为增函数,故x1<x2?g(x1)<g(x2)? x < x ? ? ? 1 2

x2f(x1)<x1f(x2),故C正确;同理,令h(x)=xf(x)=xln x1f(x1)>x2f(x2),D错误.

x,可知

[答案]

(1)A

(2)C

将本例(2)中“f(x)=ln 如何选择?

? 1? x, 1, 2∈?0,e ?”改为“f(x)=ex”, x x ? ?

解析:因为 f(x)=ex 为增函数,所以(x1-x2)· 1)-f(x 2)]>0, [f(x ?x1+x2? f?x1?+f?x2? x ?< 故 A 错误;由于函数 f(x)=e 的凸凹性可知 f? , 2 2 ? ? xex-ex ex?x-1? ex 故 B 正确;令 g(x)= ,则 g′(x)= = ,所以 g(x) x x2 x2 ex = x 在(-∞,0),(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,故 C 错误;同理,令 h(x)=xex,则 h′(x)=ex+xex=(1+x)ex,所以 h(x)=xex 在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数, 故 D 错误. 答案:B

——————————规律· 总结————————————
1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个 数,常引入中间量或结合图像比较大小. 2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题 对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对 底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利 用性质求解.

————————————————————————

1.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y ∈R.对于任意实数a,b,c,给出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c);②a*b=b*a;③(a*b)+c=(a+c)*(b +c). 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 ( D.3 )

解析:①因为 a*b=lg(10a+10b),故(a*b)*c=lg(10a+10b)*c=
(10a + 10b) + 10c) = lg(10a + 10b + 10c) , 同 理 lg(10lg

a*(b*c) =

a*(lg(10 +10 ))=lg(10

b

c

a

lg(10b+10c))=lg(10a+10b+10c),故 +10

“*”运算满足结合律;②据定义易知运算符合交换律;③(a*b) +c=lg(10a +10b)+c=lg(10a +10b)+lg 10c =lg[(10a+10b)10c] =lg(10a+c+10b+c)=(a+c)*(b+c),故结论成立.综上可知①② ③正确.

答案:D

?x+1,x∈?0,1?, ? ? ? 2 2? ? 2. 已知函数 f(x)=? ?2x-1,x∈?1,2?. ? ? ? ?2 ?

若存在 x1, 2, 0≤x1<x2<2 x 当

时,f(x1)=f(x2),则 x1f(x2)的取值范围是_____.

?x1+1=2x -1, ? 2 ? 2 1 1 解析: 作出函数 f(x)的图像, 由图知? - ≤x1< , 2 2 2 ? ?1≤x2<1. ?2
2

? ? ? x2-1-1? ·x2 - 1 = ?2x2-1-1? 2 - 1 ∈ 所 以 x1f(x2) = 2 ? 2 ? ?

4? 16 ?2- 2 1? ?2- 2 1? ? ,2?,即 x1f(x2)的取值范围是? 4 ,2?. ? 4 ? ? ?
?

? ? ? ?

2?

?2- 2 1? 答案:? , 2? ? 4 ?

函数的零点问题
[例2] 为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) 1 (1)(2013· 青岛模拟)函数f(x)=log2x- x 的零点所在的区间 ( D.(3,4) )

?1-|x-1|,x∈?-∞,2?, ? (2)若函数f(x)= ?1 则函数F(x)=xf(x) ?2f?x-2?,x∈[2,+∞?, ? -1的零点的个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 ( )

(3)(2013· 武汉模拟)定义运算M:x?y=

?|y|,x≥y, ? ? ?x, x<y. ?

设函数

f(x)=(x2-3)?(x-1),若函数y=f(x)-c 恰有两个零点,则实数 c的取值范围是 A.[-3,-2) B.[-3,-2]∪[3,+∞) C.[-2,2] D.(-3,-2)∪[2,+∞) ( )

[自主解答] 内必有零点.

1 (1)由f(1)=-1<0,f(2)= 2 >0可得f(x)在(1,2)

(2)据题意,函数F(x)=xf(x)-1的零点个数可转化为函数y 1 =f(x)与函数y= x 图像交点的个数,在同一坐标系中画出两个 函数图像如图所示:

由图可知共有6个交点,故函数F(x)=xf(x)-1的零点 个数为6.

