算法与随机事件的概率复习题

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算法
算法解题的一般思路,即算法分析(提炼问题的数学本质)——画出程序框图——按框 图编写成程序语言——运行调试,改进程序。 总的来说,就是发现规律结合所掌握算法,通过模仿,操作,探索,寻找解决问题的通法。

一、满足方程的一组正整数称为勾股数或商高数,设计计算某一范围内的勾股 数的算法.
例 1.设计一个程序,求出不等式 Inx ? x 4 ? 800 的所有正整数解,并显示出来。 分析:因为相应函数 y ? Inx? x4 在 ?0, ?? ? 上是增函数。所以若有正整数 x 满足不等式 ,则所有小于 x 的正整数也都是该不等式的解。 因此,我们可以设计一个算法,逐个检验 1、2、3、??是否为该不等式的解,一 直检验到第一个不满足该不等式的正整数 M 出现,则可以结束程序。因为根据函
Inx ? x 4 ? 800

数 y ? Inx ? x 4 的单调性,只要 InM ? M 4 ? 800 ,则 In (M ?n ) ? (M ?n ) 4 ? 800 ( n ? Z ? ) , 即大于或等于 M 的正整数都不是 Inx ? x 4 ? 800 的解。 ⑴具体算法步骤: 第一步:初始化 x=1 第二步:判断 x 是否为不等式 Inx ? x 4 ? 800 的解。是则输出,并执行第三步;否则结束程 序。 第三步:x=x+1,返回第二步。 ⑵程序框图:

开始

x=1

N

Inx ? x ? 800 ?
4

Y

输出 x 结束 x=x+1

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⑶程序: x=1 while EXP(x)+x^4<800 print x x=x+1 wend end

二、用算法求任意平面图形的面积
以前我们在平面几何所遇到的面积、周长问题,都是在规则图形中根据给定的面积、周 长公式求解。 实际上,当我们初步学习算法之后,我们可以结合无限分割的思想,自己编写程序来计 算任意平面图形(包括规则及不规则图形)的面积、周长。 例 2.设计算法求圆的面积。 ⑴具体算法步骤如下: 第一步:将半径为 r 的圆分成 n 全等的扇形。 第二步:当正整数 n 大到一定程度时,可以将扇形近似地 2? 看成一个等腰三角形。顶角 ? ? n ? 可得该三角形底边上的高 ? h ? r cos n ? 所以扇形对应弦长 a ? 2r ? sin n 第三步:扇形的面积近似地看作三角形的面积
1 ? ? ? ? ? S扇 形 ? S三 角 形 ? r cos ? 2r sin ? r 2 cos sin 2 n n n n

h
?

a

第四步:圆的面积为
S ? n ? r 2 cos

?
n

sin

?
n

⑵程序框图:

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开始

输入圆的半径

r 及 n 的值

输出 S ? n ? r 2 cos ? sin ?
n

n

结束

⑶程序: Input “请输入圆的半径长”; r Input “请输入分割份数 n”; n Print “该圆的面积为:”; n*r^2*cos(3.14/n)* sin(3.14/n) End

例 3.设计算法,求曲线 y ? lg x ? 分析:计算不规则图形的面积, 也可以利用无限分割的思 想来寻找算法。 首先将 x 轴上 0.5~5 这段 线段 n 等分,然后过每个 n 等分点作垂直与 x 轴的直

1 ,直线 x ? 0.5 、 x ? 5 和 x 轴围成的图形面积。 x2

y ? lg x ?

1 x2

线,则将所求图形分为 n 个 近似于梯形的图形。 那我们就可以把所求图形面积看成是这 n 个梯形的面积之和。

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⑴具体算法步骤如下: 第一步:输入正整数 n。s=0 第二步:从左到右逐个计算这些 小梯形的面积,并逐个加到 s。 第三步:输出 s。

⑵程序框图: 开始

输入 n

s=0,i=1,h=(5-0.5)/n,p=0.5

a=log(p)+1/p^2 Y i<=n? N

b=log(p+h)+1/(p+h)^2

s=s+(a+b)/2*h

a=b,i=i+1,p=p+h

输出 s

结束

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⑶程序:

