2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3:导数_图文

2012 高考真题分类汇编:导数
一、选择题
1. 【 2012 高 考 真 题 重 庆 理 8 】 设 函 数 f ( x ) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f , ( x) , 且 函 数

y ? (1 ? x) f ' ( x) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C) 函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D) 函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)
【答案】D 【解析】由图象可知当 x ? ?2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增.当

? 2 ? x ? 1 时 , y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 , 所 以 此 时 f ' ( x) ? 0 , 函 数 递 减 . 当 1 ? x ? 2 时 , y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减.当 x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所 以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增.所以函数 f ( x) 有极大值 f (?2) ,极小值 f ( 2) ,选 D. 1 x 2.【2012 高考真题新课标理 12】设点 P 在曲线 y ? e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 2
最小值为( 【答案】B 【解析】函数 y ? )

( A) 1 ? ln 2

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D ) 2(1 ? ln 2)

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2 1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2 1 x 1 x 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? e ? x ? g ?( x) ? e ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2
由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) ,
x

3.【2012 高考真题陕西理 7】设函数 f ( x) ? xe ,则( A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 【答案】D.



B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点
[学

x x x 【解析】? f ( x) ? xe ,? f ' ( x) ? e ? xe ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? ?1 ,当 x ? ?1 时 f ' ( x) ? 0 , 当 x ? ?1 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? ?1 为 f ( x ) 极小值点,故选 D. 4.【2012 高考真题辽宁理 12】若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是

(A) e ? 1 ? x ? x
x

2

(B)

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x

(C) cos x ? 1 ? 【答案】C

1 2 x 2
-1-

(D) ln(1 ? x) ? x ?

1 2 x 8

【解析】设 f ( x) ? cos x ? (1 ? 1 x 2 ) ? cos x ? 1 ? 1 x 2 ,则 g ( x) ? f ?( x) ? ? sin x ? x 所以 g ?( x) ? ? cos x ? 1 所以当 x ? [0, ??) 时,g ( x)为增函数,所以g ( x) ? f ?( x)≥g (0) ? 0, ≥0,
2 2

? cos x ? (1 ? 同理 f ( x)≥f (0) ? 0,

1 2 1 x )≥0, 即 cos x ? 1 ? x 2 ,故选 C 2 2

【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考 查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大。 6.【2012 高考真题全国卷理 10】已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c= (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 【答案】A 【解析】若函数 y ? x 3 ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一 个为 0 ,函数的导数为 y' ? 3x 2 ? 3 ,令 y' ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 ,可知当极大值为 f (?1) ? 2 ? c , 极小值为 f (1) ? c ? 2 .由 f (?1) ? 2 ? c ? 0 , 解得 c ? ?2 , 由 f (1) ? c ? 2 ? 0 , 解得 c ? 2 ,所以 c ? ?2 或 c ? 2 ,选 A.

二、填空题
7.【2012高考真题浙江理16】定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距 2 2 2 离,已知曲线C1:y=x +a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离,则实 数a=_______。 9 【答案】 4 【解析】曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离为 d ?
2 2

|0?4|

12 ? 12

? 2 ?2 2? 2 ? 2,
2

2 2 曲线C1:y=x +a对应函数的导数为 y ? 2 x ,令 2 x ? 1 得 x ? 1 ,所以C1:y=x +a上的点为

| ? ?a| 1 1 1 1 ( , ? a ) ,点 ( , ? a ) 到到直线l:y=x的距离应为 2 ,所以 2 4 ? 2 ,解得或 2 4 2 4 12 ? 12 7 a ? ? (舍去)。 4
10.【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 .

1

1

2 【解析】 y? ? 3x ? 1 ,当 x ? 1 时, y? ? 2 ,此时 k ? 2 ,故切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,即

2x ? y ? 1 ? 0 。

?ln x, x ? 0 ,D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 .
12. 【2012 高考真题陕西理 14】 设函数 f ( x) ? ? 【答案】2. 【解析】函数 y ? f ( x) 在点 (1,0) 处的切线为 y ? 0 ? f ' (1)(x ? 1) ,即 y ? x ? 1 .所以 D 表示的

平面区域如图当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值,最大值为 z ? 0 ? 2 ? (?1) ? 2 .

-2-

三、解答题
13.【2012 高考真题广东理 21】 (本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A ? B 。 (1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的能 力,难度较大.

14.【2012 高考真题安徽理 19】 (本小题满分 13 分)设 f ( x) ? ae ?
x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

1 ? b(a ? 0) 。 ae x

3 x ;求 a , b 的值。 2

【答案】本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类 讨论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

1 1 a 2t 2 ? 1 ? ?b ? y ? a? 2 ? 【解析】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ? , at at at 2 1 ? b 在 t ? 1 上是增函数,得: ①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ? at
x

-3-

当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? 当且仅当 at ? 1(t ? e ?
x

1 ?b。 a

1 ?b ? 2?b , at

1 , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x , ae ae
1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 a? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e 。 由题意得: ? ?? ? 3?? ? 1 3 f (2) ? ? ? ae 2 ? ?b? 1 ? ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ? x 2 15.【2012 高考真题福建理 20】 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=e +ax -ex,a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲 线只有一个公共点 P.

