第二章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征_图文

2.2

2.2.2

1 理解教 材新知

知识点一
知识点二 题型一 题型二 题型三

第 二 章

用样 本的 数字 特征 估计 总体 的数 字特 征

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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2.2
2.2.2

用样本估计总体
用样本的数字特征估计总体的数字特征

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众数、中位数、平均数 [提出问题]
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽 取 8 件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,其结果如下(单 位:年) 甲:3,4,5,6,8,8,8,10 乙:4,6,6,6,8,9,12,13 丙:3,3,4,7,9,10,11,12

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问题:三家广告中都称其产品的使用寿命为 8 年,利用 初中所学的知识,你能说明为什么吗?

提示:三个厂家是从不同角度进行了说明,以宣传自 己的产品.其中甲:众数为 8 年,乙:平均数为 8 年,丙: 中位数为 8 年.

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[导入新知] 众数、中位数、平均数的概念

(1)众数:一组数据中 出现次数最多 的数.
(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间 位 置的数.如果个数是偶数,则取 中间 两个数据的平均 数. (3)平均数:一组数据的 和 除以数据个数所得到的

数.
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[化解疑难] 三种数字特征的比较

名称

优点
①体现了样本数据的

缺点
①它只能表达样本数据中 很少的一部分信息; ②无法客观地反映总体的 特征

众数

最大集中点; ②容易计算

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名称

优点
①不受少数几个极端数据(即排

缺点

中位数

序靠前或靠后的数据)的影响; ②容易计算,便于利用中间数 据的信息 代表性较好,是反映数据集中

对极端值不敏感

任何一个数据的改
变都会引起平均数 的改变.数据越 “离群”,对平均 数的影响越大 返回

平均数

趋势的量.一般情况下,可以

反映出更多的关于样本数据全
体的信息

方差和标准差
[提出问题] 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中 的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.

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问题 1:甲、乙两战士命中环数的平均数- x 甲,- x 乙各是 多少?
提示:- x 甲=7 环,- x 乙=7 环. 问题 2:由- x 甲,- x 乙能否判断两人的射击水平? 提示:由于- x 甲=7 环,- x 乙=7 环,所以不能判断. 问题 3:观察上述两组数据,你认为哪个人的射击水

平更稳定? 提示:从数字分布来看,甲命中的环数较分散,乙命 中的环数较集中.故乙的射击水平更稳定.

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[导入新知]

标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差: 标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ,一般用

s 表示,s=

1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n .

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(2)方差: 标准差的平方 s2 叫做方差.

1 2 2 2 [( x 1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ] 2 s= n ,
其中, xn 是 样本数据 , n 是 样本容量 , x 是 样本平均数 .

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[化解疑难] 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方 差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没 有波动幅度,数据没有离散性.

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(3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能 夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本

数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一
般多采用标准差.

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众数、中位数、平均数的计算

[ 例 1]

(1)已知一组数据按从小到大排列为- 1,0,4,

x,6,15 , 且 这 组 数 据 的 中 位 数 是 5 , 那 么 数 据 的 众 数 是 ________,平均数是________. 4+x [解析] ∵中位数为 5,∴ =5,即 x=6 2
-1+0+4+6+6+15 ∴该组数据的众数为 6, 平均数为 6 =5.
[答案] 6 5

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(2)下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表:

老板 大厨 3 000元 450元

二厨 采购员 杂工 服务生 会计 350元 400元 320元 320元 410元

①计算所有人员的周平均收入; ②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平 吗?为什么? ③去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工 人员的周收入的水平吗?

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[解]

①周平均收入

1 x 1= (3 000+450+350+400+320+320+410)=750(元). 7 ②这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平,可以看出 打工人员的收入都低于平均收入,因为老板收入特别高,这是一 个异常值, 对平均收入产生了较大的影响, 并且他不是打工人员. 1 ③去掉老板的收入后的周平均收入 x 2= (450+ 350+400+ 6 320+320+410)=375(元).这能代表打工人员的周收入水平.

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[类题通法] 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关, 可以反映更多的总体信息, 但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线, 不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无 法客观反映总体特征. (2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极 端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.

