全国新课标2017年高考数学大二轮复习专题整合突破专题二函数与导数第二讲函数与方程及函数的应用课件文_图文

第二编 专题整合突破
专题二 函数与导数

第二讲

函数与方程及函数的应用

主干知识整合

[必记公式] 几种常见的函数模型 (1)一次函数模型:
y=ax+b(a≠0).
2 y = ax +bx+c(a≠0). (2)二次函数模型: x y = a · b +c(b>0 且 b≠1). (3)指数函数模型:

(4)对数函数模型: y=blogax+c(a>0 且 a≠1,x>0). ? ?g?x??x∈D1?, f(x)=? (D1∩D2=?). ? ?h?x??x∈D2? (5)分段函数模型:

[重要性质] 1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数 f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 f(x)的 零点 ,函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的 根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象交点的 横坐标. 2.零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 f(b)<0 ,那么函数 y=f(x)在区间(a, 条曲线,并且有 f(a)· b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0.这个 c 也就是 方程 f(x)=0 的一个根.

[失分警示] 1.函数的零点不是点的坐标,而是函数值等于零的点 的横坐标. 2. 函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的. 并 且有 f(a)· f(b)<0 这两个条件同时成立. 3.满足零点存在性定理的条件时得出函数 y=f(x)在区 间(a,b)内有零点,但零点个数不确定;反之函数在[a,b] 上有零点不一定能推出 f(a)· f(b)<0. 4.求实际问题中的函数解析式时易忽略定义域.

热点考向探究

考点 典例示法

函数的零点

题型 1 判断函数零点的存在区间 典例 1 6 [2014· 北京高考]已知函数 f(x)=x-log2x, 在 ) B.(1,2) D.(4,+∞)

下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4)

[解析] ∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0, 6 3 f(3)=2-log23>0,f(4)=4-log24=2-2<0, ∴包含 f(x)零点的区间是(2,4),故选 C.

题型 2 函数零点的个数问题 典例 2
?π ? x ? [2015· 湖北高考]函数 f(x)=4cos22· cos? ? -x? ?2 ?

-2sinx-|ln (x+1)|的零点个数为________ . 2
[解析] f(x)=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln (x+1)|=sin2x -|ln (x+1)|,x>-1, 函数 f(x)的零点个数即为函数 y=sin2x 与 y=|ln (x+ 1)|(x>-1)的图象的交点个数.

分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点, 则 f(x)有两个零点.

题型 3 利用零点个数或存在区间求参数的取值范围 典例 3
3 ? ?x ,x≤a, ? 2 ? ?x ,x>a.

[2015· 湖 南 高 考 ] 已 知 函 数 f(x) =

若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a (-∞,0)∪(1,+∞) . 的取值范围是____________________
[解析] 令 φ(x)=x3(x≤a), h(x)=x2(x>a), 函数 g(x)=f(x) -b 有两个零点,即函数 y=f(x)的图象与直线 y=b 有两个 交点,结合图象可得 a<0 或 φ(a)>h(a),即 a<0 或 a3>a2,解 得 a<0 或 a>1,故 a∈(-∞,0)∪(1,+∞).

1.判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,则方程解的个数即为零点 的个数. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b] 上是连续的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象和 性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图 形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看 其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点.

2.利用函数零点求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而 构建不等式求解.

考点 典例示法 典例 4

函数与方程的综合应用

(1)[2015· 江苏高考]已知函数 f(x)=|ln x|, g (x )

? ?0,0<x≤1, =? 2 则方程 |f(x)+g(x)|=1 实数根的个数 ? ?|x -4|-2,x>1,

4 为________ .
[解析]

?-ln x,0<x≤1, ? 2 f(x)+g(x)=?-x +ln x+2,1<x<2, ? 2 ?x +ln x-6,x≥2,

1 1-2x2 当 1<x<2 时,f′(x)+g′(x)=-2x+x= x <0

故当 1<x<2 时,f(x)+g(x)单调递减,在同一坐标系中 画出 y=|f(x)+g(x)|及 y=1 的图象,如图所示. 由图象可知|f(x)+g(x)|=1 的实根个数为 4.

x ? 2 ? -1,x≤0, (2)已知函数 f(x)=? 则方程 f(x)=log1 2 ? ?f?x-1?,x>0,

2 (x+1)的根的个数为________ .
[解析] 先求 x>0 时,f(x)的解析式. 当 0<x≤1 时,x-1≤0, 则 f(x)=f(x-1)=2x-1-1. 当 1<x≤2 时,x-2≤0, 则 f(x)=f(x-1)=f(x-2)=2x-2-1, …,

由此得,n-1<x≤n 时,f(x)=2

x-n

-1(n∈N*),

x ? ?2 -1,x≤0, 由此得,f(x)=? x-n * ? 2 - 1 , n - 1< x ≤ n ? n ∈ N ?, ?

