安徽省涡阳县第四中学2014-2015学年高二数学下学期第二次质量检测试题 理

涡阳四中 2014-2015 学年度下高二第二次质量检测 数 学 试 题 (理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:将试题答案写在答题卷上,在本试卷上作答无效 。 ......... 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,m 和 n 都是实数,且 m(1 ? i) ? 7 ? ni ,则 A.-1 B.1 C.-i D.i

m ? ni ?( m ? ni



2.设 f ? x ? ? sin x ? cos x ,则 f ? x ? 在 x ? A.

?
4

处的导数 f ( ) =(

/

?

4

)

2

B.- 2

C.0

D.

2 2

3.设定义在 ( a, b) 上的可导函数 f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如左所示,则 f ( x) 的极值 点的个数为 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

4 .用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么
2

a, b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是(
A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 5.曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ A. 4 B. 2



B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数

? ?

3π 3π ? ? 与 x 轴以及直线 x ? 2 所围图形的面积为( 2 ?
5 2
D. 3



C.

1

6.观察下列各式: 5 =3125, 5 =15625, 5 =78125,?,则 52015 的末四位数字为( A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

5

6

7



7. 由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中,若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件, 用 B 表示“第一位数字为 0”的事件,则 P(A|B)=( ) A.

1 2

B.

1 3
x

C.

1 4

D.

1 8

8. 已知点 P 在曲线 y= ( ) A.[0,

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1

? ) 4

B. [

? ?

, ) 4 2

C. (

? 3?
2 4
20 3

,

]

D. [

3? ,? ) 4
)厘米.

9 .要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 厘米,要使其体积最大,则其高应为( A.

20 3 3

B.100

C.20

D.

10. 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? (??,0) 时 , 不 等 式

f ( x) ? xf ' ( x) ? 0









a ? 30.3 f (30.3 )



b ? (log ? 3) f (log ? 3),
( ) D. a ? c ? b

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9
A. a ? b ? c B. c ? b ? a 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) C. c ? a ? b

二.填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上.

3] 上有最小值 3 ,那么在 [?3, 3] 上 f ( x) 11.已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a ( a 为常数) ,在 [?3,
的最大值是 12. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答)

13.

? , a5是 (2 ? 3x)50 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a50 x50 , 其 中 a0 , a1, a 2 0 常 数 , 计 算

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2 =

14.

?(
0

1

1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x)dx ?

15. 对于三次函数错误!未找到引用源。 ,定义错误!未找到引用源。是错误!未找到引用 源。的导函数错误!未找到引用源。的导函数,若方程错误!未找到引用源。有实数解错 误!未找到引用源。 ,则称点错误!未找到引用源。为函数错误!未找到引用源。的“拐点” , 可以证明,任何三次函数都有“拐点” ,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称
2

中心,请你根据这一结论判断下列命题: ①任意 三次函数都关于 点 ? ? ..

?

b , ? 3a

? b ?? f ? ? ? ? 错误!未找到引用源。对称: ? 3a ? ?

②存在 三次函数 f ?( x) ? 0 错误!未找到引用源。有实数解 x0 错误!未找到引用源。 ,点 ..

? x , f ? x ? ? 错误!未找到引用源。为函数 y ? f ( x) 错误!未找到引用源。的对称中心;
0 0

③存在 三次函数有两个及两个以上的对称中心; .. ④若函数错误! 未找到引用源。 , 则 2 1 4 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?0 g? ?? g? ?? g? ? ?? ? g ? ? ? ?1007. ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? 其中正确命题的序号为________ ____________(把所有正确命题的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 16.(本题满分 12 分) 若? 3 x ?

? ?

1 ? ? 的展开式的二项式系数和为 128. x2 ?

n

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项; (3)求展开式中二项式系数的最大项.

17. (本题满分 12 分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (l)甲不站两端; (2)甲、乙不相邻; (3)甲、乙之间间隔两人; (4)甲不站左端,乙不站右端.

18. (本小题满分 12 分) 证明: 1 ?