-4-

16.【2012 高考真题全国卷理 20】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f(x)=ax+cosx,x∈[0,π ]. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 f(x)≤1+sinx,求 a 的取值范围. 【答案】

1 7.【2012 高考真题北京理 18】 (本小题共 13 分)

【答案】解: (?)由 ?1, c ? 为公共切点可得:?
f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a , g ( x) ? x3 ? bx ,则 f ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,

? ?

2a ? 3 ? b
又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,
?a ? 3 . ?b ? 3

式可得: ? ? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①

1 2 (2)? a ? 4b ,? 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1 4 a a 1 则 h?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 2 6 4 a a ? a ? 0 ,? ? ? ? , 2 6
-5-

? 原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 6 2 2 6
? ?

? ?

a?

? a ?

a?

? a ?

? ?

a2 a ,即 a≤2 时,最大值为 h(1) ? a ? ; 2 4 a a ? a? ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 2 6 ? 2? a ? a? ③若 ?1 ≥ ? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2? 综上所述:
①若 ?1≤ ?

2? 时,最大值为 h(1) ? a ? 当 a ??0 ,

a2 ? a? ;当 a ? ? 2 , ? ?? 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . ? 2? 4
1 2 x ; 2

18.【2012 高考真题新课标理 21】(本小题满分 12 分)
x ?1 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间;

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2 1 2 x ?1 x ?1 【答案】 (1) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ? f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x 2 令 x ? 1 得: f (0) ? 1 1 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ? x 2 ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2 1 2 x x 得: f ( x) ? e ? x ? x ? g ( x) ? f ?( x) ? e ?1 ? x 2 x ? g ( x) ? e ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增 f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0 1 2 x 得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ? x 2 且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) 1 2 x x (2) f ( x) ? x ? ax ? b ? h( x) ? e ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e ? (a ? 1) 2 ①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增 x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾 ②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0
(2)若 f ( x) ?

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0) 2 2 令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e e 当 x ? e 时, F ( x ) max ? 2
当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

e 2

-6-

19.【2012 高考真题天津理 20】本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a) 的最小值为 0,其中 a ? 0. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,??), 有 f ( x) ≤ kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

(Ⅲ)证明 【答案】

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2 ( n ? N
i ?1

n

2

*

).

-7-

20.【2012 高考江苏 18】 (16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为 函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , 【答案】解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x )=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x )=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, 于是 f ( x) 是单调增函数, 从而 f ( x) > f (2)=2 。 ? ? ? 时,f' ( x) > 0 , 此时 f ( x )=d 在 ? 2, ? ? ? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x )=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x )=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x )=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x )=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根,f ( x)=t2 有两个不同的根, 故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 , 满足 ti < 2,i=3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入列方程组 求解即可。
-8-

(2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x )=d 根的情况;再考虑函数

y ? h( x) 的零点。 21.【2012 高考真题辽宁理 21】本小题满分 12 分)
设 f ( x) ? ln( x ?1) ? x ? 1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) ,曲线 y ? f ( x) 与 直线 y ?

3 x 在(0,0)点相切。 2 (Ⅰ)求 a , b 的值。
(Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?

9x 。 x?6

【答案】

-9-

【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题 容易忽略函数 f ( x) 的定义域, 根据条件曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明 f ( x ) ?

3 x 在(0, 0)点相切, 求出 a , b 2

9x 即可。从近几年的高考命题 x?6

趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练。本题属于中档题。 22.【2012 高考真题重庆理 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴. 2x 2 (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值.

【答案】

23. 【2012 高考真题浙江理 22】 (本小题满分 14 分)已知 a>0, b ? R, 函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识 点综合运用能力,同时考查抽象概括、推理论证能力。 【答案】本题主要考察不等式,导数,单调性, (Ⅰ)(ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b .
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当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( f 1) } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? =|2a-b|﹢a; b ? 2a ?3a ? b, 综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a;

(ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b , ∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ?
b . 6a

当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( g 1) } 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .

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24.【2012 高考真题山东理 22】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 ex (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数. 证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 【答案】

25.【2012 高考真题湖南理 22】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) = ? e ? x ,其中 a≠0.
ax

(1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的斜率为 K,问:是否存在x0∈(x1,x2) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请 说明理由.
ax 【答案】 (Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e ? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 ,

故a ? 0.

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而 f ?( x) ? aeax ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ? 当x?

1 1 ln . a a

1 1 1 1 ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递减;当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递增,故 a a a a 1 1 1 1 1 1 1 当 x ? ln 时, f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a 1 1 1 于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1 恒成立,当且仅当 ? ln ? 1 . ① a a a 令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t. 当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 1 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 ? 1 即 a ? 1 时,①式成立. a 综上所述, a 的取值集合为 ?1? .
(Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1 eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? aeax ?

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

eax1 ?ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? ?, x2 ? x1 ?

eax2 ?ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1? ?. x2 ? x1 ? 令 F (t ) ? et ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
从而 e
a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ea( x1 ?x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0.

eax1 eax2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使

1 eax2 ? eax1 2 ax ? .故 ? ( x0 ) ? 0, ? ( x) ? a e ? 0,? ( x) 单调递增,故这样的 c 是唯一的,且 c ? ln a a( x2 ? x1 ) 1 eax2 ? eax1 当且仅当 x ? ( ln , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . a a( x2 ? x1 ) 综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为 1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . a a( x2 ? x1 )
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求 出 f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ?

1 a

1 a

1 1 1 ? ln . 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1, a a a

从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数 的单调性及最值来进行分析判断.

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