Input “请输入一个正整数 n”;n s=0 i=1 h=(5-0.5)/n p=0.5 a=log(p)+1/p^2 while i<=n b=log(p+h)+1/(p+h)^2 s=s+(a+b)/2*h a=b i=i+1 p=p+h wend print “所求面积为”; s END

三、算法在实际生活中的应用
例 4.一辆邮车依次前往城市A1,A2,A3,?Am( m ? N , m ? 2 ) ,每到一个城市先卸 下前面各城市发往该城市的邮袋 1 个,然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各 1 个, 设 a n是邮车从第n个(1≤n<m,n∈N )城市出发时邮车上邮袋的个数,设计一个算法, 对任给两个正数m>n,求 a n. 分析:到达第 n 个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的 n-1 个邮袋,再加上发往后面各城市的(m-n)个邮袋,可用循环计算 I 从 1 至n时, a n的 变化。
*

?

⑴程序框图:

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开始

输入 m,n

Y

m<n?

N

s=m,i=1

显示“输入错误” !

N

i<=n? Y s=s-(i-1)+(m-i)

输出 s i=i+1

结束

⑵程序: Input m,n If m<n then Print “错误! m必须大于或等于n” Else s=m i=1 While i<=n s=s-(i-1)+(m-i) i=i+1 wend End If Print s End

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随机事件的概率
例 1、下面请同学们两人一组做一试验:每组抛掷硬币 20 次,并统计正、反面 次数.统计每组正面向上次数如下:12,9,11,13,8,10,11,12,9,13,7,12, 10,13,11,11,8,10,14,9,7,12,6,8,7.那么,在抛掷硬币试验中,出现 正面的次数占总次数的百分比为多少呢?或者说,出现正面的频率为多少? 总试验次数为 500 次,出现正面的次数为 253 次,出现正面的频率为 0.506. 请同学们来看这样 一组 数据:历史上曾有 人作 过抛掷硬币的大量 重复 试验,这 便是试验结果.大家从这组数据中,是否可获得什么结论呢?

抛掷硬币试验结果表 抛掷次数(n) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 出现正面的频率值都接近于 0.5. 再请同学们看这样两组数据, 某批乒乓球产品质量检验表 抽取球数 n 优等品数 m 优等品频率 50 45 0.9 100 92 0.92 200 194 0.97 500 470 0.94 1000 954 0.954 2000 1902 0.951 正面向上次数(频数 m) 1061 2048 6019 12012 14984 36124 频率(

m ) n

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

m n

某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表 每批粒数 n 发芽粒数 m 发芽频率 2 2 1 5 4 0.8 10 9 0.9 70 60 0.857 130 116 0.892 310 282 0.910 700 639 0.913 1500 1339 0.893 2000 1806 0.903 3000 2715 0.905

m n

从表 2 可看到, 当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率接近于 0.95. 从表 3 可看到, 当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽的频率接近于 0.9. 随机事件在一试验中是否发生虽然不能事先确定, 但随着试验次数的不断增加, 它的发生会呈现出一 定 的规律性,正如我们 刚 才看到的:某事件发 生 的频率在大量
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重复的试验中总是接近于某个常数. 一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常 n

数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A ). 如上:记事件 A 为抛掷硬币时“正面向上” . 则 P ( A ) = 0.5,即:抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率是 0.5. 例 2、若记事件 A 为抽取乒乓球试验中出现优等品,则 P ( A ) = 0.95,即:任取一 乒乓球得到优等品的概率是 0.95.若记事件 A:油菜籽发芽,则 P ( A ) = 0.9, 即 任取一油菜籽,发芽的概率为 0.9. 概率这一常数从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小. 如上:抛掷一枚硬币出现“正面向上”的可能性是 50%;任取一乒乓球得到优 等品的可能性是 95%;任取一油菜籽,发芽的可能性是 90%. 上述有关概率的定 义, 也就是求一个事件 的概 率的基本方法:进 行大 量的重复 试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 即:若记随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,则有 0≤m≤n,0≤ 于是可得:0 ≤ P ( A ) ≤1. 显然: (1)必然事件的概率是 1, (2)不可能事件的概率是 0. 例 3、抛掷一个骰子,它落地时向上的数是 3 的倍数的概率是多少? [分析]由于骰子落地时向上数可能有 1,2,3,4,5,6 六种情形,其中向上 的数为 3,6,这 2 种情形之一出现时, “向上的数是 3 的倍数” ,这一事件(记作事 件 A)发生,因此事件 A 的发生包含的结果有 2 个. 解:记事件 A 为“向上的数是 3 的倍数”. 则事件 A 包含两个基本事件,即“向上的数是 3”和“向上的数为 6”. 且由题意得每一基本事件的概率均为 因此,事件 A 的概率为:P ( A ) =

