2011-2012一元微积分A上试卷(B卷)答案

2011-2012 学年第一学期一元微积分(A 上)试卷(B 卷)
踏实学习,弘扬正气;诚信做人,诚实考试;作弊可耻,后果自负
教师 题号 得分 一、填空题(每题 4 分,共 40 分) (1)函数 y ? e x ? 1 的连续区间为 [0, ??) 。 (2) lim 1 ? 2 ? 3 ?
n n n n??
?1 (3) lim(1 ? x) x ? e 。
x ?0 1

班号 一

专业班级 二 三

学号 四

姓名 五

成绩 六

3



(4) d xe

? ? ? x ? 21x d (e
x2

x2

)。
36 。

(5)已知 f (2) ? f ?(2) ? 3 ,则 ( f 2 (2 x))? |x?1 ? (6)曲线 y ?

ex 有水平与竖直渐近线 x ? 1, y ? 0 。 (缺 1 个扣 2 分) x ?1
1 2? 4? x ? sin x 在区间 [0, 2? ] 上的单调递减区间为 [ , ] 。 2 3 3

(7)若当 x ? 0 时, x ? a sin x 是 x 的同阶无穷小,则 a 满足条件 a ? ?1 。 (8)函数 y ?

(开区间或者半开半闭区间不扣分) (9)若 (1,3) 是曲线 y ? ax ? bx 的拐点,则 a ? ?
3 2

3 9 ,b ? 。 (每空 2 2 2
f ( x) ? ?1 ,则 x3

分) (10)若 f ( x ) 在 x ? 0 的某个邻域内连续,并且满足 lim
x ?0

f ( x) 在 x ? 0

不取得极值

(填入“取得极大值”“取得极小值” 、

或者“不取得极值”。 ) 二、解下列各题(每题 6 分,共 30 分)

(1)计算极限 lim(
n ??

12 22 n2 ? 3 ?? 3 ) 。 n3 n n

lim(
n ??

12 22 n2 n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 3 ? ? 3 ) ? lim ? (每个步骤 3 分) 3 n ?? n n n 6n 3 3
x2 ?1 x ?1?

(2)计算函数极限 lim( x ? 1)


lim ( x2 ?1)ln( x ?1)

x ?1?

lim( x ?1) x

2

?1

? lim e( x
x ?1?

2

?1)ln( x ?1)

? ex?1?

(2 分)

1 ln t 又 lim( x ? 1) ln( x ? 1) ? lim t ln t ? lim ? lim t ? 0 x ?1? t ?0 ? t ?0 ? 1 t ?0 ? 1 ? 2 t t
x ?1?

lim( x 2 ? 1) ln( x ? 1) ? lim( x ? 1)( x ? 1) ln( x ? 1) ? 0
x ?1?

(3 分) (1 分)

原极限值为 1。

(3)设 g ( x) 在 x ? 1 处有定义, f ( x) ? (sin x ? sin1) g ( x) 。证明 f ( x ) 在

x ? 1 处可导的充要条件为 g ( x) 在 x ? 1 处极限存在。

f (1) ? 0 , f ( x) 在 x ? 1 处可导 ? 极限 lim
x ?1

(1 分)

f ( x) ? f (1) (sin x ? sin1) ? lim g ( x) 存 x ?1 x ?1 x ?1
(2 分) (1 分) (2 分)

在; 而 lim
x ?1

(sin x ? sin1) ? cos1 ? 0 ; x ?1 (sin x ? sin1) lim g ( x) 存在 ? lim g ( x) 存在。 x ?1 x ?1 x ?1
2 ( n)

(4)求 ( x sin x) ,( n ? 3) 。

( x2 sin x)( n) ? x2 (sin x)( n) ? 2nx(sin x)( n?1) ? n(n ?1)(sin x)( n?2)
? x 2 sin( x ? n? (n ? 1)? (n ? 2)? ) ? 2nx sin( x ? ) ? n(n ? 1) sin( x ? ) 2 2 2

(第一步使用公式展开 3 分,结果中每项各 1 分)

(5)求椭圆 x ?
2

y2 2 ? 1在点 ( ,1) 处的切线与法线方程。 2 2
(3 分)

y2 2x x ? ? 1 ? 2 x ? yy? ? 0 ? y? ? ? ; 2 y
2

(

2 ,1) 处的切线斜率为 k ? ? 2 ; 2 2 ); 2

(1 分)

切线方程为 y ? 1 ? ? 2( x ?

