1.3.2 函数的奇偶性(教案)

高 2015 级教案

必修 1

第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

§1.3

函数的基本性质 奇偶性

§1.3.2
【教学目标】
l.知识与技能

理解函数的奇偶性及其几何意义; 学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 学会判断函数的奇偶性。

2. 过程与方法
通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想。

3. 情感态度与价值观
通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

【教学重点】
函数的奇偶性及其几何意义。

【教学难点】
判断函数的奇偶性的方法与格式。

【教学方法】
学生通过自己动手计算,独立地去经历发现,猜想与证明的全过程,从而建立奇偶函数的概念。

【教学过程】
【导入新课】
思路: “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有 什么共性? 观察下列两组函数的图象,总结每组中各函数图像之间的共性。 (1) y ? x ;
2

y ? x ?1;
y
y=x2

y ?

1
y

y

x

2

y=x

y=

1 x2

O
O x

x

O

x

(2) y ? x ;
y

y ? x ;
3

y ? ?

1 x
y y= 1 x

y

y=x

y=x3

O

x

O

x

O

x

归纳: (1)函数 y ? x 的图像是定义域为全体实数的抛物线;函数 y ? | x | ? 1 的图像是定义域为全体
2

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

实数的折线; 函数 y ?

1 x
2

的图像是定义域为非零实数的两支曲线, 各函数图像之间的共性为 “图象关于 y

轴对称” 。如何用图像上的点的坐标来反应这种对称关系呢?若点 ( x , f ( x )) 在函数图象上,则相应的点
( ? x , f ( x )) 也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等。

(2)函数 y ? x 的图像是定义域为全体实数的直线;函数 y ? x 的图像是定义域为全体实数的曲线;
3

函数 y ?

1 x

的图像是定义域为非零实数的两支双曲线,各函数图像之间的共性为“图象关于原点对称” 。

如何用图像上的点的坐标来反应这种对称关系呢?若点 ( x , f ( x )) 在函数图象上,则相应的点 ( ? x , ? f ( x )) 也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也互为相反数。

【推进新课】
【新知探究】 【知识点 1】 1、函数的奇偶性的定义: (1)一般地,设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 I : 若对于定义域 I 内的任意一个 x ,都有 f ? ? x ? ? f ? x ? 恒成立,则称函数 y ? f ? x ? 为偶函数。 若对于定义域 I 内的任意一个 x ,都有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 恒成立,则称函数 y ? f ? x ? 为奇函数。 (2)如果函数 f ? x ? 在定义域上是奇函数或偶函数,那么称函数 y ? f ? x ? 具有奇偶性。 【注意】 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质。 (2)由函数的奇偶性的定义可知,具有奇偶性的函数对于定义域内的任意一个 x ,则 ? x 也一定在定义域 内,即定义域关于原点对称。 (3)函数按照奇偶性分类,可分为:①只是奇函数不是偶函数;②只是偶函数不是奇函数;③既是奇函 数又是偶函数;形式: f ? x ? ? 0 ? x ? A ? , A 关于原点对称。④既不是奇函数又不是偶函数(非奇 非偶函数) 特点: 。 定义域不关于原点对称或定义域关于原点对称但均不满足奇函数和偶函数的定义。 【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? x ; (2) f ? x ? ? x ; (3) f ? x ? ? x ?
4 5

1 x

; (4) f ? x ? ?

1 x
2



【变式 1】课本 P3 6

练习 1

【总结】利用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)判断函数 f ? x ? 的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数 f ? x ? 为非奇非偶函数,若 对称,则进行下一步。 (2)在定义域下化简函数 f ? x ? 的解析式; (3)验证 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 或 f ? ? x ? ? f ? x ? 。
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

(4)下结论:若 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 且 f ? ? x ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 为奇函数。 ? (等价式子: f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 或
f

??x? f ?x?
f

? ?1? f

? x? ? 0?
。 ?x? ? 0? )

且 f ??x? ? f ?x? ? 0 或 ?

??x? f ?x?

? 1? f ?

若 f ? ? x ? ? f ? x ? 且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 为偶函数。 ? (等价式子: f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 或
f

??x? f ?x?
f

? 1? f

?x? ? 0?
。 ? x? ? 0? )

且 f ??x? ? f ?x? ? 0 或 ?

??x? f ?x?

? ?1? f ?

若 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 且 f ? ? x ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 既为奇函数又为偶函数。 (等价式子: f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 或
f

??x? f ?x?
f

? ?1? f

? x? ? 0?
。 ?x? ? 0? )

且 f ??x? ? f ?x? ? 0 或

??x? f ?x?

