2016_2017学年高中数学第1讲坐标系1平面直角坐标系学案

一 平面直角坐标系
1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用并领会坐标法的 应用.
2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况,掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.(重 点、难点)
3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.

[基础·初探] 教材整理 1 平面直角坐标系 阅读教材 P2~P4“探究”及以上部分,完成下列问题. 1.平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联 系,从而实现了数与形的结合. 2.坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究 它的性质及与其他几何图形的关系. 3.坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示 问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问 题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.

点 P(-1,2)关于点 A(1,-2)的对称点坐标为( )

A.(3,6)

B.(3,-6)

C.(2,-4)

D.(-2,4)

【解析】 设对称点的坐标为(x,y),

则 x-1=2,且 y+2=-4,

∴x=3,且 y=-6.

【答案】 B

教材整理 2 平面直角坐标系中的伸缩变换

阅读教材 P4~P8“习题”以上部分,完成下列问题.

1

设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ

:?????xy′ ′= =λμ

·x ·y

λ μ



的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,

简称伸缩变换.

1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )

A.椭圆

B.比原来大的圆

C.比原来小的圆

D.双曲线

【解析】 由伸缩变换的意义可得.

【答案】 D

2.y=cos x 经过伸缩变换?????xy′ ′= =23xy, 后,曲线方程变为(

)

A.y′=3cosx2′

B.y′=3cos 2x′

C.y′=13cosx2′

D.y′=13cos2x′

【解析】 由?????xy′ ′= =23xy

??x=12x′ ,得???y=13y′

,又∵y=cos x,

∴13y′=cosx2′,即 y′=3cosx2′. 【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]
2

运用坐标法解决平面几何问题 已知?ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
【导学号:91060000】 【思路探究】 从要证的结论,联想到两点间的距离公式(或向量模的平方),因此首先 建立坐标系,设出 A,B,C,D 点的坐标,通过计算,证明几何结论. 【自主解答】 法一 (坐标法) 以 A 为坐标原点 O,AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy,则 A(0,0), 设 B(a,0),C(b,c),
则 AC 的中点 E???b2,c2???,由对称性知 D(b-a,c), 所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2, |AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2, |AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab), |AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, ∴|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
法二 (向量法) 在?ABCD 中,→AC=→AB+→AD, 两边平方得A→C2=|→AC|2=A→B2+A→D2+2→AB·→AD, 同理得B→D2=|→BD|2=B→A2+B→C2+2→BA·→BC, 以上两式相加,得 |A→C|2+|→BD|2 =2(|A→B|2+|→AD|2)+2→BC·(→AB+→BA) =2(|A→B|2+|→AD|2), 即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理:平行四边形的两条对角线的平方和等于 其四边的平方和.法一是运用代数方法,即用解析法实现几何结论的证明.这种“以算代证” 的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算,更显言简意赅, 给人以简捷明快之感.
3

2.建立平面直角坐标系的方法步骤: (1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是 利于运用已知条件,使运算简便,表达式简明; (2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程; (3)运算——通过运算,得到所需要的结果.

[再练一题]

1.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且满足|BD|=|CD|.

求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|BD|2).

【证明】 法一 以 A(O)为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.

则 A(0,0),设 B(a,0),C(b,c),则 D???a+2 b,c2???,

所以|AD|2+|BD|2=

a+b 4

c 2

2

+4+

a-b 4

2+c42=12(a2+

b2+c2),

|AB|2+|AC|2=a2+b2+c2=2(|AD|2+|BD|2).

法二 延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接 BE,CE,

则四边形 ABEC 为平行四边形,由平行四边形的两条对角线的平方

和等于四条边的平方和得

|AE|2+|BC|2=2(|AB|2+|AC|2),

即(2|AD|)2+(2|BD|)2=2(|AB|2+|AC|2),所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|BD|2).