m ≤1. n

1 . 6

2 1 ? . 6 3
m . n

评述:如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P ( A ) =

也可理解为:在一次试验中,等可能出现的 n 个结果组成一个集合 I,这 n 个结 果就是集合 I 的 n 个元素,各基本事件均对应于集合 I 的含有 1 个元素的子集,包 含 m 个结果的事件 A 对应于 I 的含有 m 个元素的子集 A. 因此从集合的角度看,事件 A 的概率是子集 A 的元素个数(记作 card(A))与集 合 I 的元素个数(记作 card(I) )的比值,即:P ( A ) =

card ( A) m ? . card ( I ) n

如,上述骰子落地时向上的数是 3 的倍数,这一事件 A 的概率

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P(A)=

card ( A) 2 1 ? ? . card ( I ) 6 3

例 4、.先后抛掷 2 枚均匀的硬币. (1)一共可能出现多少种不同的结果? (2)出现“1 枚正面,1 枚反面”的结果有多少种? (3)出现“1 枚正面,1 枚反面”的概率是多少? (4)有人说, “一共可能出现‘ 2 枚正面’ 枚反面’ ‘2 ‘一枚正面,1 枚反面’这 3 种结果,因此出现‘ 1 枚正面,1 枚反面’的概率是

1 .”这种说法对不对? 3

[分析] 由于是先后抛掷 2 枚均匀的硬币,所以在考查试验结果时,要分第一枚与第 二枚不同的结果,然后再加以组合. 解: (1)由题意可知,可能出现的结果有: “第 1 枚正面,第 2 枚正面” ; “第 1 枚正面,第 2 枚反面” ; “第 1 枚反面,第 2 枚正面” ; “第 1 枚反面,第 2 枚正面”. 即:一共可能出现“2 枚正面” “2 枚反面” “第 1 枚正面,第 2 枚反面” “第 1 枚反面,第 2 枚正面”四种不同的结果 . (2)由(1)得出现“1 枚正面,1 枚反面”的结果有“第 1 枚正面,第 2 枚反 面”与“第 1 枚反面,第 2 枚反面”2 种. (3)由于此试验一共可能出现 4 种结果.而且每种结果出现的可能性是相等的, 而出现“1 枚正面,1 枚反面”包含两种结果,所以其发生的概率为

2 1 ,即 . 4 2

(4)这种说法不对,这是因为“ 1 枚正面,1 枚反面”这一事件由 2 个试验结 果组成,这一事件发生的概率是

1 1 而不是 . 2 3

评述:要仔细分析试验的条件以及结果的出现类型. 例 5、一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球,从 中摸出 2 个球. (1)共有多少种不同的结果? (2)摸出 2 个黑球有多少种不同的结果? (3)摸出 2 个黑球的概率是多少? [分析]由题意可知袋中装有 4 个不同的球,从中任取 2 球的结果数即为从 4 个 不同的元素中任取 2 元素的组合数;摸出 2 个黑球的结果数即为从 3 个不同的元素 中任取 2 元素的组合数,且每种结果出现的可能性是相等的,即为等可能性事件 . 解: (1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球,共有:C 2 =6 种不同的结果,即 4

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由所有结果组成的集合 I 含有 6 个元素. ∴共有 6 种不同的结果.
2 (2)从 3 个黑球中摸出 2 个球,共有 C 3 =3 种不同的结果,这些结果组成 I 的

一个含有 3 个元素的子集 A,如图:

∴从口袋内摸出 2 个黑球有 3 种不同的结果. (3)由于口袋内 4 个球的大小相等,从中摸出 2 个球的 6 种结果是等可能的, 又在这 6 种结果中,摸出 2 个黑球的结果有 3 种,因此从中摸出 2 个黑球的概率 P(A)=