? 1? f

若 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 且 f ? ? x ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 为非奇函数非偶函数。 ? ? (等价式子: f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 或 ?
f

??x? f ?x?
f

? ?1? f ?

? x? ? 0?
。 ?x? ? 0? )

且 f ??x? ? f ?x? ? 0 或 ? 【例 2】判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? ? 3 x ? 1 ; (2) f ? x ? ? 3 ; (3) f ? x ? ? ?
2

??x? f ?x?

? 1? f ?

? x ? x, x ? 0 ?
2

?x ? x ,x ? 0 ?
2

; (4) f ? x ? ?

4? x

2

x?3 ?3



(5) f ? x ? ?

2? x ?

x?2 ; (6) f

?x? ?

x ? x
3

2

x ?1

; (7) f ? x ? ? x ? x 。
3 2

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

【总结】1、多项式函数 y ? f ? x ? 为偶函数 ? 函数 y ? f ? x ? 中无自变量的奇次方; 多项式函数 y ? f ? x ? 为奇函数 ? 函数 y ? f ? x ? 中无自变量的偶次方。 2、函数 y ? a ? x ? A ? ,且 A 关于原点对称,则: (1)当 a ? 0 时, y ? a ? x ? A ? 既为奇函数又为偶函数; (2)当 a ? 0 时, y ? a ? x ? A ? 只为偶函数不为奇函数。 【变式 2】判断下列函数的奇偶性:
?x ? 2 ? 4 2 3 (1) f ? x ? ? x ? 2 x ; (2) f ? x ? ? x ? ; (3) f ? x ? ? ? 0 x ? ?? x ? 2 x ? ?1 x ?1; (4) f x ?1

1

?x? ?

x ;

(5) f ? x ? ?

x ?1 ?
2

1? x

2

; (6) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 ; (7) f ? x ? ? ? 2 x ? 1 ?

1? x 1? x



【知识点 2】 2、奇函数、偶函数的图像特征: (1)函数 y ? f ? x ? 在定义域 I 内为奇函数 ? 函数 y ? f ? x ? 在定义域 I 内的图像关于原点对称。 (2)函数 y ? f ? x ? 在定义域 I 内为偶函数 ? 函数 y ? f ? x ? 在定义域 I 内的图像关于 y 轴对称。 【说明】由以上结论可知:如果知道一个函数是奇函数或偶函数,那么只需要把它的定义域分成关于原点 对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图像就可推出函数在另一部分上的性质和图像。 【例 3】课本 P3 5 思考(2) 练习 2

【变式 3】1、课本 P3 6

2、已知 y ? f ? x ? 是偶函数,且图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ? x ? ? 0 的所有实根之和等 于 。
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

3、设奇函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? ? 5, 5 ? ,当 x ? ? 0, 5 ? 时,函数 y ? f ? x ? 的图像如图所示,
y

求使函数值 y ? 0 的 x 取值的集合。

-5

-2

O

2

5

x

【知识点 3】 3、奇函数、偶函数的性质: (1)若奇函数 y ? f ? x ? 在原点处有定义,则必有 f ? 0 ? ? 0 ; (2)若函数 y ? f ? x ? 为偶函数,则必有 f

? x ? ? f ? x ? 恒成立。

(3)一般地,若 f ? x ? 为奇函数,则 f ? x ? 在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;若 f ? x ? 为偶函 数,则 f ? x ? 在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 (4)一般地,在两个函数的定义域的公共部分有:①两个奇函数的和仍为奇函数;②两个偶函数的和仍 为偶函数;③两个奇函数的积是偶函数;④两个偶函数的积是偶函数;⑤一个奇函数与一个偶函数 的积是奇函数。 【例 4】 已知函数 y ? f ? x ? 为定义在 ? ? 2, 2 ? 上的奇函数, 且在 ? 0 , 2 ? 上单调递减, f ? m ? ? f ? m ? 1 ? ? 0 , 若 求实数 m 的取值范围。

【变式 4】已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ? 1,1 ? 上的偶函数,且在 ? 0 ,1 ? 上为增函数,解不等式:
f

?a ? 2? ?

f

? 2a ? 5? ? 0 。

【例 5】已知函数 f ? x ? 对任意 m , n ? R ,总有 f ? m ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ,且当 x ? 0 时,总有
f

?x? ?

0 , f ?1 ? ? ?