用坐标法解决实际问题

由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执 行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东 6 km 处,丙舰在乙舰北偏西 30°, 相距 4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s.若甲舰赶赴救援,行进的 方位角应是多少?
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置,因此不妨用点 A、 B、C 表示甲舰、乙舰、丙舰,建立适当坐标系,求出商船与甲舰的坐标,问题可解.
【自主解答】 设 A,B,C,P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示, 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,

则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3). ∵|PB|=|PC|, ∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.

4

kBC=- 3,线段 BC 的中点 D(-4, 3), ∴直线 PD 的方程为 y- 3= 1 (x+4). ①
3

又|PB|-|PA|=4,

∴点 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,

双曲线方程为x42-y52=1(x≥2).



联立①②,解得 P 点坐标为(8,5 3),

∴kPA=85-33= 3.

因此甲舰行进的方位角为北偏东 30°.

1.由于 A,B,C 的相对位置一定,因此解决问题的关键是如何建系. 2.运用坐标法解决实际问题的步骤:建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果 →回答实际问题.
[再练一题] 2.有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品 后运回的费用:A 地每千米的运费是 B 地每千米运费的 3 倍,已知 A、B 两地距离为 10 千米, 顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低,求 P 地居民选择 A 地或 B 地购货总费用相等时,点 P 所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居 民应如何选择购物地点? 【解】 如图,以 A、B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,设 P 点的坐标为(x,y),P 到 A、B 两地购物的运费分别是 3a、a(元/千米). 当由 P 地到 A、B 两地购物费用相等时,有“价格+A 地运费=价格+B 地运费”, ∴3a· x+ 2+y2=a· x- 2+y2,
化简整理,得???x+245???2+y2=???145???2. (1)当 P 点在以???-245,0???为圆心,145为半径的圆上时,居民到 A 地或 B 地购货总费用相等. (2)当 P 点在上述圆内时, ∵???x+245???2+y2<???145???2, ∴[9(x+5)2+9y2]-[(x-5)2+y2]
5

=8???x+245???2+y2-???145???2<0, ∴3 x+ 2+y2< x- 2+y2. 故此时到 A 地购物最合算. (3)当 P 点在上述圆外时,同理可知,此时到 B 地购物最合算.
[探究共研型] 伸缩变换
探究 1 怎样由正弦曲线 y=sin x 得到曲线 y=sin 2x? 【提示】
如图,在正弦曲线 y=sin x 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标 y 不变,将横坐标 x 缩 为原来的12,那么正弦曲线 y=sin x 就变成曲线 y=sin 2x.
探究 2 怎样由正弦曲线 y=sin x 得到曲线 y=3sin x? 【提示】 如图,在正弦曲线 y=sin x 上任取一点 P(x,y),保持横坐标 x 不变,将 纵坐标 y 伸长为原来的 3 倍,那么正弦曲线 y=sin x 就变成曲线 y=3sin x.
探究 3 怎样由正弦曲线 y=sin x 得到曲线 y=3sin 2x? 【提示】 实际上,这是上述探究 1、2 的“合成”:如图,先保持纵坐标 y 不变,将 横坐标 x 缩为原来的12;在此基础上再将纵坐标 y 变为原来的 3 倍,就可以由正弦曲线 y= sin x 得到曲线 y=3sin 2x.
6

在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ :?????x2′ y′==3xy, . (1)求点 A???13,-2???经过 φ 变换所得的点 A′的坐标; (2)点 B 经过 φ 变换后得到点 B′???-3,21???,求点 B 的坐标; (3)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程; (4)求双曲线 C:x2-6y42 =1 经过 φ 变换后所得曲线 C′的焦点坐标.

【思路探究】 (1)由伸缩变换?????x2′ y′==3xy, , 求得 x′,y′,即用 x,y 表示 x′,y′; (2)(3)(4)将求得的 x,y 代入原方程得 x′,y′间的关系.
【自主解答】 (1)设点 A′(x′,y′).

由伸缩变换 φ :?????x2′ y′==3xy, ,

??x′=3x, 得到???y′=21y.

又已知点 A???13,-2???. 于是 x′=3×13=1,y′=12×(-2)=-1, ∴变换后点 A′的坐标为(1,-1).