方程 f(x)=log1 (x+1)的根的个数,
2

即是函数 y=f(x)与 y=log1 (x+1)的图象的交点个数,
2

画图象如图所示: 由图象得知, f(x)=log1 (x+1)的根有两个.
2

应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 (1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结 合、构建不等式(方程)求解. (2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解.

针对训练 1.[2014· 山东高考]已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx. 若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范 围是( )
?1 ? ? B.?2,1? ? ? ? ? 1? ? A.?0,2? ? ? ?

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解析 画出 f(x)=|x-2|+1 的图象如图所示. 由数形结 合知识,可知若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函 数 g(x)与 f(x)的图象应有两个不同的交点. 1 所以函数 g(x)=kx 的图象应介于直线 y=2x 和 y=x 之 间,所以 k
?1 ? ? 的取值范围是?2,1? ?. ? ?

? ?2 x-1?x≥2?, 2. [2016· 沈阳质检]已知函数 f(x)=? 若 ? ?2?1≤x<2?,

方程 f(x)=ax+1 恰有一个解,则实数 a 的取值范围是
? ? ? ? 1 - 1 + 5 ? ? ? ? 0 , ∪ ,1? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? __________________________ .

1 解析 如图,当直线 y=ax+1 过点 B(2,2)时,a=2, 满足方程有两个解; 当直线 y=ax+1 与 f(x)=2 x-1(x≥2) -1+ 5 的图象相切时,a= ,满足方程有两个解;当直线 2

y=ax+1 过点 A(1,2)时,a=1,满足方程恰有一个解.故 实数 a
? ? 1? ? ? ?-1+ 的取值范围为?0,2?∪? 2 ? ? ?

5

? ? ,1?. ?

考点 典例示法 典例 5

函数的实际应用

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城

市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小 时.研究表明:当 20<x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.

(1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥 上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x· v(x)可以达到 最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

[解] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?a=-1, ? ? 3 ?200a+b=0, 再由已知得? 解得? 200 ? ? ?20a+b=60, b= 3 . ? ?

故函数 v(x)的表达式为
?60,0≤x≤20, ? v(x)=?1 ? ?200-x?,20<x≤200. ?3

(2)依题意及(1)可得
?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?1 ? x?200-x?,20<x≤200. ?3

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,f(x)取 得最大值,其最大值为 60×20=1200;

当 20<x≤200 时,
? 1 1? 10000 ?x+?200-x??2 f(x)=3x(200-x)≤3? , ? = 3 2 ? ?

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)取得最大值 3 . 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 3 ≈3333, 即当车流密度为 100 辆/千米时, 车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时.

函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序 ?1?常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、路 程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、 造价的最优化问题. ?2?应用函数模型解决实际问题的一般程序 ? ?3?解题关键: 解答这类问题的关键是确切地建立相关函 数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识 加以综合解答.

针对训练 [2015· 山东实验中学月考 ]候鸟每年都要随季节的变化 而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类 的飞行速度 v(单位: m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为: v=a Q +blog310(其中 a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的 时候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其 飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a,b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s, 则其耗氧量至少要多少个单位?



(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为

30 0 m/s,此时耗氧量为 30 个单位,故有 a+blog310=0, 即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s, 90 故 a+blog310=1,整理得 a+2b=1.
? ? ?a+b=0, ?a=-1, 解方程组? 得? ?a+2b=1, ? ? ?b=1.

Q Q (2)由(1)知, v=a+blog310=-1+log310.所以要使飞行 Q Q 速度不低于 2 m/s, 则有 v≥2, 即-1+log310≥2, 即 log310 ≥3,解得 Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程, 飞行的速度不能低于 2 m/s, 则其耗氧量至少要 270 个单位.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2014· 全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x) 存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-∞,-2) B.(1,+∞) D.(-∞,-1) )

解析 当 a=0 时,显然 f(x)有 2 个零点,不符合题意; 当 a>0 时, f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 易知函数 f(x)在(- ∞,0)上单调递增.又 f(0)=1,当 x→-∞时,f(x)=x2(ax -3)+1→-∞,故不适合题意;当 a<0
? 2? ? 时,f(x)在?-∞,a? ? ? ?