(1 分)

法线方程为 y ? 1 ?

2 2 (x ? )。 2 2

(1 分)

三、( 7 分 ) 设 函 数 f ( x ) 在 x ? 0 的 某 个 邻 域 内 满 足 不 等 式

x ? f ( x) ? x ? (sin x)2 。证明 f ( x) 在 x ? 0 处连续可导。
在不等式中代入 x ? 0 ,得到 f (0) ? 0 ;
2

(1 分)

由夹逼准则,lim x ? lim x ? (sin x) ? 0 ? lim f ( x) ? 0 ? f (0) , f ( x ) 在
x ?0 x ?0 x ?0

x ? 0 处连续;

(1 分)

1 当 x ? 0 时, ?

f ( x) (sin x)2 (sin x) 2 f ( x) ? 1? ? 1 ? lim ? 1; ,lim 1 ? x ?0 ? x ?0 ? x x x x
(2 分)

1 当 x ? 0 时, ?

(sin x)2 f ( x) (sin x) 2 f ( x) ? ? 1 ,lim 1 ? ? 1 ? lim ? 1; x ?0 ? x ?0 ? x x x x
(2 分)

从而 f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? 1 存在。 x

(1 分)

四、(8 分)证明当 0 ? x ? 1 时成立不等式 x2 ? (1 ? x)ln 2 (1 ? x) 。 设 f ( x) ? x2 ? (1 ? x)ln 2 (1 ? x) , f (0) ? 0 ; (1 分) (2 分) (2 分)

f ?( x) ? 2x ? ln 2 (1 ? x) ? 2ln(1 ? x), f ?(0) ? 0
f ??( x) ? 2 ? 2 ln(1 ? x) 2 ? , f ??(0) ? 0 1? x 1? x

f ???( x) ?

2ln(1 ? x) (1 ? x) 2
f ???( x) ? 0 ? f ??( x) ?? f ??( x) ? f ??(0) ? 0

(1 分)

当 x ? 0 时, ? f ?( x) ?? f ?( x) ? f ?(0) ? 0

(2 分)

? f ( x) ?? f ( x) ? f (0) ? 0
五、(8 分)有一个底为等边三角形的直柱体,体积为 V 。问等边三角形的 变长为多少时,直柱体的表面积最小? 设等边三角形的边长为 a ,高为 h ,则有 V ?

3 2 4 V (2 分) a h?h? 2 4 3a
(2 分)

直柱体的表面积为 f (a) ? 3ah ?

3 2 V 3 2 a ?4 3 ? a ; 2 a 2

f ?(a) ? ?

4 3V ? 3a ? 0 有唯一解 a ? 3 4V ; 2 a
3

(3 分)

实际问题中使得表面积最小的边长存在,a ?

(1 4V 即为所求最优解。 分)

六、( 7 分 ) 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1] 上 连 续 , 在 ( 0 , 1) 二 阶 可 导 , 内

1 f (0) ? f (1) ? f ( ) 。证明存在 ? ? (0,1) ,使得 f ??(? ) ? 0 。 2 1 1 对 f ( x ) 在 [0, ] 上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 , 存 在 ?1 ? (0, ) , 使 得 2 2 1 f ?(?1 ) ? 2 (f ( ? f ( 0 ) ) ;0 ) ? (2 分) 2

对 f ( x ) 在 [ ,1] 上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 , 存 在 ? 2 ? ( ,1) , 使 得

1 2

1 2

1 f ?(?2 ) ? 2 (f (1) f ( ) ) ;0 ? ? 2

(2 分)

对 f ?( x ) 在 [?1 ,?2 ] 上再次使用拉格朗日中值定理,存在 ? ? (?1 ,?2 ) ,使得

f ??(? ) ?

f ?(?2 ) ? f ?(?1 ) ?0。 ?2 ??1

(3 分)


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