(2)设 B(x,y),由伸缩变换 φ :?????x2′ y′==3xy, ,

得到???x=13x′, ??y=2y′,

由于 B′???-3,21???, 于是 x=13×(-3)=-1,y=2×12=1, ∴B(-1,1)为所求. (3)设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′),

由上述可知,将???x=13x′



??y=2y′

7

代入 y=6x 得 2y′=6×???13x′???, 所以 y′=x′,即 y′=x′为所求. (4)设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),

将???x=13x′ ??y=2y′

代入 x2-6y42 =1,

x′2 4y′2 得 9 - 64 =1,

x′2 y′2 化简得 9 - 16 =1,

∴a2=9,b2=16,c2=25,

因此曲线 C′的焦点 F′1(5,0),F′2(-5,0).

1.解答本题的关键:(1)是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;(2)

是明确变换前后点的坐标关系,利用方程思想求解.

2.伸缩变换前后的关系:

已知平面直角坐标系中的伸缩变换

φ

:?????xy′ ′= =λμ

·x ·y

λ μ

, 则点的坐标与曲线


的方程的关系为:

类型

联系

变换前

变换后

点P 曲线 C

(x,y) f(x,y)=0

(λ x,μ y)

f???λ1

x′, 1 μ

y′???=0

[再练一题] 3.若将例 3 中第(4)题改为:如果曲线 C 经过 φ 变换后得到的曲线的方程为 x′2= 18y′,那么能否求出曲线 C 的焦点坐标和准线方程?请说明理由. 【解】 设曲线 C 上任意一点 M(x,y),经过 φ 变换后对应点 M′(x′,y′).

由?????x2′y′==3xy,,

??x′=3x, 得???y′=y2.

(*)

又 M′(x′,y′)在曲线

x′2=18y′上.



8

将(*)代入①式得
(3x)2=18×???12y???, 即 x2=y 为曲线 C 的方程. 可见仍是抛物线,其中 p=12,抛物线 x2=y 的焦点为 F???0,14???,准线方程为 y=-14.
[构建·体系]

— 平面直角坐标系 — 坐标法思想

?? 平面直角 ?? 坐标系



?— 定义 — 伸缩变换 —???— 应用

1.如何由正弦曲线 y=sin x 经伸缩变换得到 y=12sin12x 的图象(

)

A.将横坐标压缩为原来的12,纵坐标也压缩为原来的12

1 B.将横坐标压缩为原来的2,纵坐标伸长为原来的 2 倍

C.将横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标也伸长为原来的 2 倍

1 D.将横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标压缩为原来的2

【解析】

y=sin x横―坐―标――伸―长――为―原→来y=sin12x―纵―坐――标―压――缩1―为→y=12sin12x.故选 D.

的2倍

原来的2

【答案】 D 2.将直线 x+y=1 变换为直线 2x′+3y′=6 的一个伸缩变换为( )

【导学号:91060001】

A.?????xy′ ′= =32xy

B.?????xy′ ′= =23xy

9

??x′=13x C.???y′=12y

??x′=12x D.???y′=13y

【解析】

设伸缩变换为?????xy′′==λμ

x, y,

由(x′,y′)在直线

2x′+3y′=6 上,则 2λ x+3μ y=6,

因此λ3 x+μ2 y=1,与 x+y=1 比较,

∴λ3 =1 且μ2 =1,故 λ =3 且 μ =2,

即所求的变换为????? xy′′==32xy,. 【答案】 A 3.在△ABC 中,B(-2,0),C(2,0),△ABC 的周长为 10,则 A 点的轨迹方程为________. 【解析】 ∵△ABC 的周长为 10, ∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4, 即有|AB|+|AC|=6>4, ∴A 点轨迹为椭圆除去 B、C 两点,且 2a=6,2c=4, ∴a=3,c=2,b2=5,
x2 y2 ∴A 点的轨迹方程为 9 + 5 =1(y≠0).
x2 y2 【答案】 9 + 5 =1(y≠0)

