「精品」高中数学第一章统计案例1.1独立性检验课件新人教B版选修1_2_图文

1.1 独立性检验

1.了解两个事件相互独立的概念. 2.了解独立性检验的基本思想及其初步应用.

123
1.两个事件A与B独立 一般地,对于两个事件A,B,如果有P(AB)=P(A)P(B),就称事件A与B 相互独立,简称A与B独立. 名师点拨(1)当事件A与B独立时,事件与B,A与, 与也独立. (2)依据定义容易验证必然事件、不可能事件与任何事件是相互 独立的.因为必然事件与不可能事件的发生与否,是不受任何事件 的影响的,也不影响其他事件是否发生. (3)从直观上可以认为不论事件A发生还是不发生都对事件B发生 的概率没有影响,即事件A与事件B没有关系,或者说B与A独立. 巧记方法:各独立事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率 的积.

123

【做一做1-1】 甲组中有3名男生、2名女生,乙组中有2名男生、

3名女生,今从甲、乙两组中各选出1名同学参加演讲比赛,则“从甲

组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”

相互独立

事件.(填“是”或“不是”)

解析:设“从甲组中选出1名男生”为事件A,“从乙组中选出1名女生”

为事件B,则P(A)

=

35,P(B)

=

3 5

,

而P(AB)

=

3×3 5×5

=

9 25

= P(A)P(B),故

事件A与B相互独立.

答案:是

123

【做一做 1-2】 甲、乙两人射击时命中目标的概率分别为 1 , 1 ,
23

现两人同时射击, 则两人都命中目标的概率为

.

解析:设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,则A与B相

互独立,

于是

P(AB)=P(A)P(B)

=

1 2

×

1 3

=

1.
6

答案: 1
6

123

2.χ2的计算公式
一张用字母表示的2×2列联表如下:

B

A

n11

A

n21

合计

n+1

B n12 n22 n+2

合计
n1+ n2+ n

表中:n+1=n11+n21,n+2=n12+n22,n1+=n11+n12,n2+=n21+n22, n=n11+n21+n12+n22. χ2(卡方)统计量的表达式为 χ2= (11+122+2-+112+212)2.

123

【做一做2】 根据下表计算χ2的值约为

.(结果保留两位小数)

A

A

B

42

160

B

32

170

解析:χ2 = (1122 -12 21 )2,
1+2++1 +2

n=42+32+160+170=404,
n11n22-n12n21=42×170-160×32,n1+=42+160=202,
n2+=32+170=202,n+1=42+32=74,n+2=160+170=330, 所以 χ2 = 404×(42×170-160×32)2≈1.65.
202×202×74×330
答案:1.65

123
3.用χ2进行独立性检验 在独立性检验中,χ2有两个临界值:3.841与6.635. (1)当χ2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关; (2)当χ2>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关; (3)当χ2≤3.841时,认为事件A与B是无关的.

123
归纳总结用χ2统计量进行独立性检验,要注意以下三点: (1)要求表中的数据都要大于等于5,因而在选取样本的容量时要 注意这一点; (2)χ2计算公式中的n11n22与n12n21分别为表中主对角线(左上→右 下)上的两数据之积和副对角线(右上→左下)上的两数据之积,不能 混淆,其中n为样本容量; (3)χ2的构造思路:当统计假设H0:P(AB)=P(A)P(B)成立时, P()=P()P(B),P()=P(A)P(),P( )=P()P()都成立,实 际计算中是用事件的频率近似代替相应的概率,因而χ2的结果也受 样本特征的影响,具有随机性.

123

【做一做 3】 χ2 = (11 22-1221 )2 , 用它的大小可以决定是否
1+ 2+ +1 +2

拒绝原来的统计假设H0,如果 χ2 值较大,就拒绝 H0,即拒绝

.

答案:事件A与B无关

12
1.如何使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验?
剖析:步骤如下:
(1)检查2×2列联表中的数据是否符合要求,即表中的4个数据都
要大于等于5; (2)由公式 χ2 = (11 22 -12 21)2 , 计算χ2 的数值;
1+2++1+2
(3)将χ2的数值与两个临界值3.841与6.635进行比较,作出统计推 断:当χ2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;当χ2>6.635时,有 99%的把握说事件A与B有关;当χ2≤3.841时,认为事件A与B是无关 的.

12
2.独立性检验的基本思想是什么? 剖析:独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法.要确认“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信度,首先假设该结论不成 立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下,我们构 造的随机变量χ2应该很小,如果由观测数据计算得到的χ2很大,则在 一定程度上说明假设不合理,根据统计量χ2的含义,可以通过χ2的大 小来评价假设不合理的程度有多大,从而说明“两个分类变量有关 系”这一结论成立的可信程度有多大. 警示:(1)由于χ2的计算量较大,所以应准确代入数据并计算,然后
进行比较与判断.(2)使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时,
要求表中的4个数据都大于等于5.