(3)由x2-3≥x-1解得x≤-1或x≥2,所以f(x)=
?|x-1|,x≤-1或x≥2, ? ? 2 ?x -3,-1<x<2. ?

函数y=f(x)-c恰有两个零点,即函

数y=f(x),y=c的图像恰有两个交点,作出函数y=f(x),y=c 的图像如图,由图可知-3<c<-2或c≥2时,两个图像有两个 不同的交点,故实数c的取值范围是(-3,-2)∪[2,+∞).

[答案]

(1)B

(2)C

(3)D

——————————规律· 总结————————————
判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的 曲线, f(a)· 且 f(b)<0, 还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定 函数有多少个零点. (3)数形结合: 对于给定的函数不能直接求解或画出图形, 常会通过 分解转化为两个函数图像,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其 中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

————————————————————————

2 3.函数f(x)=2 - x -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取
x

值范围是 A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

(

)

解析:∵函数f(x)有一个零点在(1,2)内, ∴f(1)· f(2)<0,即-a(3-a)<0,∴0<a<3.

答案:C

?kx+1,x≤0, ? 4.若函数f(x)= ? ?ln x, x>0, ?

则当k>0时,函数y=f[f(x)]+1 ( )

的零点个数为 A.1 B.2 C.3

D.4

解析:结合图像分析.当k>0时, f[f(x)]
? 1? =-1,则f(x)=t1∈ ?-∞,-k? 或f(x)=t2 ? ?

∈(0,1).对于f(x)=t1,存在两个零点x1, x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3,x4, 共存在4个零点.

答案:D

函数的实际应用
[例3] (2013· 长沙模拟)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,

欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定对这种食品生产厂家提供政 府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克,据 调查,当16≤x≤24时,这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量 q万千克近似地满足关系:p=2(x+4t-14)(x≥16,t≥0),q=24+8ln 20 x (16≤x≤24).当p=q时的市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克20元,政府补贴至少为每千克 多少元?

[自主解答]

20 (1) 由 p = q , 得 2(x + 4t - 14) = 24 + 8ln x

13 1 20 13 x (16≤x≤24, t≥0), 则 t = - x + ln x = + ln 20 - - ln 2 4 2 4 x(16≤x≤24). 1 1 ∵t′=- -x<0,∴t 是 x 的减函数. 4 13 1 20 1 20 1 5 ∴tmin= - ×24+ln = +ln = +ln ; 2 4 24 2 24 2 6 tmax= 13 1 20 5 5 - ×16+ln = +ln , 2 4 16 2 4 5 5 5? , +ln ?. 6 2 4?

?1 ∴函数值域为?2+ln ?

13 1 20 (2)由(1)知 t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 13 1 20 而 x=20 时,t= 2 -4×20+ln 20=1.5(元/千克). ∵t 是 x 的减函数.欲使 x≤20,必须使 t≥1.5(元/千克),要使市 场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为 1.5 元/千克.

——————————规律· 总结————————————

解决函数应用题的四步曲 (1)阅读理解:读懂题意,弄清题中出现的量及其数学含义. (2)分析建模:分析题目中的量与量之间的关系,同时要注意 由已知条件联想熟知的函数模型,以确定函数模型的种类,建立 目标函数,将实际问题转化为数学问题. (3)数学求解:利用相关的函数知识求解计算. (4)还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结 作答. ————————————————————————

5.某企业为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设 备接入本企业电网,安装这种供电设备的成本费(单位:万元)与 1 太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 2 .为了 保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设 在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费c(单位:万元)与安装 的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是c(x) 120 = (x>0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 x+5 15年共将消耗的电费之和是F(x)(万元),则F(40)等于 A.80 B.60 C.42 D.40 ( )

1 120 1 120 解析:依题意得 F(x)=2x+ ×15,F(40)=2×40+ × x+5 40+5 15=60.