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[活学活用] 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机, 对其销售额 进行统计,统计数据用茎叶图表示 (如图所示),设甲、乙两 组数据的平均数分别为 x 甲, x 乙,中位数分别为 m 甲,m 乙, 则 ( )

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A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙

B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

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解析:由茎叶图知,甲的平均数为 (5+6+8+10+10+14 +18+18+22+25+27+30+30+38+41+43)÷ 16=21.562 5, 乙的平均数为 (10+ 12+ 18+ 20+ 22 + 23 + 23 + 27 + 31 + 32+34+34+38+42+43+48)÷ 16=28.562 5, 所以 x 甲< x 乙. 甲的中位数为 (18+ 22)÷ 2 = 20 ,乙的中位数为 (27+ 31)÷ 2 =29, 所以 m 甲<m 乙. 答案:B

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标准差(方差)的计算及应用
[例 2] 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶 10 次,每次

命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计两名战士的射击情况.若要从这 两人中选一人参加射击比赛,选谁去合适?

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[解] =7(环),

1 (1) x 甲= ×(8+6+7+8+ 6+5+9+10+4+7) 10

1 x 乙= ×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环). 10 1 (2)法一:由方差公式 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+
2 2 (xn- x )2],得 s2 甲=3,s乙=1.2.

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1 2 2 2 法二:由方差公式 s =n[(x′1 +x′2 +?+x′2 n)-n x ′ ]
2

1 计算 s甲,s乙,其中 x′i=xi-a, x′ =n
2 2

?x′i.由于两组原始
i= 1

n

数据都在数字 7 附近且平均数都是 7,所以选取 a=7.

x′i甲=xi甲-7 1 -1 1 x′=(xi甲-7)2 1 x′i乙=xi乙-7 -1 0 0 x′=(xi乙-7)2 1

0 0 0 0

1 -1 -2 1 1 4 1 -1 0 1 1 0

2 4 1 1

3 -3 0 9 9 0 0 2 -2 0 4 4

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1 2 2 2 所以,s甲= [(x′2 + x ′ + ? + x ′ ) - 10 x ′ 甲] 甲 甲 甲 1 2 10 10
2

1 = ×(1+1+0+1+1+4+4+9+9+0-10×0) 10 1 = ×30=3. 10
2 同理,s乙 =1.2.

(3) x 甲= x 乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当.
2 又 s2 甲>s乙,说明甲战士射击情况波动大.

因此, 乙战士比甲战士射击情况稳定. 从成绩的稳定性考试, 应选择乙参加比赛.

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[类题通法] 1.计算标准差的算法

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2.标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差 (方差)较小,数据的离散程度较小. (2)在实际应用中, 常常把平均数与标准差结合起来进 行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确 定稳定性.

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[活学活用] 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名 同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图如图所示. (1)计算甲班的样本方差; (2)计算乙班的样本方差,并判断哪 个班的身高数据波动较小.

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(1)

x





158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 10 =170. 1 甲班的样本方差为 s甲= ×[(158-170)2+(162-170)2 10
2

+ (163- 170)2 + (168- 170)2 + (168- 170)2 + (170- 170)2 + (171 - 170)2 + (179 - 170)2 + (179 - 170)2 + (182 - 170)2] = 57.2.

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(2)同(1)中的算法,求得 x 乙=171, 1 s 乙 = ×(122 + 92 + 62 + 32 + 12 + 22 + 52 + 72 + 72 10
2

+102)=49.8.
2 s2 乙<s甲,因此乙班的身高数据波动较小 .

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数字特征的综合应用

[例 3]

从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得

到如下的频率分布直方图.

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数. (2)这 50 名学生的平均成绩.

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[解]

(1) 由众数的概念可知,众数是出现次数最多的

数.在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即 为所求,所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方 图中体现的是中位数的左右两边频数应相等, 即频率也相等, 从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将 所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点 的横坐标所对应的成绩即为所求.

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∵ 0.004×10 + 0.006×10 + 0.02×10 = 0.04 + 0.06 + 0.2 = 0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应约位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03,∴令 0.03x=0.2 得 x≈6.7, 故中位数应约为 70+6.7=76.7.

