必修四三角函数1.4.1、2基础检测(附答案)_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章

三角函数

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第一章
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.2 单位圆与周期性

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

第一章

三角函数

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课后强化作业

第一章

§4

4.1、2

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课前自主预习

第一章

§4

4.1、2

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在初中,我们知道 Rt△ABC 中,∠C 为直角时, 我们把锐角 A 的对边与斜边的 比叫作∠A 的正弦,记作 sinA;锐角 A 的 邻边与斜边的比叫作∠ A 的余弦,记作 对边BC 邻边AC cosA,即 sinA= ,cosA= .当把锐角放在直角坐标 斜边AB 斜边AB 系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵 坐标.当所求角是任意角时,能否通过单位圆及函数定义的形式 引出正弦函数的定义呢?这就是本节要研究的内容.
第一章 §4 4.1、2

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1.任意角的正弦函数、余弦函数的定义 (1)单位圆

单位长 为半 原点 为圆心,以 __________ 在直角坐标系中,以 _______
径的圆,称为单位圆. (2)任意角的正弦、余弦函数的定义

定义 1 :如图所示,在直角坐标系中,给定单位圆对于任
意角α ,使角 α的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终 纵坐标v叫作角α的 边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的__________ 正弦函数,记作 __________ ;点 u 叫作角 α 的余 v=sin α P 的 __________ 横坐标 弦函数,记作__________ . u=cos α
第一章 §4 4.1、2

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通常,我们用 x 表示自变量,即 x 表示角的大小,用 y 表示 函数值,这样我们就定义了任意角的三角形y=sinx和y=cosx, 全体实数 ,值域为__________ [-1,1] 它们的定义域为__________ .

第一章

§4

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定义 2:利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数如 下:如图所示,设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P 的 坐标是(x,y),它与原点的距离是 r(r= x2+y2>0),那么: y y r ①比值_____ r 叫作 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα=_______. x x r r ②比值_____ 叫作 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα=______.

第一章

§4

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(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 sinα cosα

第一象限
+ ______ + ______

第二象限
______ + - ______

第三象限
- ______ - ______

第四象限
- ______ + ______

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2.单位圆与周期性 相等 (1)终边相同的角的正、余弦函数值__________ sinx ,k∈Z. sin(2kπ+x)=__________ cosx cos(2kπ+x)=__________ ,k∈Z.

(2)周期函数与周期
一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内 f(x+T)=f(x) ,我们就把f(x)称为周期 的任意一个x值,都有______________ 周期 函数,T称为这个函数的__________ .

第一章

§4

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19 1. 6 π 角的正弦值的符号为( A.正 C.0
[答案] B

)

B.负 D.不能确定

19 7 7 3 [解析] ∵ 6 π=2π+6π,而 π<6π<2π, 19 19 ∴ 6 π 是第三象限角,∴sin 6 π<0.
第一章 §4 4.1、2

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25π 2.cos 6 等于( 1 A.-2 1 C.2

) 3 B.- 2 3 D. 2

[答案] D

25π π π 3 [解析] cos 6 =cos(4π+6)=cos6= 2 .

第一章

§4

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3.已知θ是第四象限角,则( A.sinθ>0,cosθ>0 C.sinθ<0,cosθ>0 [答案] C

)

B.sinθ>0,cosθ<0 D.sinθ<0,cosθ<0

[解析]

因为θ为第四象限角,根据各象限角的三角函数定

义可知sinθ<0,cosθ>0.

第一章

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4 . 5sin90° + 2sin0° - 3sin270° + 10cos180° = __________. [答案] -2 [解析] ∵sin90°=1,sin0°=0,

sin270°=-1,cos180°=-1,
∴原式=5×1+2×0-3×(-1)+10×(-1)=-2.

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5.已知函数f(x)是周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14) =__________. [答案] 1 [解析] f(14)=f(2×6+2)=f(2)=1.

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课堂典例讲练

第一章

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三角函数的定义

已知角 θ 的终边与函数 y=-2|x|的图像重合, 求 sinθ 和 cosθ 的值.
[思路分析] 种情况讨论. 角θ的终边可能在第三象限或第四象限,分两

第一章

§4

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[规范解答]

若角 θ 是第三象限的角,在角 θ 的终边上取

一点(-1,-2),则 r= ?-1?2+?-2?2= 5. 由三角函数的定义,知 -2 2 5 5 sinθ= =- 5 ,cosθ=- 5 . 5 若角 θ 是第四象限的角,在角 θ 的终边上取一点(1,-2), 则 r= 12+?-2?2= 5. -2 2 5 由三角函数的定义,知 sinθ= =- 5 , 5 1 5 cosθ= = 5 . 5
第一章 §4 4.1、2

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[ 规律总结 ] 论.

(1) 当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出

或含有绝对值时,要根据问题及解题的需要对参数进行分类讨 (2)求任意角的三角函数,有时需要确定角所在的象限,相

应地以此来确定三角函数的符号,这是容易出现错误的地方.

