2.2-直线的参数方程-(选修4-4)_图文

一、课题引入

我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

y ? kx ? b
x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0

y2 ? y1 k? x2 ? x1

? tan ?

求这条直线的方程. 解:? 在直线上任取一点M(x,y),则 ?????? (x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) M? 0M ? 设 ? e是直线l的单位方向向量,则 y M(x,y) e ? (cos ? ?????? ?,sin ? ?) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? M0(x0,y0) 使M 0 M ? te,即 ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) e x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 所以 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? ? (cos ? ,sin ? ) 所以,该直线的参数方程为 O
? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

x

1

? x ? 3 ? t sin 200 t ? 0 ? y ? t cos 20 A.200 B.700

B

C.1100

D.1600
? 2 x ? 1? t ? ? 2 t ? ?y ? 2 t ? 2 ?

2

x ? y ?1 ? 0

?????? ? ? 思考: 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方
? ? ?????? ? ? ?????? 解: ? M M ? te ? M 0 M ? te 0

程中参数t的几何意义吗?
y M M0

? ? 又? e是单位向量, ? e ?1 ?????? ? ? 这就是t的几何 ? M 0M ? t e ? t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

? e
O
x

?????? ? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M

我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还
?????? ? M0 M

的方向呢? ?

是有时向上有时向下呢? 分析: 此时 ,? 若t>0,则 ?????? ?? 是直线的倾斜角, ?当0<? <? 时, ?sin? >0 M0 M 的方向向上; ? ? 又 ? sin? 表示e 的纵坐标, ?若 e 的纵坐标都大于 0 t<0, 则 ?????? ? ? ? M0 M的点方向向下 那么e 的终点就会都在第一,二象限, ?e 的方向 ; 若 t=0, 则 M 与点 就总会向上。 M0重合.

三、例题讲解 2 例 1 例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y

M(-1,2)

O

B

x

三、例题讲解
?x ? y ?1 ? 0 解:由 ? 2 y ? x ? 得: x2 ? x ? 1 ? 0

(*)

?由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?1 ,x1 ? x2 ? ?1
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10

3? 5 3? 5 ?1? 5 ?1? 5 ? y ? , y ? 由(*)解 得 : x1 ? ,x2 ? 1 2 2 2 2 2 ?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 记直 线与抛 物线 的交点 坐 标A( , ),B( , ) 2 2 2 2
?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 则 MA ? MB ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

( 1 )如何写出直线 l的参数方程?



( 2 )如何求出交点 A,B所对应的参数 t1,t 2 ?


( 3 ) AB 、 MA ? MB 与t1,t 2有什么关系?

探究
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少?

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

课堂练习

1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 5.一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

4 3

6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分速度分别 为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹的参 数方程.

? x ? 1 ? 9t (t为参数) ? ? y ? 1 ? 12t

直线的参数方程一般式:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

当a ?b ? 1时,t有明确的几何意义,即 t ? M 0 M
2 2

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

当a 2 ?b2 ? 1时,t没有明确的几何意义。

| M 0 M |? a ? b | t |
2 2

| M1 M 2 |? a ? b | t1 ? t 2 |
2 2

小结:
1.直线参数方程的标准式

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? |t|=|M0M| ? y ? y0 ? t sin ?
2.直线参数方程的一般式

当a ?b ? 1时,t有明确的几何意义,即 t ? M 0 M 当a ?b ? 1时,t没有明确的几何意义。
2 2

? x ? x0 ? at (t为参数) ? y ? y ? bt 0 ? 2 2
2 2

| M M |? a ? b | t |

| M1 M 2 |? a ? b | t1 ? t 2 |
2 2

P41习题2.3 ? ?1、 3

在例3中,海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间?如果台风侵袭的半径也发生变化(比如: 当前半径为250KM,并以10KM/h的速度不 断增大),那么问题又该如何解决?

3 5.已知经过A(5,?3)且倾斜角的余弦是? 的 5 2 2 直线与圆x ? y ? 25交于B、C两点, (1)求BC中点坐标; (2)求过点A的切线方程及切点坐标 。 44 6 (1)( , ); 25 25 (2)过点A的切线为x ? 5,切点为( 5, 0) 130 ? 27 和8 x ? 15y ? 85 ? 0, 切点为( , ) 17 17

练习: 1、直线{ x ? ?2 ? 2t y ? 3 ? 2t (t为参数)上与点P(?2,3)
)

距离等于 2的点的坐标是 ( C
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)

B(-3,4) D(-4,5)(0,1)

x ? ?1 ? t 2、设直线的参数方程为 { (t为参数) y ? 2 ? 4t 则点(3,6)到直线的距离是__________ 20 17 _____

17
3、直线 { x ? ?2 ? t cos300 y ? 3 ? t sin 60
)
0

(t为参数)的倾斜角?

等于( D

A.30

0

B.60

0

C. ? 45

0

D.135

0


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