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(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”, 即所有 数据的平均值, 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个 小矩形的面积求和即可. ∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) + 55×(0.006×10) + 65×(0.02×10) + 75×(0.03×10) + 85×(0.021×10) + 95×(0.016×10)=73.65.

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[类题通法]

众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

众数

众数是最高长方形底边的中点所对应的数据, 表示样本数据的中心值

中位数

①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图面积相等,由此可以估计中位数的值, 但是有偏差; ②表示样本数据所占频率的等分线
①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方 形底边中点的横坐标之和; ②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分 布直方图的平衡点 返回

平均数

[活学活用] 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则

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(1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在 [55,75)的人数 是________. (2) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 的 中 位 数 为 ________. (3) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 的 平 均 数 为 ________.

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解析:(1)(0.040×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5. (3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
答案:(1)13 (2)62.5 (3)64

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7.数字特征的计算失误
[典例] 对一组样本数据 xi(i=1,2,?,n),如将它们改为 )

xi-m(i=1,2,?,n),其中 m≠0,则下面结论正确的是( A.平均数与方差都不变 C.平均数不变,方差变了 B.平均数与方差都变了 D.平均数变了,方差不变

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[解析]

若 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则

ax1+b,ax2+b,?,axn+b(a≠0)的平均数为 a x +b,方差 为 a2s2,标准差为 a2s2,于是知道正确答案应为 D.
[答案] D

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[易错防范] (1)本题易误认为样本数据变化了,则样本的平均数与 方差也会随之改变,从而误选 B. (2)若 x1,x2,x3,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,标 准差为 s, 则以下数据的平均数, 方差和标准差有以下规律:

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数据 x1,x2,x3,?,xn x1 + b , x2 + b ,?, xn + b(b 为常数) ax1,ax2,?,axn(a 为常数) ax1+b,ax2+b,?,axn+b (a,b 为常数)

平均数 x x +b ax a x +b

方差 s2 s2 a2s2 a2s2

标准差 s s |a|s |a|s

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[成功破障] 一组数据的方差为 s2,平均数为 x ,将这组数据中的每一个数 都乘以 2,所得的一组新数据的方差和平均数为( 12 1 A. s , x 2 2 C.4s2,2 x B.2s2,2 x D.s2, x )

解析:将一组数据的每一个数都乘以 a,则新数据组的方差为 原来数据组方差的 a2 倍,平均数为原来数据组的 a 倍.故答 案选 C. 答案:C

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[随堂即时演练]

1.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 A.a>b>c C.c>a>b B.b>c>a D.c>b>a ( )

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解 析 : 将 数 据 从 小 到 大 排 列 为 1 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平均数 a= (10+ 12 10 +14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位数 b=15,众 数 c=17,显然 a<b<c,选 D.
答案:D

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2.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先 去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平 均值,这是因为 A.减少计算量 C.剔除异常值 B.避免故障 D.活跃赛场气氛 ( )

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解析:因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,记分过程 中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是 为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手 的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.

答案:C

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3.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, 则这组数据的中位数和平均数分别是________.

91+92 解析:数据从小到大排列后可得其中位数为 =91.5, 2 87+89+90+91+92+93+94+96 平均数为 =91.5. 8

答案:91.5,91.5

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4.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本 的平均值为 1,则样本方差为________
1 解析:由题意知 (a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1. 5 1 所以样本方差为 s = [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2- 5 1)2+(3-1)2]=2.
2

答案:2

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5.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情 况如图所示:

(1)请填写下表: 平均数 甲 乙 7 中位数 命中 9 环以上的次数(含 9 环)

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(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些? ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看, 谁的成绩好些? ③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜 力?

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解: (1)由图可知, 甲打靶的成绩为: 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10; 乙打靶的成绩为:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 甲的平均数是 7,中位数是 7.5,命中 9 环及 9 环以上 的次数是 3; 乙的平均数是 7,中位数是 7,命中 9 环及 9 环以上的 次数是 1.

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(2)由(1)知,甲、乙的平均数相同. ①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大, 所以甲成绩较好. ②甲、 乙的平均数相同, 甲命中 9 环及 9 环以上的次数 比乙多,所以甲成绩较好. ③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈 下降趋势,故甲更有潜力.

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