河南省南阳市2014届高三数学第二次联考(期末质量评估)试题 文

河南省南阳市 2014 届高三数学第二次联考(期末质量评估)试题 文(高清扫 描版)新人教 A 版

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3

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文科数学参考答案 一、选择题:CDBBAD BABCBD 14. 二、填空题:13. 3 ? 2 2 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得,
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

1 ln 2 2

15.2

16.2

从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)法一:由正弦定理得:

?
3

. . . . . . . . . . . . . . . . .5 分
6 sin ?4 3.

b c ? ? sin B sin C

?
3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C , . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C ) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 12 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? ? ? ?

?? ? . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ? 12sin ? B ? ? .. 6? ?

?
6 ? B?

?
6

?

5? . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 6

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6 3 ? ?
从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18] .. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 法二:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18] .. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 18(1)证明:取 AB 的中点 O ,连结 AO 1 , OC .
?
3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

? AC ? BC ?CO ? AB , ?四边形 A1OBB1 为平行四边形, ? BB1 / / A1O ? BB1 / /CC1 ? A1O / /CC1 又由 CC1 ? 面 ABC 知 CC1 ? CO ?四边形 A1OCC1 为矩形,
? A1C1 ? A1O, A1C1 ? AB
又? A1O ? AB ? C , ………………4 分 …………6 分 ............12 分

? C1 A1 ? 平面 ABB1 A1

(2)解:利用等体积法,由 VB ? AA1C1 ? VC1 ? ABA1 得 点 B 到平面 AA C 的距离为:
1 1

2 3 3

5

另解:由(1)得,平面 AA C ⊥平面 ABB A ,过点 B 作 BD 垂直于 AA1 ,交 AA1 于 D,则 BD 1 1 1 1 即为点 B 到平面 AA1C1 的距离。

20.解: (Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y2 3 16 1 因为 e ? , 所以 a 2 ? 4b2 , 又因为 M (4,1) , 所以 2 ? 2 ? 1 , ? 2 ? 1, 2 2 a b a b
x2 y 2 ? ?1 20 5 x2 y 2 ? ? 1 并 整 理 得 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 由 20 5

解得 b ? 5, a ? 20 ,故椭圆方程为
2 2

( Ⅱ ) 将

y ? x?m 代 入

? ? (8m)2 ? 20(4m2 ? 20) ? 0 ,解得 ?5 ? m ? 5 ?
(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 。 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

8m 4m2 ? 20 , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? ? 。 5 5
k1 ? k2 ? y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

6

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m 2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5

? k1 ? k2 ? 0 ?直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形 3 2 21、 (Ⅰ)解:当 a=1 时,f(x)= x 3 ? x 2 ? 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x ? 3x , f’(2)=6.所以曲线 y=f 2
(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

1 . a

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? 0, f (? ) ? 0, ? ? ? ? 8 ? 1 1? 2 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 >0, f(- )>0, ? ? ? 2 ? 8 ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? ? ? a ? 2a 2
解不等式组得

2 2 ? a ? 5或 a ? ? .因此 2<a<5. 2 2
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综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5.

选做题 22.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 解(1)取 BD 的中点 O,连接 OE. ∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.………………3 分 ∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. …………………5 分 (2)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,

OA 2 ? OE 2 ? AE 2 ,即 ( r ? 2 3 )2 ? r 2 ? 62 ,
解得 r ? 2 3 , ∴OA=2OE, ∴∠A=30°,∠AOE=60°. ∴∠CBE=∠OBE=30°. ∴EC= ………………………7 分

1 1 1 BE ? ? 3r ? ? 3 ? 2 3 ? 3 . 2 2 2

………………………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

?x ? ? 2 cos? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为 ?



? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?

?
3

3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

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