?2 ? ? 上单调递减, 在?a,0? 在(0, +∞)上单调递减, ?上单调递增, ? ?

只需

?2? ? f? ? ?>0 ?a?

就满足题意.由

?2 ? 8 12 ? ? f?a?>0,得a2- a2 +1>0,解得 ? ?

a<-2 或 a>2(舍去),故 a<-2.

[其它省市高考题借鉴] 2.[2016· 天津高考]已知函数 f(x)=
2 ? x ? +?4a-3?x+3a,x<0, ? (a>0,且 a≠1)在 R 上单调 ?loga?x+1?+1,x≥0 ?

递减, 且关于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解, 则 a 的取值范围是(
? ? 2 ? A.? ?0 , ? 3? ? ?1 ? 2? ?3? ? ? ? ? C.?3,3?∪?4? ? ? ? ? ?

)
?2 ? 3 ? B.? ? , ? 4? ?3 ?1 ? 2? ?3? ? ? ? ? D.?3,3?∪?4? ? ? ? ? ?

4a-3 解析 当 x<0 时, f(x)单调递减, 必须满足- 2 ≥0, 3 故 0<a≤4,此时函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,若 f(x) 1 1 3 在 R 上单调递减,还需 3a≥1,即 a≥3,所以3≤a≤4.结 合函数图象,当 x≥0 时,函数 y=|f(x)|的图象和直线 y=2 -x 有且只有一个公共点,即当 x≥0 时,方程|f(x)|=2-x 只有一个实数解.因此,只需当 x<0 时,方程|f(x)|=2-x 恰有一个实数解.根据已知条件可得,当 x<0 时,f(x)>0,

即只需方程 f(x)=2-x 恰有一个实数解,即 x2+(4a-3)x+ 3a=2-x,即 x2+2(2a-1)x+3a-2=0 在(-∞,0)上恰有 唯一的实数解. 判别式 Δ=4(2a-1)2-4(3a-2)=4(4a2-7a 1 3 +3)=4(a-1)(4a-3), 因为3≤a≤4, 所以 Δ≥0.当 3a-2<0, 2 即 a<3时,方程 x2+2(2a-1)x+3a-2=0 有一个正实根、 2 一个负实根,满足要求;当 3a-2=0,即 a=3时,方程 x2 2 +2(2a-1)x+3a-2=0 的一个根为 0,一个根为-3,满足

2 3 要求;当 3a-2>0,即3<a<4时,因为-(2a-1)<0,此时方 程 x2+2(2a-1)x+3a-2=0 有两个负实根,不满足要求; 3 当 a=4时, 方程 x2+2(2a-1)x+3a-2=0 有两个相等的负 实根,满足要求.综上可知,实数 a
? ?3? ? ? ?. ? ?4? ? ?1 2? ? 的取值范围是?3,3? ?∪ ? ?

? ?2-|x|,x≤2, 3.[2015· 天津高考]已知函数 f(x)=? 函 2 ? ??x-2? ,x>2,

数 g(x)=b-f(2-x),其中 b∈R.若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是(
?7 ? ? A.?4,+∞? ? ? ? ? ? 7 ? C.? ?0 , ? 4? ? ? 7? ? B.?-∞,4? ? ? ? ?7 ? ? D.? ? ,2? ?4 ?

)

解析 函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,即方程 f(x)- g(x)=0,即 b=f(x)+f(2-x)有 4 个不同的实数根,即直线 y=b 与函数 y=f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同的交点.又
?x2+x+2,x<0, ? y=f(x)+f(2-x)=?2,0≤x≤2, ? 2 ?x -5x+8,x>2,

作出该函数的图象

7 如图所示,由图可得,当4<b<2 时,直线 y=b 与函数 y= f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同的交点, 故函数 y=f(x)-g(x) 恰有 4 个零点时,b
?7 ? ? 的取值范围是?4,2? ?. ? ?

4.[2015· 四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与 储藏温度 x(单位: ℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718…为自 然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间 是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________ 小时. 24
?eb=192, ? ? ?e =192, 由题意得? 22k+b 即 ? 11k 1 ?e =48, ?e = , ? 2 ?
b 33k+b

解析

所以该

食品在 33 ℃的保鲜时间是 y=e 24(小时).

?1 ? ?3 =(e11k)3· eb=? ? ? ×192= ?2?


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