4.将圆 x2+y2=1 经过伸缩变换???x′=4x 后的曲线方程为________. ??y′=3y

【解析】 由?????xy′ ′= =43xy, ,

??x=x′ 4 , 得???y=y′ 3 ,

代入到 x2+y2=1,得x1′6 2+y′9 2=1. x′2 y′2
【答案】 16 + 9 =1

10

??x′=2x , 5.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换???y′=14y

后,曲线

C

x′2 变为曲线 16

+4y′2=1,求曲线 C 的方程并画出图形. 【解】 设 M(x,y)是曲线 C 上任意一点,变换后的点为 M′(x′,y′).

??x′=2x, 由???y′=41y,

且 M′(x′,y′)在曲线x1′6 2+4y′2=1 上,

4x2 4y2 得 16 + 16 =1, ∴x2+y2=4. 因此曲线 C 的方程为 x2+y2=4,表示以 O(0,0)为圆心,以 2 为半径的圆(如图所示).

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(一)

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.动点 P 到直线 x+y-4=0 的距离等于它到点 M(2,2)的距离,则点 P 的轨迹是( )

A.直线

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

【解析】 ∵M(2,2)在直线 x+y-4=0 上,

∴点 P 的轨迹是过 M 与直线 x+y-4=0 垂直的直线.

【答案】 A

2.已知线段 BC 长为 8,点 A 到 B,C 两点距离之和为 10,则动点 A 的轨迹为( )

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

【解析】 由椭圆的定义可知,动点 A 的轨迹为一椭圆.

11

【答案】 C 3.若△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC 的形状为( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

【解析】 |AB|= - 2+ - 2= 2,

|BC|=

- 2+ - 2= 5,

|AC|=

- 2+ - 2= 5,

|BC|=|AC|≠|AB|,△ABC 为等腰三角形.

【答案】 A 4.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围

成的图形的面积等于( )

A.π

B.4π

C.8π

D.9π

【解析】 设 P 点的坐标为(x,y),

∵|PA|=2|PB|,

∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],

即(x-2)2+y2=4.

故 P 点的轨迹是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,它的面积为 4π .

【答案】 B

5.在同一平面直角坐标系中,将曲线 y=13cos 2x 按伸缩变换?????xy′′==23xy,, 后为(

)

A.y′=cos x′

B.y′=3cos12x′

C.y′=2cos13x′

D.y′=12cos 3x′

【解析】 由?????xy′ ′= =23xy, ,

??x=x′2 , 得???y=y′ 3 .

代入 y=13cos 2x,得y3′=13cos x′, ∴y′=cos x′. 【答案】 A 二、填空题

12

??x′=2 x017,

??? 6.若点 P(-2 016,2 017)经过伸缩变换

y′=2

y 016

后的点在曲线 x′y′=

k 上,则 k=________.

??x′=2 x017,

【解析】

??? ∵P( - 2 016,2 017) 经 过 伸 缩 变 换

y′=2

y 016,



??x′=-22010716, ???y′=22 001176,

代入 x′y′=k, 得 k=-1.

【答案】 -1 7.将点 P(2,3)变换为点 P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.

【导学号:91060002】

【解析】

设伸缩变换为?????xy′′==hkxy

h> k>

, ,

由?????11= =23hk, ,

??h=12, 解得???k=31,

??x′=x2, ∴???y′=3y.

??x′=x2 【答案】 ???y′=y3

8.平面直角坐标系中,在伸缩变换 φ :

??x′=λ x λ >0,λ ???y′=μ y μ >0,μ

, 作用下仍是其本身的点为________.


【解析】



P(x,y)在伸缩变换 φ

:????? xy′′==λμ

x y

λ μ

μ y).

, 作用下得到 P′(λ x,

13

依题意得?????xy= =λμ

x, y,

其中 λ >0,μ >0,λ ≠1,μ ≠1,

∴x=y=0,即 P(0,0)为所求.

