上饶县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

上饶县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题

1. 若变量 x,y 满足:

,且满足(t+1)x+(t+2)y+t=0,则参数 t 的取值范围为( )

A.﹣2<t<﹣ B.﹣2<t≤﹣ C.﹣2≤t≤﹣

D.﹣2≤t<﹣

2. 已知集合 A,B,C 中,A?B,A?C,若 B={0,1,2,3},C={0,2,4},则 A 的子集最多有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

3. 函数

的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值应该是( )

A.10

B.11

C.12

D.13

4. 若数列{an}的通项公式 an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*),{an}的最大项为第 p 项,最小项为第 q 项,

则 q﹣p 等于( )

A.1

B.2

C.3

5.

(﹣6≤a≤3)的最大值为(



D.4

A.9 B. C.3 D.

6.

奇函数

f

? x? 满足

f

?1? ? 0 ,且

f

?x? 在?0

,? ?? 上是单调递减,则

f

2x ?1
?x? ? f ??x?

? 0 的解集为(



A. ??1 ,1?

B. ??? ,?1? ?1 ,? ??

C. ??? ,?1?

D. ?1 ,? ??

7.

已知数列{ an }满足 an

?

8

?

2n ? 2n

7

( n ? N ? ).若数列{ an }的最大项和最小项分别为 M

和 m ,则 M ? m ? ( )

A. 11 2

B. 27 2

C. 259 32

D. 435 32

8. “方程 + =1 表示椭圆”是“﹣3<m<5”的( )条件.

A.必要不充分

B.充要

C.充分不必要

9. 二项式(x2﹣ )6 的展开式中不含 x3 项的系数之和为(

A.20 B.24 C.30 D.36

D.不充分不必要 )

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10.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆 的切线,则椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

11.sin570°的值是( )

A. B.﹣ C. D.﹣

12.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},那么?I(A∩B)等于( )

A.{3,4}

B.{1,2,5,6} C.{1,2,3,4,5,6} D.?

二、填空题

13.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 和

CN 所成角的余弦值为



14.已知数列{an} 中, a1

? 1,函数

f

(x)

?

?

2 3

x3

?

an 2

x2

? 3an?1x

?

4



x

?1 处取得极值,则

an ? _________.

15.已知双曲线的标准方程为

,则该双曲线的焦点坐标为,

渐近线方程





16.给出下列命题:

(1)命题 p:;菱形的对角线互相垂直平分,命题 q:菱形的对角线相等;则 p∨q 是假命题 (2)命题“若 x2﹣4x+3=0,则 x=3”的逆否命题为真命题 (3)“1<x<3”是“x2﹣4x+3<0”的必要不充分条件

(4)若命题 p:?x∈R,x2+4x+5≠0,则?p:



其中叙述正确的是

.(填上所有正确命题的序号)

17.如图所示,在三棱锥 C﹣ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与

CD 所成的角是



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18.抛物线 y= x2 的焦点坐标为(



A.(0, ) B.( ,0) C.(0,4) D.(0,2)

三、解答题
19.从某中学高三某个班级第一组的 7 名女生,8 名男生中,随机一次挑选出 4 名去参加体育达标测试. (Ⅰ)若选出的 4 名同学是同一性别,求全为女生的概率; (Ⅱ)若设选出男生的人数为 X,求 X 的分布列和 EX.

20.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:

零件的个数 x(个) 2

345

加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ,并在坐标系中画出回归直线;

(3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?

参考公式:回归直线 =bx+a,其中 b=

=

,a= ﹣b .

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21.本小题满分 12 分 设函数 f (x) ? ex ? a ln x Ⅰ讨论 f (x) 的导函数 f '(x) 零点个数; Ⅱ证明:当 a ? 0 时, f (x) ? 2a ? a ln a

22.已知 (Ⅰ)讨论 a=1 时,函数 f(x)的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+ .

