上海高考数学试题专题分类09. 立体几何(理)(2004-2015)


上海高考试题分类(理) ?

第九部分 ? ? 立体几何 ?
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一、点,线,面的位置关系 ?
? 【2008 年理 13】 .给定空间中的直线 l 及平面 α 。条件“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂 直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的( (A)充要条件. (C)必要非充分条件. 【答案:C】 ? ? 【2007 年理 10】 、 平面内两直线有三种位置关系: 相交, 平行与重合。 已知两个相交平面 α , β 与两直线 l1 , l2 , 又知 l1 , l2 在 α 内的射影为 s1 , s2 , 在 β 内的射影为 t1 , t2 。 试写出 s1 , s2 与 t1 , t2 满足的条件,使之一定能成为 l1 , l2 是异面直线的充分条件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答案 ? 【2006 年理 14】 .若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点 在同一平面上”的( ? ? ) ? (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. ? 【答案:A】 ? ? 【2004 年理 13】 .在下列关于直线 l , m 与平面 α , β 的命题中,真命题是( ? ? ? ? ) ? ? ? ? A. 若l C. 若l 】 ? s1 // s2 ,并且 t1 与 t 2 相交( t1 // t 2 ,并且 s1 与 s 2 相交) ) ? (B)充分非必要条件. ? (D)既非充分又非必要条件. ?

? β 且 α ⊥ β , 则l ⊥ α ? ? ? ⊥ β 且 α ⊥ β , 则l / /α ? ?

B. 若l

⊥ β 且 α / / β , 则l ⊥ α ?

D. 若α I

β = m 且 l / /m, 则l / /α ?

【答案:B】 ? ?
? 1 ?

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?

?

2 ?

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?

二、简单几何体(多面体与旋转体) ?
? 【2015 年理 6】 .若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π ,则其母线与轴的夹角的大 小为 【答案: ? 【2015 年理 4】 .若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 【答案: 4 】 ? ? .

π
3



3 ,则 a =



【2014 年理 16】 . 如图, 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱 , P 是上底面上其余的八个点 , 则 i (i = 1, 2, K , 8)

P2

P5 P4 P3 P6 P7

P8

P 1
B

u u u r u u u r AB ? APi (i = 1, 2, K , 8) 的不同值的个数为 (
(A) ?1 ? ? (B) ?2 ? ? ? (C) ?4 ? ? ? (D) ?8 ?

) .

A

【答案:A 】 ? 【2014 年理 5】 .若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍, 则其母线与底面角的大小为_____(结果 用反三角函数值表示) . 【答案: arccos 】 ? 【 2013 年 理 13 】 .在

1 3

xOy 平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧

两条直线 ( x ? 1)2 + y 2 = 1( x ≥ 1) 和 ( x ? 3)2 + y 2 = 1( x ≥ 3) 、 如图中阴影部分. 记 y = 1和 y = ?1围成的封闭图形记为 D, D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω , 过 (0, y )(| 的水平截面,所得截面面积为 4π
?

y |≤ 1) 作 Ω

1 ? y 2 + 8π ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个
3 ?

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长方体,得出 Ω 的体积值为__________ ? 【答案:根据提示,一个半径为 1,高为 2π 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8π 的长方 体,这两个几何体与 Ω 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故 它们的体积相等,即 Ω 的体积值为 π ?12 ? 2π ? 【 2012 年 理 8】 . 若 一 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 面 积 为 2π 的 半 圆 面 , 则 该 圆 锥 的 体 积 为 . 】 ? + 2 ? 8π = 2π 2 + 16π .

【答案: ?

3π 】 ? 3

【2012 年理 14】 .如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC = 2 ,若

AD = 2c ,且 AB + BD = AC + CD = 2a ,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的
最大值是 .

【答案: ?

2 c a 2 ? c 2 ? 1 】 ? 3

【2011 年理 7】.若圆锥的侧面积为 2π ,底面面积为 π ,则该圆锥的体积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? 【答案: ? 【2010 年理 12】 .如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,剪去ΔAOB,将剩余部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A(B)、C、 D、O 为顶点的四面体的体积是_______________.

3π 】 ? 6

?

4 ?

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D

C

O

A

B

【答案: ?

8 2 】 ? 3

【2009 年理 5】 .如图,若正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面连长为 2,高为 4,则异面直 线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________(结果用反三角函数表示). ?

? 【答案: arctan ? 【2009 年理 8】 .已知三个球的半径 R1 ,R2 ,R3 满足 R1

5 】 ?

+ 2 R2 = 3R3 ,则它们的表面积 S1 ,

S 2 , S 3 ,满足的等量关系是___________. ? ? ? ? ?
【答案: ? 【2005 年理 11】 、有两个相同的直三棱柱,高为 三边长分别为 3a,4a,5a (a

? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ?