【答案】 (0,0)

三、解答题

??x′=x3,

??? 9.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 y′=y2



的图形. (1)x2-y2=1; x2 y2 (2) 9 + 8 =1.

【解】

??x′=x3, 由伸缩变换???y′=2y,

得?????xy= =32xy′ ′, . ①

(1)将①代入 x2-y2=1 得 9x′2-4y′2=1,

??x′=x3,
因此,经过伸缩变换
???y′=2y

后,双曲线 x2-y2=1 变成双曲线 9x′2-4y′2

=1,如图甲所示.

?? x2 y2 ??? (2)将①代入9 + 8 =1



x′2+y′2 2=1,因此,经过伸缩变换

x′=x3, y′=2y

后,椭

x2 y2 圆 9 + 8 =1

变成椭圆

x′2+y′2 2=1,如图乙所示.

10.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为 危险区,城市 B 在 A 地正东 40 km 处.求城市 B 处于危险区内的时间.
14

【解】 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 B(40,0), 以点 B 为圆心,30 为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302, 台风中心移动到圆 B 内时,城市 B 处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线 y=x,与 圆 B 相交于点 M,N, 点 B 到直线 y=x 的距离 d= 40 =20 2.
2 求得|MN|=2 302-d2=20(km),故|M2N0|=1, 所以城市 B 处于危险区的时间为 1 h.

[能力提升]

1.在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换???x′=5x, 后曲线 C 变为曲线 2x′2+ ??y′=3y

8y′2=0,则曲线 C 的方程为( )

A.25x2+36y2=0

B.9x2+100y2=0

C.10x+24y=0

D.225x2+89y2=0

【解析】 将???x′=5x, 代入 2x′2+8y′2=0,得: ??y′=3y,
2·(5x)2+8·(3y)2=0,即:25x2+36y2=0. 【答案】 A 2.如图 1?1?1,在平面直角坐标系中,Ω 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别 相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D 是该圆的四等分点.若点 P(x, y)、点 P′(x′,y′)满足 x≤x′且 y≥y′,则称 P 优于 P′.如果 Ω 中的点 Q 满足:不存 在 Ω 中的其他点优于点 Q,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( )

图 1?1?1

︵ A. AB

B. B︵C C. ︵CD

D. ︵DA

【解析】 如图,过任一点 P 作与坐标轴平行的直线,则两直线将平面分为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,

15

︵ Ⅳ四部分,由题意,Ⅱ(包含边界)区域内的点优于 P,在圆周上取点,易知只有 P 在AD上时,
︵ Ⅱ(含边界)内才不含 Ω 内的点,故点 Q 的集合为DA.
【答案】 D 3.已知 A(2,-1),B(-1,1),O 为坐标原点,动点 M 满足→OM=mO→A+nO→B,其中 m,n∈R, 且 2m2-n2=2,则 M 的轨迹方程为________. 【 解 析】 设 M(x , y) , 则 (x , y) = m(2 , - 1) + n( - 1,1) = (2m - n , n - m) , ∴?????xy==2nm--mn., 又 2m2-n2=2,消去 m,n 得x22-y2=1. 【答案】 x22-y2=1 4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图 1?1?2,航天器运
x2 y2 行(按顺时针方向)的轨迹方程为100+25=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线) 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴,M???0,674???为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0), 观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.
图 1?1?2 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应 向航天器发出变轨指令? 【解】 (1)设曲线方程为 y=ax2+674. 因为 D(8,0)在抛物线上,∴a=-17,
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∴曲线方程为 y=-17x2+674. (2)设变轨点为 C(x,y).
?? x2 y2 100+25=1, 根据题意可知
???y=-17x2+674,
∴4y2-7y-36=0, 解得 y=4 或 y=-94(不合题意,舍去), ∴y=4. 解得 x=6 或 x=-6(不合题意,舍去), ∴C 点的坐标为(6,4),|AC|=2 5,|BC|=4. 即当观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为 2 5、4 时,应向航天器发出变轨指令.
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