,其中 e 是自然常数,a∈R

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23.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=12x2+x+a,g(x)=ex. (1)记曲线 y=g(x)关于直线 y=x 对称的曲线为 y=h(x),且曲线 y=h(x)的一条切线方程为 mx-y- 1=0,求 m 的值; (2)讨论函数 φ(x)=f(x)-g(x)的零点个数,若零点在区间(0,1)上,求 a 的取值范围.
24.已知函数 f(x)=lg(2016+x),g(x)=lg(2016﹣x) (1)判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并予以证明. (2)求使 f(x)﹣g(x)<0 成立 x 的集合.
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上饶县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由(t+1)x+(t+2)y+t=0 得 t(x+y+1)+x+2y=0,



,得

,即(t+1)x+(t+2)y+t=0 过定点 M(﹣2,1),

则由图象知 A,B 两点在直线两侧和在直线上即可, 即[2(t+2)+t][﹣2(t+1)+3(t+2)+t]≤0, 即(3t+4)(2t+4)≤0,
解得﹣2≤t≤﹣ ,

即实数 t 的取值范围为是[﹣2,﹣ ], 故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题.
2. 【答案】B 【解析】解:因为 B={0,1,2,3},C={0,2,4},且 A?B,A?C; ∴A?B∩C={0,2} ∴集合 A 可能为{0,2},即最多有 2 个元素, 故最多有 4 个子集. 故选:B.
3. 【答案】D
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【解析】解:∵函数 y=cos( x+ )的最小正周期不大于 2,

∴T= ≤2,即|k|≥4π,

则正整数 k 的最小值为 13. 故选 D 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键.

4. 【答案】A 【解析】解:设

=t∈(0,1],an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*),

∴an=5t2﹣4t=

﹣,

∴an∈



当且仅当 n=1 时,t=1,此时 an 取得最大值;同理 n=2 时,an 取得最小值. ∴q﹣p=2﹣1=1, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

5. 【答案】B 【解析】解:令 f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣

+

,而且﹣6≤a≤3,由此可得函数 f

(a)的最大值为 ,



(﹣6≤a≤3)的最大值为

=,

故选 B. 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

6. 【答案】B

【解析】

? ? 试题分析:由

2x ?1 ? 0 ? 2x ?1 ?

f ?x? ? f ??x?

2 f ?x?

2x ?1

f ? x? ? 0 ,即整式 2x ?1 的值与函数 f ? x? 的值符号相反,当

x ? 0 时, 2x ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, 2x ?1? 0 ,结合图象即得 ??? ,?1? ?1 ,? ?? .

考点:1、函数的单调性;2、函数的奇偶性;3、不等式.

7. 【答案】D

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【解析】

试题分析:?数列 an

?

8?

2n ? 7 2n

,? an?1

?

8?

2n ? 5 2n?1

,? an?1

?

an

?

2n ? 5 2n?1

?

2n ? 7 2n

?

2n

?

5

? 2?2n
2n?1

?

7?

?

?2n ? 2n?1

9

,当1 ?

n

?

4 时, an ?1

?

an

,即

a5

?

a4

?

a3

?

a2

?

a1

;当 n

?

5

时,

an?1

?

an

,

即 a5

?

a6

?

a7

?

...

.因此数列?an ?先增后减,?n

?

5, a5

?

259 32

为最大项,n

?

?, an

?8

,? a1

?

11 2

,? 最小

项为 11 ,?m ? M 的值为 11 ? 259 ? 435 .故选 D.

2

2 32 32

考点:数列的函数特性.

8. 【答案】C

【解析】解:若方程 + =1 表示椭圆,则满足

,即



即﹣3<m<5 且 m≠1,此时﹣3<m<5 成立,即充分性成立,

当 m=1 时,满足﹣3<m<5,但此时方程

+ =1 即为 x2+y2=4 为圆,不是椭圆,不满足条件.即必要

性不成立.

故“方程 + =1 表示椭圆”是“﹣3<m<5”的充分不必要条件.

故选:C. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查椭圆的标准方程,根据椭圆的定义和方程是解决本题 的关键,是基础题.