?

S1 + 2 S2 = 3 S3 】 ?

2 ,底面三角形的 a

> 0) 。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,

在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范 围是______。 ?
5 ?

?

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【答案: 0 < a < ? ? ?

15 】 ? 3

?

6 ?

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?

三、立体几何大题 ?
? 【2015 年理 19】.(本题满分 12 分)如图,在长方体 ΑΒCD ? Α1Β1C1D1 中, ΑΑ1

= 1,

ΑΒ = ΑD = 2 , Ε 、 F 分别是 ΑΒ 、 ΒC 的中点.证明 Α1、 C1 、 F 、 Ε 四点共面,并求直
线 CD1 与平面 Α1C1FΕ 所成的角的大小.

? ? 【答案:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A1(2,0,1)、C1(0, 2,1)、E(2,1,0)、F(1,2,0) 、 C( 0、 2、 0) 、D(0,0,1). ?

?

因为

uuu r A1C1 = (?2,2,0) , EF = (?1,1, 0) , ?

所以 EF

u u u r

u u u u r , ? 因此直线 A1C 与 EF 共面, ? / / AC 1 1

即, A1 、 C1 、 F 、 E 四点共面. ? 设平面 A1C1EF 的法向量为 n = (u , v, w) , ? 则 n ⊥ EF , n ⊥ FC1 , ? 又 EF = (?1,1, 0) , FC1 = (?1, 0,1) , ?

r

r

uuu r

r

uuu u r

uuu r

uuu u r

?

7 ?

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故?

??u + v = 0, 解得u = v = w. ? ??u + w = 0,
r

取 u=1,则平面 A1C1EF ? 的一个法向量 n = (1,1,1) .又 CD1

u u u u r

= (0, ?2,1) , ?

uuu u r r CD1 ? n 15 r r =? ? 故 uuu 15 CD1 ? | n |

因此直线 CD1与平面 A1C1FE 所成的角的大小 ? ? 【2014 年理 19】 、(本题满分 12 分)

arcsin

15 15 . ? 】 ?

底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC , ? 其表面展开图是三角形 PP , ? 1 2P 3 如图.求 △PP 的各边长及此三棱锥的体积 V ? . ? 1 2P 3 ? 【答案:正三棱锥三个侧面是全等等腰三角形, ? 即 △P 1 AB ? △P 2 BC , ? ? △PCA 3
P 1
A

P3

C

B

P2

∴P 1 A = PB 1 = P 2B = P 2C 是正三角形, ? PP 1 2P 3

= PC = P3 A ,∴正三棱锥表面展开图三角形 3

o ∴ ∠P ,∴正三棱锥三个侧面是全等正三角形,边长为 2, ? 1 = ∠P 2 = ∠P 3 = 60

∴ △PP 三边长都为 4. ? ∴正三棱锥 P ? ABC 为正四面体, ? 1 2P 3 三棱锥高 h = ? ? ? 【2013 年理 19】.(本题满分 12 分)如图, ? 在长方体 ABCD-?‐A1B1C1D1 中, ? AB=2,AD=1,A1A=1, ? 证明直线 BC1 平行于平面 DA1C, ?
8 ?

2 6 1 2 2 ,体积 V = SV ABC h = . 】 3 3 3

D A D1 B

C C1 B1

?

A1

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并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. ? 【答案: ? ? 【2012 年理 19】 . 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ⊥ 底面ABCD ,

2 】 ? 3

E 是 PC 的中点.已知 AB = 2, AD = 2 2, PA = 2 ,求:
(1)三角形 PCD 的面积; (6 分) (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) 【答案: (1) 2 ? ? 【2011 年理 21】. ? (本大题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第二小题满分 8 分) ? ? ? ? ? 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 为 AC 与 B1 D1 的交点. ? 1 1 ( 1 )设 (2) 3;

π
4

】 ?

AB1 与底面 A1B1C1D1 所成角的大小为 α ,二面角
B

A

D C

A ? B1D1 ? A1 的大小为 β .求证: tan β = 2 tan α ; ?
( 2 ) 若 点 C 到 平 面 AB1D1 的 距 离 为

4 ,求正四棱柱 3
A1 B1 O1 D1 C1

ABCD ? A1B1C1D1 的高. ?
? ? 【答案: (1)角 α 的平面角为 ∠AB1 A1 ,角 β 的平面角为 ∠AAO , ? 1 1 ∴ tan α =

