江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学上学期阶段练习四 文

泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习四 高 三 数 学 (文)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.设集合 A ? {x

1 x ?1 ? 3x ? 3}, B ? {x ? 0} ,则 A ? B = 3 x
▲ .





2.函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为 3.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ .

4.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是
? x ? y ≥3, ? 5.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x 2 ? y 2 的最大值为 ? x ≤ 3, ?







6.数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5

? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? ________.

7.若曲线 C1 : y ? 3x4 ? ax3 ? 6x2 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

2π → 1 → 1 → → → → → 8.已知| OA |=1,| OB |=2,∠AOB= , OC = OA + OB ,则 OA 与 OC 的夹角大小为 3 2 4 ▲ .

? 1] 上的单 9.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同,则函数 f ( x) 在 [?1, 4
调增区间为 ▲ .

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0, 10.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 ▲ 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,



a3 , a5 成等差数列, 11. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 a4 , 且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 , 其中 k ? N? ,

则 S k ? 2 的值为




B,

7tan 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ?

a 2 ? b2 ? 3 ,则 c ? c





13.数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,且 an ? an?1 ? ▲ .

an?1 ,则这个数列的通项公式 an ? ? n ? 1 ( n ? N* , n ≥ 2 ) n

1

14.已知两条直线 l1 : y ? m 和 l2 : y ?

8 ( m ? 0) ,l1 与函数 y ?| log2 x | 的图象从左至右相交于 2m ? 1

点 A, B , l2 与函数 y ?| log2 x | 的图象从左至右相交于点 C , D ,记线段 AC 和 BD 的长度分别 为 a , b .当 m 变化时,

b 的最小值为 a





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

?? ? 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C,cos A) .
?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A;
?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5

16. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 Sn ? S4 . ⑴求 {an } 的通项公式; ⑵设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最小值. an an ?1

2

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=e -kx,x∈R. (Ⅰ)若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 k>0,且对于任意 x∈R,f(|x|)>0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.
x

18. (本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}的首项 a1 为 a (a ? R, a ? 0) .设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1
(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出 n 和 k 的值;若不存在, 请说明理由.

3

19. (本小题满分 16 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα =-2.在该块土 地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一条 直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,问如何确定 B 点 的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C

·
α
A

P

B (第 19 题图)

M

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?

a ,a?R . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ?

a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1

? b ? ? a?b? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ?

4

高三数学(文)阶段练习四参考答案 1.

? x ? 1 ? x ? 1?
7.

2. p 8. 60°

3. (?? , 0)

4. x ? 2 y ? 1 ? 0 10. (log 1 9, 4)
2

5.

1 2
11. 129

6. 1 12. 4

1 3e

1 3 9. [? , ] 4 4

13. (n ? 1)(n ? 2) 14. 8 2 ?? ? 15. 解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ??????????????????2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ABC 中, tan A ?

p p .∴ B ? . 2 2

????????????4 分 ?????????????6 分

a 3 p ? ,A? . c 3 6

?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B .

由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C ) ? 3sin 2 B .

1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C ) ? sin B . 从而 sin B ? . 3
∵ cos A ?

?????8 分 ????????10 分
2 2 . 3

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 2 2 3 1 3?8 2 ? ? ? =? ? . 5 3 5 3 15

???12 分

?????????????14 分

16. 解:⑴由 a1 ? 10 , a2 为整数知,等差数列 {an } 的公差 d 为整数.又 Sn ? S4 ,故 ?

?a4 ? 0 , ?a5 ? 0

于是 ?

?10 ? 3d ? 0 10 5 ? d ? ? ,因此 d ? ?3 , ,解得 ? 3 2 ?10 ? 4d ? 0

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 13 ? 3n . ⑵ bn ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?, (13 ? 3n)(10 ? 3n) 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?
1? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?? 3 ? 10 ? 3n 10 ?

于是 Tn ?

5

因为 Tn 单调递增,所以当 n ? 1 时, Tn 取得最小值
x x

1 . 70

17. 解:(1)由 k=e 得 f(x)=e -ex,所以 f ' (x)=e -e. 由 f ' (x)>0 得 x>1, 故 f(x)的单调递增区间是(1,+∞);????????4 分 由 f ' (x)<0 得 x<1, 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ????????6 分 (2)由 f(|-x|)=f(|x|)可知 f(|x|)是偶函数. 于是 f(|x|)>0 对任意 x∈R 成立等价于 f(x)>0 对 任意 x≥0 成立. 由 f ' (x)=e -k=0 得 x=lnk. ①当 k∈(0,1 ]时,f ' (x)=e -k>1-k≥0(x>0). 此时 f(x)在[0,+∞ )上单调递增. 故 f(x)
x x

≥f(0)=1>0,符合题意.所以 0<k≤1. ????10 分②当 k∈(1,+∞)时,lnk>0. 当 x 变 化时 f ' (x),f(x)的变化情况如下: x f ' (x) f(x) (0,lnk) - 单调递减 lnk 0 极小值 (lnk,+∞) + 单调递增

由此可得,在[0,+∞ )上,f(x)≥f(lnk)=k-klnk. 依题意,k-klnk>0. 又 k>1,所以 1<k<e. 综合①②实数 k 的取值范围为(0,e). ??????????14 分 18.