9. 【答案】A 【解析】解:二项式的展开式的通项公式为 Tr+1= ?(﹣1)r?x12﹣3r,令 12﹣3r=3,求得 r=3, 故展开式中含 x3 项的系数为 ?(﹣1)3=﹣20,而所有系数和为 0, 不含 x3 项的系数之和为 20, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题.

10.【答案】D 【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点 由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线,

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所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2.

又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以



根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

所以|PF2|=2a﹣c.

所以 2a﹣c= ,所以 e=



故选 D.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义.

11.【答案】B

【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150°=﹣ . 故选 B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

12.【答案】B 【解析】解:∵A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, ∴A∩B={3,4}, ∵全集 I={1,2,3,4,5,6}, ∴?I(A∩B)={1,2,5,6}, 故选 B. 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化.

二、填空题

13.【答案】



【解析】解:如图,将 AM 平移到 B1E,NC 平移到 B1F,则∠EB1F 为直线 AM 与 CN 所成角

设边长为 1,则 B1E=B1F= ,EF=

∴cos∠EB1F= ,

故答案为

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【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
14.【答案】 2 3n?1 ?1
【解析】

考 点:1、利用导数求函数极值;2、根据数列的递推公式求通项公式. 【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项,属于中档题.由数列的递推公式
求通项常用的方法有:累加法、累乘法、构造法,形如 an ? qan?1 ? p( p ? 0, q ? 1) 的递推数列求通项往往用
? ? 构造法,利用待定系数法构造成 an ? m ? q(an?1 ? m) 的形式,再根据等比数例求出 an ? m 的通项,进而得 出?an? 的通项公式.
15.【答案】 (± ,0) y=±2x .

【解析】解:双曲线

的 a=2,b=4,

c=

=2 ,

可得焦点的坐标为(±

,0),

渐近线方程为 y=± x,即为 y=±2x.

故答案为:(± ,0),y=±2x. 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是焦点的求法和渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.

16.【答案】 (4)

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【解析】解:(1)命题 p:菱形的对角线互相垂直平分,为真命题.命题 q:菱形的对角线相等为假命题;则 p∨q 是真命题,故(1)错误, (2)命题“若 x2﹣4x+3=0,则 x=3 或 x=1”,即原命题为假命题,则命题的逆否命题为假命题,故(2)错误,

(3)由 x2﹣4x+3<0 得 1<x<3,则“1<x<3”是“x2﹣4x+3<0”的充要条件,故(3)错误,

(4)若命题 p:?x∈R,x2+4x+5≠0,则¬p:

.正确,

故答案为:(4)

【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及复合命题的真假关系,四种命题,充分条件和必要条件以及含有

量词的命题的否定,知识点较多,属于中档题.

17.【答案】 30° .

【解析】解:取 AD 的中点 G,连接 EG,GF 则 EG DC=2,GF AB=1,
故∠GEF 即为 EF 与 CD 所成的角. 又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在 Rt△EFG 中 EG=2,GF=1 故∠GEF=30°. 故答案为:30°

【点评】此题的关键是作出 AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解,如果一味的想利用余弦定理 求解就出力不讨好了. 18.【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键.
三、解答题
19.【答案】
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【解析】解:(Ⅰ)若 4 人全是女生,共有 C74=35 种情况;若 4 人全是男生,共有 C84=70 种情况;

故全为女生的概率为

= .…

(Ⅱ)共 15 人,任意选出 4 名同学的方法总数是 C154,选出男生的人数为 X=0,1,2,3,4…

P(X=0)=

= ;P(X=1)=

= ;P(X=2)=

=;

P(X=3)=

= ;P(X=4)=

故 X 的分布列为

X0 1 2 3

4

P

= .…

EX=0× +1× +2× +3× +4× = .… 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式,正确理解题意是解决问题的基 础.
20.【答案】
【解析】解:(1)作出散点图如下:

…(3 分)

(2) = (2+3+4+5)=3.5, = (2.5+3+4+4.5)=3.5,…(5 分)

=54, xiyi=52.5

∴b=

=0.7,a=3.5﹣0.7×3.5=1.05,

∴所求线性回归方程为:y=0.7x+1.05…(10 分) (3)当 x=10 代入回归直线方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时).