AA1 AA ,∴ tan β = 2 tan α ? , tan β = 1 ,又因为 A1B1 = 2 AO 1 A1B1 AO 1

4 CC1 h 2 2 (2) sin ∠CAO1 = 3 = ,又因为 sin ∠CAO1 = 。 ? = 2 AC1 3 2 h +2
所以 h = 4 】 ? ? ?
? 9 ?

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? 【2010 年理 21】 . (本题满分 14 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米 铁丝.骨架将圆柱底面 8 等分.再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底 面) . (1) 当圆柱底面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到 0.01 平 方米) ; (2) 在灯笼内,以矩形骨架的顶点为端点,安装一些霓虹灯.当灯笼底面半径为 0.3 米 时,求图中两根直线型霓虹灯 A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数 值表示) . B8 B1 B2 B7

B6 B5

B3

B4

A8 A1 A2

A7

A6 A5

A3

A4

【答案: (1)S 取得最大值约为 1.51 平方米

2 (2)A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小为 arccos 】 ? 3
? ? ? 【2009 年理 19】 (本题满分 14 分) ? 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1

= BC = AB = 2 , ?
A1

B1

C1

AB ⊥ BC ,求二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小。 ? ? ? ? ?
?
10 ?

B A

C

?

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? 【答案: 二面角B1 ? AC 的大小为 1 ? C1 ? ? 【2008 年理 16】 .(本题满分 12 分) ? 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BC1 的中点。求直线 DE 与平 面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). ? 【答案: arctan ? ? ? ? 【2007 年理 16】 、体积为 1 的直三棱柱 ABC ? 求直线 AB1 与平面 BCC1 B1所成角。 ? ? 【 答 案 : 直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan A ? D ? B ?

π
3

】 ?

5 】 ? 5

D1 ? A1 ? B1 ? E ?

C1 ?

C ?

A1 B1C1 中, ∠ACB = 90° , AC = BC = 1 ,

5 . ? 5

直线 ? ?

A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin

6 .】 ? 6

【2006 年理 19】 . (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分) ? 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交 P ? 于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . ? (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; ? (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 ? DE 与 PA 所成角的大小(结果用反 ?
? 11 ?
! !

E ? A ? B ? O ?

D ? C ?

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三角函数值表示) . ? 【答案:(1)四棱锥 P-?‐ABCD 的体积 V=

1 ×2 3 × 3 =2. ? 3

(2) ? 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos ? ? 【2005 年理 17】 . (本题满分 12 分) ? 已知直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1

2 】 ? 4

= 2 ,底面 ABCD 是

∠A 为直角,AB // CD ,AB = 4 ,AD = 2 , 直角梯形, DC = 1 ,
求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小. ? (结果用反三角函数值表示) ? ? 【答案:异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos ? ? 【2004 年理 21】 . (本题满分 16 分) ? 第 1 小题满分 4 分, ? 第 2 小题满分 6 分, ? 第 3 小题满分 6 分 ? 如图,P—ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、 E、 F 分别为棱长 PA、 PB、 PC 上的点, ? 截面 DEF∥ 底面 ABC, ? 且棱台 DEF—ABC 与棱锥 P—ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长 度之和) ? (1)证明:P—ABC 为正四面体; ? (2)若 PD=

3 17 .】 ? 17

1 PA, ? 求二面角 D—BC—A 的大小;(结果用反三角函数值表示) ? 2

(3)设棱台 DEF—ABC 的体积为 V, ? 是否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面体, ? 使得它与棱台 DEF—ABC 有相同的棱长和? ? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体, 并给出证明;若不存在,请说明理由. ?

?

12 ?

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? ? ? 【答案:(1) ?∵棱台 DEF—ABC 与棱锥 P—ABC 的棱长和相等, ? ? ? ? ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. ? ? ? 又∵截面 DEF∥底面 ABC, ? ? ? ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ?∴P—ABC 是正四面体. ? ? 【解】(2)取 BC 的中点 M,连拉 PM,DM.AM. ? ? ? ? ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ?∴BC⊥平面 PAM,BC⊥DM, ? ? ? ? 则∠DMA 为二面角 D—BC—A 的平面角. ? ? ? ? 由(1)知,P—ABC 的各棱长均为 1, ? ? ? ? ∴PM=AM=

3 AD 3 3 ,由 D 是 PA 的中点, ? ? 得 sin∠DMA= ,∴∠DMA=arcsin . ? = 2 AM 3 3

(3)存在满足条件的直平行六面体. ? ? 棱台 DEF—ABC 的棱长和为定值 6,体积为 V. ?

1 ,底面相邻两边夹角为 α, ? 2 1 ? ? 则该六面体棱长和为 6, ? 体积为 sinα=V. ? 8
? ? 设直平行六面体的棱长均为 ? ? ∵正四面体 P—ABC 的体积是 故构造棱长均为 】 ? ? ? ? ? ? ?
? 13 ?

2 2 ,∴0<V< ,0<8V<1.可知 α=arcsim(8V) ? 12 12

1 ,底面相邻两边夹角为 arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. ? 2

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