第一章

§4

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已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sinα,cosα的值; (2)求α的终边与单位圆交点Q的坐标.
[解析] (1)r= ?-4a?2+?3a?2=5|a|. 当 a>0 时,r=5a,角 α 在第二象限, 4 y 3a 3 x -4a ∴sinα=r =5a=5,cosα=r = 5a =-5. 当 a<0 时,r=-5a,角 α 在第四象限, 3 4 ∴sinα=-5,cosα=5.
第一章 §4 4.1、2

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(2)由正弦、余弦函数的定义知,α 的终边与单位圆交点的 坐标为 Q(cosα,sinα), 4 3 4 3 ∴当 a>0 时,Q(-5,5),当 a<0 时,Q(5,-5).

第一章

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正弦、余弦函数值符号的确定

判断下列三角函数值的符号. (1)sin4· cos4; (2)sin8· cos8.
[思路分析] 确定4rad,8rad所在象限,则符号易定.

第一章

§4

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[规范解答]

3π (1)∵π<4< 2 ,∴sin4<0,cos4<0,

∴sin4· cos4>0; 5 (2)∵2π<8<3π,即 8rad 的角是第二象限角, ∴sin8>0,cos8<0,∴sin8· cos8<0.

第一章

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[规律总结]

对于此类判断含三角函数的代数式的符号问

题,关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角,再根 据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负,进而得 到结果.其中,正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象

限也很重要.

第一章

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确定下列三角函数值的符号. 13 (1)sin 4 π;(2)cos(-925° );(3)sin340° · cos265° .

13 5 5 [解析] (1)∵ 4 π=2π+4π,且4π 在第三象限, 13π 13 ∴ 4 是第三象限角,∴sin 4 π<0.

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(2)∵-925°=-3×360°+155°, ∴-925°是第二象限角. ∴cos(-925°)<0. (3)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,

∴sin340°<0,cos265°<0,∴sin340°·cos265°>0.

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利用终边相同的角的公式化简、求值

求下列三角函数值. (1)cos(-1 050° ); 31 (2)sin(- 4 π); (3)log2(4sin1
[ 思路分析 ] 值.

110° ).
先利用终边相同的角的公式转化,然后求

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[规范解答] ∴-1

(1)∵-1 050° =-3×360° +30° ,

050° 的角与 30° 的角终边相同.

3 ∴cos(-1 050)° =cos30° =2. 31 π (2)∵- 4 π=-4×2π+4, 31 π ∴角- 4 π 与角4的终边相同. 31 π 2 ∴sin(- 4 π)=sin4= 2 .

第一章

§4

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(3)∵sin1 110° =sin(3×360° +30° ) 1 =sin30° =2, 1 ∴log2(4sin1 110° )=log2(2×4)=log22=1.
[规律总结] 解答此类题目的方式是先把已知角借助于终

边相同的角化归到 [0,2π) 之间,然后利用公式化简求值;在问
题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想.

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23π 37π cos(- 4 )+sin 6 =__________.
[答案] 1+ 2 2

π π [解析] 原式=cos(-6π+4)+sin(6π+6) π π 1+ 2 =cos4+sin6= 2 .

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周期函数的理解与应用

已知 f(x+a)=-f(x)(a>0). 求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
[思路分析] 只需找出一个常数T(T≠0),满足f(x+T)=f(x)

即可.
[证明] f ( x) , ∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. ∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]=

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[ 规律总结 ] 周期.

(1) 周期的定义是对定义域中每一个 x 值来说

的.如果只有个别的 x值满足f(x+T)=f(x),则不能说T是f(x)的 (2)从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调自变量x本身加的常数

才是周期.如f(2x+T)=f(x)的周期,不能说T是f(x)的周期.

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已知函数f(x)是以2为周期的奇函数,f(1)=3,

求f(-7)的值.
[解析] 由题意知f(-7)=-f(7), ∵f(7)=f(3×2+1)=f(1)=3,∴f(-7)=-3.

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易错疑难辨析

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已知角 α 的终边落在直线 y=-3x 上, 求 2sinα +3cosα 的值.
[错解] 错解一:在 y=-3x 上取点(1,-3), 则 sinα=-3, cosα=1, 所以 2sinα+3cosα=2×(-3)+3×1 =-3. 3 10 错解二:在 y=-3x 上取点(1,-3),易得 sinα=- 10 ,
? 3 10? 10 10 ? ? cosα = 10 ,所以 2sinα + 3cosα = 2× ?- ? + 3× 10 =- 10 ? ?

3 10 10 .
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[辨析]

错解一是对sinα=y,cosα=x的理解有误,定义中

的(x,y)是α终边与单位圆的交点坐标,不是任意点. 错解二只考虑了y=-3x(x>0)的情况,没考虑y=-3x(x<0) 的情况.
[正解] ∵直线过二、四象限, ∴当角的终边过第二象限时,在角的终边上任取一点,如 P(-1,3), -1 3 10 则|OP|= 10,∴sinα= ,cosα= =- 10 , 10 10 6 10 3 10 3 10 ∴2sinα+3cosα= 10 +(- 10 )= 10 ;
第一章 §4 4.1、2

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当角的终边在第四象限时,在角的终边上取一点 P′(1, -3 10 10 -3),则|OP′|= 10,∴sinα= 10 ,cosα= 10 , -6 10 3 10 3 10 ∴2sinα+3cosα= 10 + 10 =- 10 . 3 ∴2sinα+3cosα=± 10 10.
[规律总结] 根据正弦、余弦函数定义,在角 α 的终边上
2 2

y x 任取一点 P(x,y),|OP|= x +y (≠0),总有 sinα=r ,cosα=r.

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