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∴加工 10 个零件大约需要 8.05 个小时…(12 分) 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,考查学生的计算能力,属于中档题.

21.【答案】

【解析】:Ⅰ f '(x) ? ex ? a ,因为定义域为 (0, ??) , x
f '(x) ? 0 ? ex ? a 有解 即 xex ? a 有解. 令 h(x) ? xex , h '(x) ? ex (x ?1) , x
当 x ? 0, h '(x) ? 0, h(0) ? 0?h(x) ? 0

所以,当 a ? 0 时, f '(x) ? 0, 无零点; 当 a ? 0 时,有唯一零点.

Ⅱ由Ⅰ可知,当 a ? 0 时,设 f '(x) 在 (0, ??) 上唯一零点为 x0 ,

当 x ? (x0, ??), f '(x) ? 0 , f (x) 在 (x0, ??) 为增函数;

当 x ? (0, x0 ) , f '(x) ? 0, f (x) 在 (0, x0 ) 为减函数.

e x0

?

a x0

? ex0 x0

?a

? f (x0 ) ? ex0

? a ln x0

?

a x0

?

a

ln

a e x0

?

a x0

? a(ln a ? x0 ) ?

a x0

? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a

22.【答案】

【解析】解:(1)a=1 时,因为 f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ ,

∴当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. 当 1<x≤e 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)=1. (2)因为函数 f(x)的极小值为 1,即函数 f(x)在(0,e]上的最小值为 1.

又 g′(x)=

,所以当 0<x<e 时,g′(x)>0,此时 g(x)单调递增.

所以 g(x)的最大值为 g(e)= , 所以 f(x)min﹣g(x)max> , 所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ . 【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题,考查函数的极值问题,本题属于中档题..

23.【答案】 【解析】解:(1)y=g(x)=ex 关于直线 y=x 对称的曲线 h(x)=ln x, 设曲线 y=h(x)与切线 mx-y-1=0 的切点为(x0,ln x0),

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由 h(x)=ln x 得

h′(x)=1x,(x>0),

则有???x10=m



??mx0-ln x0-1=0

解得 x0=m=1.
∴m 的值为 1. (2)φ(x)=12x2+x+a-ex, φ ′(x)=x+1-ex,

令 t(x)=x+1-ex,

∴t′(x)=1-ex,

当 x<0 时,t′(x)>0,x>0 时,t′(x)<0,

x=0 时,t′(x)=0.

∴φ ′(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴φ ′(x)max=φ′(0)=0, 即 φ′(x)≤0 在(-∞,+∞)恒成立,

即 φ(x)在(-∞,+∞)单调递减,

且当 a=1 有 φ(0)=0.

∴不论 a 为何值时,φ (x)=f(x)-g(x)有唯一零点 x0,

当 x0∈(0,1)时,则 φ(0)φ(1)<0, 2e-3
即(a-1)(a- 2 )<0,

2e-3

2e-3

∴1<a< 2 ,即 a 的取值范围为(1, 2 ).

24.【答案】 【解析】解:(1)设 h(x)=f(x)﹣g(x)=lg(2016+x)﹣lg(2016﹣x),h(x)的定义域为(﹣2016, 2016); h(﹣x)=lg(2016﹣x)﹣lg(2016+x)=﹣h(x); ∴f(x)﹣g(x)为奇函数; (2)由 f(x)﹣g(x)<0 得,f(x)<g(x); 即 lg(2016+x)<lg(2016﹣x);





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解得﹣2016<x<0; ∴使 f(x)﹣g(x)<0 成立 x 的集合为(﹣2016,0). 【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程,对数的真数需大于 0,以及对数函数的单调性.
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