【全国百强校】江苏省扬州中学2016-2017学年高二4月月考数学试题

【全国百强校】江苏省扬州中学 2016-2017 学年高二 4 月月考数学试 题 一、解答题 1.如图,某市新体育公园的中心广场平面图如图所示,在 y 轴左侧的观光道曲线段是函数 , 时的图象且最高点 B(-1,4),在 y 轴右侧的曲 线段是以 CO 为直径的半圆弧. (1)试确定 A, 和 的值; (2)现要在右侧的半圆中修建一条步行道 CDO(单位:米),在点 C 与半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段(造价为 2 万元/米),从 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为 1 万元/米).设 (弧度),试用 来表示修建步行道的造价预算,并求造价预算的最 大值?(注:只考虑步行道的长度,不考虑步行道的宽度) 【答案】(1) ;(2)造价 )万元. , , 在 时 取极大值,也即造价预算最大值为( 【解析】 试题分析:(1)由“五点法”可求得 表示出弦长 知识求出 和弧长 的最大值. ;(2)由(1)求出 点坐标,得半圆的半径,用 , ,下面用导数的 ,由题意可得造价 试题解析:(1)因为最高点 B(-1,4),所以 A=4; , 因为 代入点 B(-1,4), , 又 ; (2)由(1)可知: ,得点 C 即 , , 万元, 万元 取 CO 中点 F,连结 DF,因为弧 CD 为半圆弧,所以 即 中, 所以步行道造价预算 由 当 当 所以 在 时, 时, ,即 ,即 在 在 ,则圆弧段 造价预算为 ,则直线段 CD 造价预算为 , 得当 . 时, , 上单调递增; 上单调递减 )万元.……16 分 时取极大值,也即造价预算最大值为( 的解析式,导数与最值. 相切. 考点:“五点法”, 2.已知点 ,以 为圆心的圆与直线 (1)求圆 的方程; (2)如果圆 上存在两点关于直线 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)因为圆与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距 离求出圆的半径,再根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程;(2)因为圆上存在两点关于 直线对称,所以直线过圆心,将圆心的坐标代入直线方程得 的值. 试题解析:(1)由题意, ,故所求圆的方程为 ,解得 . . ;(2) . 对称,求 的值. (2)由题意,直线经过圆心 ,所以, 考点:1.圆的标准方程;2.直线与圆相交. 3.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) (2) (3) (4) (5) ; ; ; ; . (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (I)选择(2)求常数相对容易,可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合 特殊角三角函数值求得答案.(II)根据(I)的计算结果,可得三角恒等式为: ,进而根据两角差的余弦公式,展开化简后可得答案 试题解析:(Ⅰ)由(2)得 (2)三角恒为等式: 证明: ; . 考点:归纳推理;类比推理;三角函数恒等式的证明 4.已知命题 :复数 :关于 的方程 数 的取值范围. 【答案】 的取值范围为 【解析】 ,复数 , 的两根之差的绝对值小于 ;若 是虚数;命题 为真命题,求实 . 试题分析:对于 , 为虚数的条件是 且 ,然 后将 的范围求出来;对于 ,利用二次方程根与系数的关系并结合不等式 求解出 的取值范围;由 为真命题可知, 故求出 为真时的 的取值范围的集合的交集即可. 试题解析:由题意知, 2分 若命题 为真, 所以 的取值范围为 若命题 为真,则有 而 所以有 由题意知, 或 都是真命题,实数 的取值范围为 10 分 12 分. 是虚数,则有 且 且 且 4分 7分 都为真命题, 考点:1.复数的概念;2.二次方程根与系数的关系;3.逻辑联结词. 5.已知函数 (1)若 (2)若函数 , ,求证:函数 在区间 . 是 上的奇函数; 上没有零点,求实数 的取值范围. . 【答案】(1)详见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)定义域关于原点对称,将 代入算得 (2)考虑用补集思想解决此问题,因为 ,所以函数 为单调递减函数,如果有零点, 则 ,得到 的取值范围,因为是求没有零点的 的取值范围,所以再求其补集. 试题解析:解:(1 )定义域为 关于原点对称. 因为 所以函数 (2) 的图象不间断,在区间 是定义在 上的奇函数 是实数集 上的单调递减函数(不说明单调性扣 2 分)又函数 恰有一个零点,有 , 即 是 解之得 14 分 ,故函数 在区间 没有零点时,实数 的取值范围 考点:1.证明函数是奇函数;2.函数零点问题. 6.已知函数 (1)求实数 的值; (2)是否存在区间 ,使得 若不存在,说明理由. 【答案】(1) (2 ) 在该区间上的值域为 ?若存在,求出 的值; 在 时取得极小值. 【解析】试题分析:(1)由已知得 ,根据 可得 或 .然后根据极值定义进行分别验证:当 时, 在 上为减函数,在 上为 增函数,符合题意;当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数,不符合题 意.(2)由区间定义知 ,因为 ,所以 .下面根据 所在区间位置关系进 行讨论:结合 解为 .②若 满足条件的 . 试题解析:(1) 由题意知 当 易知 当 易知 时, 在 时, 在 ,解得 或 , 上为减函数,在 , 上为增函数,在 .5分 .7分 ,所以 , .9分 上为减函数,不符合题意. 上为增函数,符合题意; 得①若 ,则 ,则 ,即 ,因为 或 ,所以 .有唯一 .根据对应函数单调性知不存在 , .2分 所以,满足条件的 (2)因为 ①若 设 所以 由于 ②若 在 ,则 ,所以 ,因为 ,则 上为增函数. ,即方程 有唯一解为 ,即 或 . . 11 分 ,则 (Ⅰ) 时, . 13 分 , 由①可知不

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