1 1 1 1 4n ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? N * ) . 2 2 3 4 n 2n ? 1

3

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

20. (本小题满分 13 分) 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个 球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列.

21.(本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ( x ?1)ex ? kx2 (k ? R).
?1 ? ?2 ?

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ∈ ? , 1? 时,求函数 f ( x) 在 ? k ? 上的最大值M. ?0,

4

数学试题(理科)参考答案 一、选择题:DACBD 二.填空题: 11.57. 12. 36 13. 1 14. DBDAC

?
4

-1

15. ①②④

三.解答题 16.解:(1) n ? 7 ???????????????????3 分 (2) Tr ?1 ? ? ?1? C x
r r 7 7 ?7 r 3

,令

7 ? 7r ? 0 , r ? 1 ,常数项为 ?7 ????8 分 3

(3) ?35 x 17.

?

14 3

,35 x ?7 ????????????????12 分

5 解:(1)A1 ?.........3分 4 ? A5 ? 480(种) 2 6 5 2 (2)A 4 ?.........6分 4 ? A5 ? 480(种)(或A 6 ? A5 ? A2 ? 480(种)) 2 3 2 2 (3)C4 ? A3 ? A2 ? A2 ? 144(种) ?.........9分 5 4 5 1 1 4 (4)A 6 ?.........12分 6 ?2 A5 ? A4 ? 504(种)(或A 5 ? A4 ? A4 ? A4 ? 504(种))

1 4 ?1 4 4 ? 1, ? , 1 ? ????????2 分 2 2 ?1 ? 1 3 3 1 4k (ⅱ)假设当 n=k 时, Tk ? ????????????????4 分 2k ? 1 1 4k 1 则当 n=k+1 时, Tk ?1 ? Tk ? ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2 (k ? 1) 4(k ? 1) 要证: Tk ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 4k 1 4(k ? 1) 只需证: ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4k 4 4 1 由于 ? ? ? ? 2 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1 (2k ? 3)(2k ? 1) (2k ? 2) ? 1 (k ? 1) 2 4k 1 4(k ? 1) 所以 ??????????????11 分 ? ? 2 2k ? 1 (k ? 1) 2(k ? 1) ? 1
18.证明: (ⅰ)当 n=1 时, T1 ? 于是对于一切的自然数 n ? N ? ,都有 Tn ?

4n ????????12 分 2n ? 1

此题也可以用放缩再拆项相消法 即

1 1 1 1 ? ? ? . 2 n n(n ? 1) n ? 1 n
5

19.解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ? (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

a .???2 分 x

2 ( x ? 0) , x

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即 x ? y ? 2 ? 0 .????????6 分 (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值, 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小 值为 f ( a ) ? a ? a ln a ,无极大值????????12 分

20.(I) (i)解:设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? ? . ????????3 分 2 2 C5 C3 5

(ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B ? A2 ? A3 ,又

P( A2 ) ?

1 1 2 1 C32 C2 C3 C2 C2 1 ? ? ? ? , 2 2 2 2 C5 C3 C5 C3 2

且 A2,A3 互斥,所以 P ( B ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ?

1 1 7 ? ? . ????????7 分 2 5 10

(II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

6

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 2 49 P( X ? 2) ? ( ) ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
所以 X 的分布列是 X P ????????13 分

0

1

2

9 100

21 50

49 100

21.(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ?? x?

? ??, 0 ?
?
?

0
0
极大值

? 0, ln 2 ?
?
?

ln 2

? ln 2, ?? ?
?
?

0
极小值

f ? x?

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0, ln 2 ? ,递增区间为

? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? .?????6 分
(Ⅱ) f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x e x ? 2k , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

?

?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ? 0, k ? 所以当 x ? 0, ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e k ? k 3 令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e k ? 3k ,
k 3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

7

所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ?

所以存在 x0 ? ?

?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ? 因为 h ?

?1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ?

1 7 ?1? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ??? 2 8 ?2? ?1 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ?
k 3

所以 h ? k ? ? 0 在 ?

综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k .?????14 分

8


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