讲座2、图象问题常见类型及解法_图文

讲座2、图象问题常见类型及解法

数学中的图象问题主要体现在数形结合方面,数与形是 数学的两种表达形式,数是形的抽象概括,形又是数的直观

表现。数形结合并不是简单的堆砌,而是有机的结合。所以
要深入学习教材的系统知识,掌握各种函数的图象特点,理 解各种几何图形的性质。也要根据问题的具体情况,注意改

变观察和理解问题的角度,揭示问题的本质联系,用“数”
的准确澄清“形”的模糊,用“形”的直观启迪“数”的计 算,从而使问题得到解决。

一、函数图象变换
【理论阐释】
根据所给的函数解析式及函数图象特征,看函数图象是

否由正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、
幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等函数的图象 或者是已知函数的图象经过平移、伸缩和对称变换而得 到。

典例导悟
(2010〃安徽高考理科〃T6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图 象可能是( )

A、

B、

C、

D、

【解析】选 D.由 D 选项的二次函数图象可知, a ? 0, c ? 0,

且对称轴 ?

b ? 0 ,所以 b ? 0 ,满足 abc ? 0 , 故 D 正确; 2a

同理可判断 A、 B、 C 错误。

二、导函数图象判断

【理论阐释】
原函数与其导函数在某可导区间内,函数的单调性与 其导数的正负有如下关系:(1)如果
f ' ( x) ? 0 ,那么
' 函数 y ? f ( x) 为该区间上的增函数; (2)如果 f ( x)<0

那么函数 y ? f ( x)为该区间上的减函数。因此分析函
数与导函数图象之间的关系是关键。

典例导悟

典例导悟

设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数

y ? f ' ( x) 可能为( )

【解析】选 D.由函数 f ( x) 的图象可知当 x ? 0 时,
f ( x) 递增, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) 先增、

后减、再增, f ' ( x) 先正后负再正,所以应选 D。

三、求函数定义域

【理论阐释】
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算可 以施行为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们 的解集。对于二次不等式可借助于图象求解。

典例导悟
(2010〃湖北高考文科〃T 5)函数 y ? A.(
3 ,1) 4

1 的定义域为 log 0.5 (4 x ? 3)
D. (

(

)

B(

3 ,+∞) 4

C(1,+∞)

3 ,1)∪(1,+∞) 4

【解析】若要解决该函数的定义域,则有 log0.5 (4 x ? 3) ? 0 。 解此不等式需要借助图象,如右图所示:由图象可以看出, 若要 log0.5 (4 x ? 3) ? 0 ,只需 0 ? 4 x ? 3 ? ? , 解得
3 ? x ? ?, 4

3 所以该函数的定义域即为: ( ,1) ,故选 A。 4

四、求二次函数值域
【理论阐释】
对于给定区间上的二次函数值域问题,要充分利用函数

图像、对称轴判定二次函数在给定区间上的单调性,同
时要注意函数定义域对函数值域的影响。

典例导悟

典例导悟

求函数 y ? x

2

? 2x ? 3, x ? (?1, 2]

的值域.

【解析】看到所求函数为二次函数,由于函数是非单调的,所以并不能代 入端点值去求出值域,因此需要借助图象来观察,如下图所示,借助图象 的直观表达可知道, 具有区间范围的该二次函数的图象应为黄色区域部分, 此函数的最小值是在对称轴处取得,即当 x ? 1 时, y ? ?4 。从而该函数的 值域为 ? ?4,0? 。

五、函数单调性方面的应用
【理论阐释】
二次函数的单调性常与其图象的对称轴的位置有
关,故通过画图分析更能直观得出题目所需情况,从而 快速得出结论。

典例导悟
已知 f ( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? 2 在 ? ??, 4? 上是减函数, 求实数 a 的取值范围。

【解析】函数解析式中含有字母,因此函数在坐标系内的具体 位置不能固定, 需要画图分析, 看何种情况才能满足题干要求。

通过图象分析可知:若要满足函数在给定区间上为单 调函数,只能是后两种情况, 也就是函数图象的对称轴不能出现在所给区间内,从而 找到解题突破口。 所给函数对称轴方程: x ? a ? 1 , 由图象分析可知, 需有 a ? 1 ? 4 ,从而 a ? 5 。

六、函数奇偶性方面的应用

【理论阐释】
奇(偶)函数的图象关于原点(或 y 轴)对称,反之也 成立。

典例导悟
已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,
f ( x) ? x(1 ? x) .试求当 x ? 0 时函数 f ( x) 的解析式。
【解析】方法一:若求 x ? 0 时,函数的解析式,我们知 道 ? x ? 0 ,从而满足题中所给条件,故有:
f (? x) ? (? x)[1 ? (? x)] ? x( x ? 1) ,又由函数 f ( x) 为 R 上的

奇函数,从而有 f (? x) ? ? f ( x) ,所以有 f ( x) ? ? x( x ?1) .

方法二: (1)画出函数 f ( x) 在已知条件下的图象: 当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) .

(2)再利用函数是奇函数,从而函数图象关于原点对 称,通过图象得出当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的解析式为
f ( x) ? ? x( x ?1) .

七、区间含参数的二次函数的最值

【理论阐释】 对于函数 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0), x ?[ p, q] 的最值问题,最好用 图象法,尤其是当“轴定区间变”时,利用图象作参考 找出讨论时分类的标准。

典例导悟
已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,试求:在 ? a, a ? 2? 上 函数的最小值 g (a) 。

【解析】所给函数是已知的,但区间是可变动的,随着 a 值 的不同, 区间位置发生变化, 而对于二次函数这种非单调的 函数来说, 其最值不能简单代入端点求解, 故需画图帮助分 析。

(1) 当区间在对称轴左侧时,如图(1)所示,对称轴方程 x ? 1 , 函数的最小值在区间的右端点取得,即 a ? 2 对应的函数值,也就 是,当 a ? 2<1 ,即 a ? ?1 时,函数的最小值是:

f (a ? 2) ? (a ? 2)2 ? 2(a ? 2) ? 3 ? a2 ? 2a ? 3 。

图(1)

(2) 当对称轴处于区间内部时,如图(2)所示, 函 数的最小值就是函数的最低点,也就是,当 a ? 1 ? a ? 2 , 即 ?1 ? a ? 1 时,函数的最小值是: f (1) ? ?4 。

(3) 当区间在对称轴右侧时,如图(3)所示,函数的最小值在区间 的左端点取得,即 a 对应的函数值,也就是,当 a ? 1 时,函数的最小 值是: f (a) ? a2 ? 2a ? 3 。

?a 2 ? 2a ? 3, a ? ?1 ? ?1 ? a ? 1 . 综上,函数的最小值 g (a) ? ? ?4, ? a 2 ? 2a ? 3, a ?1 ?


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