19. 解: (方法一)
6

如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. N 因为 tanα =-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, ∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3).
C

y

·

P

(A ) O (第 19 题图 1)

B

x

???????????? 4 分

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- .

k

???????????? 6 分 ???????????? 8 分
2

由?

?y-3=k(x-1), ?y=-2x

6-2k 解得 yC= . k+2

1 -k +6k-9 8k-9 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 k2+2k k +2k 由 S?= -2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=- 或 k=3. 2 2 (k +2k) 4

3 3 当-2<k<- 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增.? 13 分 4 4 3 所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km .????? 16 分 (方法二) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα =-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, ∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3). ???????????? 4 分
2

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- .

k

???????????? 6 分 ???????????? 8 分

由?

?y-3=k(x-1), ?y=-2x

6-2k 解得 yC= . k+2

7

1 -k +6k-9 8k-9 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 k2+2k k +2k 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k=

2

t+9
8



t 64t 64 因此 S=-1+ =-1+ 2 =-1+ .??? 13 分 t+9 2 t+9 t +34t+225 225 ( ) +2× 34+t+ 8 8 t
225 因为当 t∈(-25,-9)时,t+ ∈(-34,-30],

t

225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15.

t

答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km .?????16 分 (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, 即 PE=3,PF= 5. 由 S△ABC=S△ABP+S△APC 1 1 1 = ?x?3+ ?y? 5 = (3x+ 5y). ① ?? 4 分 A 2 2 2 因为 tan?=-2,所以 sin?= 2 5 . ??????????????? 8 分
F N C P ·

2

E

B (第 19 题图 2)

M

1 2 所以 S△ABC= ?x?y? . ② 2 5 1 2 1 由①②可得 ?x?y? = (3x+ 5y). 2 5 2 即 3 5x+5y=2xy. ③

???????????????10 分

因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy. 解得 xy≥15 5. ???????????????13 分

当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5. 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? 有最小值 15. 2 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km .????? 16 分 20. 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表:
2

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

???1 分

8

x
f ?( x) f ( x)

(0,1)

1
0 极大值

(1, ??)
?

+ ↗



所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (2) f ?( x) ?

????????????????3 分

1 a ? x2 ? x ? a . ?1? 2 ? x x x2

令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x 2 ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4 a .

1 (ⅰ)当 a ≤ ? 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; ????5 分 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? (ⅱ)当 a ? ? 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , 2 2 4 1 ①若 ? ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 4

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? x1 . 所 以 , f ( x) 的 单 调 减 区 间 为 (0,
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ( , ); 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) , ( , ??) , 单 调 增 区 间 为 2 2

??????????????????????7 分

②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ; ③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 .
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ??) ,单调增区间为 (0, ) . ??9 分 f ( x) 的单调减区间为 ( 2 2

1 综上所述:当 a ≤ ? 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ; 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 ) ,( , ??) ,单调增 当 ? ? a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, 2 2 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ); 区间为 ( 2 2 1 ? 1 ? 4a , ??) , 单 调 增 区 间 为 当 a ≥ 0 时 , f ( x) 单 调 减 区 间 为 ( 2 (0, 1 ? 1 ? 4a ). 2

?????????????????????10 分

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ) . 由 g(
1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

9

∵1 ? a ? b ,

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ? 1) ? 1 . ?????????????12 分

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g (

a?b ) 得, 2 a?b 1 ln(b ? 1) ? 2 ln( ? 1) ? 2 ln [( a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) 2 2 a ?1 ? b ?1 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 , 2

因为

1 所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , 2 1 1 即 b ?1 ? [ ( ? b ?1 ) ]2 . 2 b ?1
??????????????????14 分

1 1 令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,整理,得 t 4 ? 4t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 , 2 t
从而 (t ? 1)(t 3 ? 3t 2 ? t ? 1) ? 0 ,即 t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? 0 . 记 h(t ) ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 ,令 h?(t ) ? 0 得 t ? 1 ? 列表:
2 3 2 3 (舍) , t ?1? , 3 3

t
h?(t ) h (t )

(1,1 ?
?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ?? ) 3

+ ↘ ↗

所以, h (t ) 在 (1,1 ?

2 3 2 3 ) 单调减,在 (1 ? , ?? ) 单调增,又因为 h(3) ? 0, h(4) ? 0 ,所以 3 3

3 ? t ? 4 ,从而 4 ? b ? 5 .

??????????????????16 分

10


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