题型一 题型二 题型三

相互独立事件的概率

【例题1】 下面是某班英语及数学成绩的分布表,已知该班有50

名学生,成绩分1~5共5个档次.如:表中所示英语成绩为第4档,数学

成绩为第2档的学生有5人,现设该班任意一名学生的英语成绩为第

m档,数学成绩为第n档.

n m

数学成绩

5

4

3

2

1

5

1

3

1

0

1

4

1

0

7

5

1

英语成绩

3

2

1

0

9

3

2

1

b

6

0

a

1

0

0

1

1

3

(1)求m=4,n=3的概率; (2)若m=2与n=4是相互独立的,求a,b的值.

题型一 题型二 题型三

分析:明确表中数据的含义是解决本题的关键.

解:(1)由表知英语成绩为第4档、数学成绩为第3档的学生有7人, 而学生总数为50,故故所求概率为 570.
(2)由题意知,a+b=3.①

又m=2与n=4相互独立,

所以P(m=2)P(n=4)=P(m=2,n=4),

1 + + 6 + 3 + 1 +



50

· 50 = 50 . ②

由①②,解得a=2,b=1.

题型一 题型二 题型三
反思(1)应用相互独立事件的概率公式,可求得相互独立事件同时 发生的概率.
(2)检验事件A与B是否相互独立,应充分利用相互独立事件的性 质,验证P(AB)与P(A)P(B)是否相等,若相等,则相互独立;若不相等, 则不相互独立.解决这一类问题,关键在于准确求出基本事件的总 数,确定事件A与B的概率,另一个关键点是正确理解题意,分析出AB 中的基本事件数,求出P(AB),即事件A与B同时发生的概率.

题型一 题型二 题型三

用χ2统计量来判断两个变量是否有关 【例题2】 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简 单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:

性别是否需要志愿者





需要

40

30

不需要

160

270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老 年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.

题型一 题型二 题型三

附: P(χ2>k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

分析:题中给出了2×2列联表,从而可通过求χ2的值进行判定.对
于(1)(3),可依据古典概型及抽样方法分析求解. 解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该
地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为 70 × 100%=14%.
500
(2)χ2 = 500×(40×270-30×160)2≈9.967.
200×300×70×430
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需 要志愿者提供帮助与性别有关.

题型一 题型二 题型三
(3)由(2)的结论知,该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与 性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人 中需要志愿者提供帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定 该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层,并采 用分层抽样方法进行抽样,这比采用简单随机抽样方法更好.
反思进行独立性检验一般要经历三个步骤: ((12))作根统据计公假式设χ2H=0:“事(件11A22与-B12相21互)2独, 求立出”,χP2;(AB)=P(A)P(B);
1+ 2++1+2
(3)作出统计判断:若χ2>6.635,则有99%的把握说事件A与B有关; 若χ2>3.841,则有95%的把握说事件A与B有关,这样就可以拒绝统计 假设H0;反之,若χ2≤3.841,我们就认为没有充分的证据说事件A与B 有关.

题型一 题型二 题型三

易错题型

易错点:对相互独立事件理解不够而出错.

【例题3】 有10个零件,其中3个次品,现从中任取2个,记A:恰好有

1个次品,B:至少有1个次品,求P(AB).

错解:由题意,得

P(A)

=

7,
15

P(B) = 8 ,

15



P(AB)=P(A)P(B)

=

7 15

×

8 15

=

56 .
225

错因分析:因为A:恰好有1个次品,B:至少有1个次品,所以AB:恰好

有1个是次品,即P(AB)=P(A)≠P(A)P(B),从而A与B不独立,不能使用

P(AB)=P(A)P(B)计算P(AB).

正解:因为A:恰好有1个次品,B:至少有1个次品,则AB:恰好有1个

次品. 故 P(AB)=P(A) = 7 .
15

123
1甲、乙二人分别对一目标射击一次.记“甲射击一次,击中目标”为 事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则在A与B, 与B,A与, 与中, 满足相互独立的事件有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析:事件 A 与 B 相互独立,则与B,A与, 与都相互独立. 答案:D

123
2下列说法正确的有( )
①事件A与B无关,即两个事件互不影响; ②事件A与B关系越密切,则χ2就越大; ③若判定两个事件A与B有关,则A发生B一定发生.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:事件A与B有关,不要误以为是因果关系,它是指统计上的关系,
故③不正确,①②均正确.
答案:C

制作不易 尽请参考

123
3在吸烟与患肺病这两个分类变量的关系中,下列说法正确的是
() A.若统计量χ2>6.635,我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关,则若 某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病 B.若从统计量中求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关,则在100 个吸烟者中必有99个人患有肺病 C.若从统计量中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关,是指有5% 的可能性使得推断错误 D.以上说法均不正确 答案:C


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