2 3



(1)求证: f ? x ? 为奇函数; (2) f ? x ? 是 R 上的减函数; (3)求 f ? x ? 在 ? ? 3, 3 ? 上的最大值与最小值。

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第一章

集合与函数概念
3

撰稿人:王海红

【例 6】已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ? 1 ,求 f ? x ? 的解析式。

【变式 5】已知函数 f ? x ? 是偶函数,且当 x ? 0 时有 f ? x ? ? x ? x ? 1 ? ,求当 x ? 0 时 f ? x ? 的解析式。

【例 7】已知函数 f ? x ? ?

? x ? 1? ? x ? a ?
x
2

为奇函数,则 a=________。

【变式 6】1、已知 f ? x ? ? a x ? b x 是定义在 ? a ? 1, 2 a ? 上的偶函数,那么 a+b 的值是________。 2、设函数 f ? x ? ? x ?
3

1 x

? 1 ,若 f

? a ? ? 1 1 ,则 f ? ? a ? ? ________。

【知能训练】 1、课本习题 1.3A 组 5 B 组 2; 2、点金训练 1.3.1 单调性与最大(小)值 3、补充练习: 点金测评 创新训练。

第 1 课时
一、选择题

奇偶性的概念
)

1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

2.f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是( A.f(-x)+f(x)=0 3.若函数 f(x)= 1 A. 2 B.f(-x)-f(x)=-2f(x)

C.f(x)· f(-x)≤0 )

f?x? D. =-1 f?-x?

x 为奇函数,则 a 等于( ?2x+1??x-a? 2 B. 3 3 C. 4 D.1

4.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数。其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

5.给出函数 f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数 y=f(x)的图象上的是( A.(a,-f(a)) B.(a,f(-a)) ) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 C.(-a,-f(a)) D.(-a,-f(-a))

1 6.函数 f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 二、填空题

B.直线 y=-x 对称

7.偶函数 y=f(x)的定义域为[t-4,t],则 t=________。 8. 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5], 若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)<0 的解集是______。

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

9. 已知奇函数 f(x)的定义域为 R, 且对于任意实数 x 都有 f(x+4)=f(x), f(1)=4, 又 那么 f[f(7)]=________。 三、解答题 2 10.已知函数 f(x)=1- 。 x (1)若 g(x)=f(x)-a 为奇函数,求 a 的值; (2)试判断 f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明。

?x≤-1? ?-x-1 ? 2 11.已知函数 f(x)=?-x +1 ?-1<x<1? ?x-1 ?x≥1? ? (1)求 f ? f ?
? ? ? 3 ?? ? ? 的值; ? 2 ??



(2)在给出的坐标系中画出函数 f(x)的图象;(无需列表) (3)结合图象判断函数的奇偶性,并写出函数的值域和单调增区间。

?-x +2x ?x>0? ? 12.已知奇函数 f(x)=?0 ?x=0? ?x2+mx ?x<0? ?
2

(1)求实数 m 的值,并画出 y=f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围。

第 2 课时
一、选择题

奇偶性的应用
)

1.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(3)=0,则使 f(x)<0 的 x 的范围为( A.(-3,3) B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3)∪(3,+∞)

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

2.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-3)<f(1),则下列不等式中一定成立 的是( ) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) )

A.f(-1)<f(-3)

3.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若 x1<0 且 x1+x2>0,则(

A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与 f(-x2)大小不确定 f?x?-f?-x? 4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,则不等式 <0 的解集为( x )

A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) 5.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 ) )

3 6. 已知偶函数 f(x)的定义域为 R, 且在(-∞, 0)上是增函数, f ?- 4 ?与 f(a2-a+1)的大小关系为( 则 ? ? 3 A.f ?- 4 ?<f(a2-a+1) ? ? 3 C.f ?- 4 ?≤f(a2-a+1) ? ? 二、填空题 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=x2+|x|-1,那么 x<0 时,f(x)=_______。 8.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=x2+1,则 x<0 时,f(x)=________。 5 7 9.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f( ),f( )的大小关系是________________。 2 2 三、解答题 3 B.f ?- 4 ?>f(a2-a+1) ? ? 3 D.f ?- 4 ?≥f(a2-a+1) ? ?

10.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围。

11.设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求 a 的取值范 围。

12.对于函数 f(x)(x≠0)恒有 f(ab)=f(a)+f(b)且 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1。 (1)求 f(4)、f(1)、f(-1)的值;(2)求证 f(x)为偶函数; (3)求证 f(x)在(0,+∞)上是增函数;(4)解不等式 f(x2-5)<2。

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