2018届高三数学每天一练半小时:第23练 定积分与微积分基本定理

训练目 (1)定积分的概念;(2)微积分基本定理. 标 训练题 型 解题策 略 (1)定积分的计算;(2)利用定积分求面积;(3)定积分的物 理意义. (1)计算定积分的依据是微积分基本定理; (2)利用定积分求 面积时可根据草图确定被积函数和积分上、下限.; 一、选择题;; ? 1? e ?2x+ ?dx 等于( 1.(2016·安徽示范高中联考)? ?? x? ? 1 ) A.e2-2 C.e2 B.e-1 D.e+1 2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔塔顶,在第 二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则 电视塔高为( 1 A. g 2 3 C. g 2 ) B.g D.2g π 2 3.(2016·江西师大附中期末)若? ( x - a )d x =∫ 0cos 2xdx,则 a ? 4 ? 1 等于( A.-1 ) B.1 C.2 D.4 4.(2016·淄博一模)如图所示,曲线 y=x2-1,x=2,x=0,y=0 围成的阴影部分的面积为( ) 2 A.? ? |x -1|dx ?0 2 2 C.? ( x -1)dx ? 2 ??2(x2-1)dx? ? B.?? ??0 ? 2 2 1 ?2(1-x )dx D.? ( x - 1)d x + ? ? ?0 ?0 ?1 5.(2016·天津蓟县期中)由直线 y=x 和曲线 y=x3 围成的封闭图形 面积为( 1 A. 4 C.1 ) 1 B. 2 D.2 ?0 1 6.(2016·辽宁师大附中期中)定积分? ? x(2-x)dx 的值为( ) π A. 4 C.π π B. 2 D.2π ?-2 2 2 7.(2016·山西四校联考)定积分? | x -2x|dx 等于( ? ); A.5 C.7 B.6 D.8 8.若函数 f(x),g(x)满足?1-1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为 ? 区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x) 2 2 =x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 C.2 二、填空题 9.(2016·江西高安二中段考)已知?a-a(sin x+3x2)dx=16,则正 ? ) B.1 D.3 实数 a 的值为________. ? 1? 10.(2017·德州月考)如图,已知点 A?0, ?,点 P(x0,y0)(x0>0)在 4? ? 曲线 y=x2 上,若阴影部分面积与△OAP 面积相等,则 x0=________. 11.设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x =10,已知 F(x)=x2+1 且方向和 x 轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M 所做的功为________ J(x 的单位:m;力的单位:N). 12.(2016·洛阳统考)用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小的数, 设 f(x)=min{x2, x},那么由函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 x 1 = 和直线 x=4 所围成的封闭图形的面积为________. 2 答案精析 1.C ?e ?1 ? 2 ? ? +2x?dx=(lnx+x )? [? ? ?x ? ?1 ?1 e =lne-ln 1+e2-1=e2.] 1 2 2 1 3 2 2.C [由题意知电视塔高为? gtdt = gt | 1=2g- g= g.] ? 2 2 2 ? 1 2 4 3.B [∵? ? (x-a)dx= ?0 cos2xdx, ? 1 π 2 ?1 2 ?? ? ∴? x -ax?? ?2 ??1 ?π 1 ? = sin 2x 4 2 ? ? 0 , 3 1 ∴ -a= ,解得 a=1.故选 B.] 2 2 4.A [由曲线 y=|x2-1|的对称性,知所求阴影部分的面积与如下 图形的面积相等, 2 2 即? | x -1|dx.] ? ?0 5. B [∵曲线 y=x3 和曲线 y=x 的交点为 A(1,1)、 原点 O 和 B(-1, -1), ∴由定积分的几何意义,可得所求图形的面积 1 ?1 2 1 4?? ? ? x - x ?? S=2? ? (x-x )dx=2?2 4 ??0 ? 1 3 0 ?1 1? 1 =2? - ?= .故选 B.] ?2 4? 2 6.A [∵y= x(2-x),∴(x-1)2+y2=1 表示以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆, 1 ∴定积分? ? x(2-x)dx 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一, ?0 π 1 ∴定积分? x (2 - x )d x = ,故选 A.] ? 4 ? 0 7.D 2 2 ? ?x -2x,-2≤x<0, [|x -2x|=? 2 ?-x +2x,0≤x≤2, ? 2 2 2 ?2 |x -2x|dx=?0 (x -2x)dx+?2(-x +2x)dx ? ? ? ?-2 ?-2 ?0 0 ?1 3 ?? 2 ? =? x -x ?? ?3 ??-2 2 ? 1 3 ?? 2 ? +?- x +x ?? ? 3 ??0 =8.] 1 1 1 ?1 sin xcos xdx 8.C [①? f ( x ) g ( x )d x = ? ? 2 2 ? ? -1 -1 ? 1 1 1 ? = ? sin x d x = ( - cos x ) ? 2? 2 ?-1 ? 1 -1 =0, 故第①组是区间[-1,1]上的正交函数; ?1 ? ? ? ②? ? f(x)g(x)dx=? (x+1)(x-1)dx=? (x -1)dx=( 3 -x)? ?-1 ?-1 ?-1 ?-1 1 1 1 2 x3 4

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