答案:B

6.某工厂在政府的帮扶下,准备转型生产一种特殊机器,生产需要 投入固定成本500万元,生产与销售均以百台计数,且每生产100 台,还需增加可变成本1 000万元.若市场对该产品的年需求量为 500台,每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R(m)=5 000m -500m2(0≤m≤5,m∈N). (1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位:百台, x≤5,x∈N*)的函数关系式; (说明:销售利润=实际销售收入-成本) (2)因技术等原因,第一年的年生产量不能超过300台,若第一年 人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)= 500x+500(x≤3,x∈N*),问年产量x为多少百台时,工厂所得 纯利润最大?

解:(1)由题意,y=5 000x-500x2-500-1 000x, 即y=-500x2+4 000x-500(x≤5,x∈N*). (2)记工厂所得纯利润为h(x),则 h(x)=-500x2+4 000x-500-u(x) =-500x2+3 500x-1 000=-500(x2-7x)-1 000
? 7?2 =-500?x-2? +5 ? ?

125(x≤3,x∈N*).

∴当x=3(百台)时,h(x)max=5 000. 故当年生产量为300台时,工厂的纯利润最大,最大值为 5 000万元.

课题 3 指数函数、对数函数与其他交汇性问题 ? 2 1 ?-x + x,x<0, 2 (2013· 潍坊模拟)函数 f(x)=? 若 ?ln?x+1?,x≥0. ?

[典例]

函数 y=f(x)-kx 有三个零点,则 k 的取值范围为________.

[考题揭秘]

本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以

及函数的零点问题,意在考查考生的推理论证能力、运算求解能 力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力. [审题过程] 第一步:审条件.题目已知函数f(x)的解析式

以及函数y=f(x)-kx有三个零点. 第二步:审结论.求实数k的取值范围. 第三步:建联系.问题等价于函数y=f(x)的图像与直线y= kx有三个不同的交点.

[规范解答]

显然x=0是函数y=f(x)-kx的一个零点.因此

只要函数y=f(x)的图像与直线y=kx的图像在x≠0时有两个不同 的交点即可.又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,结合函数 图像,只需寻找函数y=f(x)的图像与直线y=kx有两个交点的条 件即可.??????????????????????① 画出函数y=f(x)及y=kx的图像,如图所示.

????????②

1 当直线 y=kx 与曲线 y=ln(x+1)相切时, y′= 在 x=0 时恰好等于 x+1 1,即 k=1,所以直线 y=x 与曲线 y=ln(x+1)恰好相切于坐标原点.结合 图像,可知只有当 0<k<1 时,y=kx 与 y=ln(x+1)的图像在(0,+∞)上只有 1 1 2 一个交点.同理,直线 y= x 与曲线 y=-x + x 在坐标原点相切,结合函 2 2 1 1 2 数的图像,可知只有当 k> 时,函数 y=kx 与函数 y=-x + x 的图像在(- 2 2 ∞,0)上才存在交点.?????????????????????③ 要使 y=f(x)-kx 有三个零点,则 k 的值为上述两个 k 值的交集,故 <k<1. ????????????????????????????④ 1 2

[答案]

?1 ? ? ,1? ?2 ?

[模型归纳] 解决指数函数、对数函数与其他交汇性问题的模型示意图 如下:

[变式训练] 1.设方程 3x=|lg(-x)|的两个根为 x1,x2(x1<x2),则(
A.x1x2<0 C.x1x2>1 B.x1x2=0 D.0<x1x2<2

)

解析: 在同一平面直角坐标系中画出函数 y =3x 和 y=|lg(-x)|的图像, 可知-2<x1<- 1,-1<x2<0,所以 0<x1x2<2.

答案:D

2.当x∈(3,4)时,不等式loga(x-2)+(x-3)2<0恒成立,则实数a 的取值范围是 A.[2,+∞ ) C.
?1 ? ? ,1? ?2 ?

( B.(1,2]
? 1? D.?0,2? ? ?

)

解析:由 loga(x-2)+(x-3)2<0 知(x-3)2<- loga(x-2)=log 1 (x-2),要使函数 y=log 1 (x
a a

-2)(x∈(3,4))的图像在函数 y=(x-3)2(x∈ 1 (3,4))的图像的上方,则a>1,数形结合可知 log 1 (4-2)≥(4-3)2, a 1 1 1 1 即 log 2≥log a,故a≤2,a≥2,故2 ≤a<1.
1 a 1 a

答案:C

预测演练提能


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