3 1 ? . 6 2

∴ 从口袋内摸出 2 个黑球的概率是

1 . 2

评述:仔细分析事件,灵活应用排列和组合知识解决问题. 例 6、 将骰子先后抛掷 2 次,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的数之和是 5 的概率是多少? (学生讨论) 讨论 1:将骰子抛掷 1 次,它落地时向上的数有 1,2,3,4,5,6 这 6 种结果, 且每种结果出现的可能性是相等的. 讨论 2:每次试验需分两步完成,且每步均会出现以上 6 种结果,每一次试验 的结果为以上 6 种结果的任意组合,且每一组结果出现的可能性是相等的 . 讨论 3:向上的数和为 5 的结果,即出现 1 和 4,2 和 3 的组合的结果. 解: (1)将骰子抛掷 1 次,它落地时向上数有 1,2,3,4,5,6 这 6 种结果, 根据分步计数原理,先后将这种玩具抛掷 2 次,一共有 6×6=36 种不同的结果. (2)在上面所有结果中,向上的数之和为 5 的结果有(1,4)(2,3)(3,2) , , , (4,1)4 种,其中括弧内的前、后 2 个数分别为第 1、2 次抛掷后向上的数. ∴在 2 次抛掷中,向上的数之和为 5 的结果有 4 种. 以上结果可表示为 : (其 中不在线段上的各 数为 相应的 2 次抛掷后向 上 的数之 和.)

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(3)由于骰子是均匀的,将它抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能出现的. 其中向上的数之和是 5 的结果(记为事件 A)有 4 种,因此,P(A)= ∴抛掷骰子 2 次,向上的数之和为 5 的概率是

4 1 ? . 36 9

1 . 9

评述:注意分析事 件的 结果是否为有限的 ,且 出现的可能性是否 相等 ,即判断 事件是否为等可能性事件,还要注意灵活应用排列和组合以及两原理的应用. 思考:在这个问题中,出现向上的数之和为 5 的倍数的概率是多少? [分析]出现向上的数之和为 5 的倍数,即和为 5 或 10. 其中和为 5 的结果有 4 种. 和为 10 的结果有(4,6) (6,4) (5,5)3 种. , , 总之,出现向上的数之和为 5 的倍数的结果有 7 种. 因此,在这个问题中,出现向上的数之和为 5 的倍数的概率是

7 . 36

例 7、. 随意安排甲、乙、丙 3 人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天. (1)这 3 人的值班顺序共有多少种不同的排列方法? (2)其中甲在乙之前的排法有多少种? (3)甲排在乙之前的概率是多少? [分析]据题意可知, 人在 3 天节日中值班顺序数即为 3 个不同元素在 3 个不同 3 位置上的排列数;其 中 甲在乙之前意味着甲 、 乙相邻且甲在乙之前 , 或甲、乙不相 邻而甲在乙之前的排法. 解: (1)随意安排甲、乙、 丙 3 人在 3 天节日中值班,每人值 1 天,则这 3 人 的值班顺序共有 6 种不同的排列方法,即组成的集合 I 有 6 个元素. ∴这 3 人的值班顺序共有 6 种不同的排列方法. (2)甲在乙之前的排法有: 甲乙丙,甲丙乙,丙甲乙 3 中不同的结果,这些结果组成 I 的一个含有 3 个元 素的子集 A. 如图所示:

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(3)由于是随意安排,即每人在每天值班的可能性是相等的,所以 6 种不同的 值班顺序也是等可能的.又在这 6 种结果中,甲在乙之前的结果有 3 种,因此甲排在 乙之前的概率为 P(A)=

3 1 ? . 6 2 1 . 2

∴甲排在乙之前的概率为

例 8. 在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm, 从中任取一根,取到长度超 过 30 mm 的纤维的概率是多少? [分析]从 40 根纤维中, 任取 1 根的结果数为 40.由于其中 12 根长度超过 30 mm, 则抽到长度超过 30 mm 的结果数为 12. 解:从 40 根纤维中任取 1 根,共有 40 种不同的结果,且每种结果是等可能的 . 由于其中 12 根长度超过 30 mm, 则抽到长度超过 30 mm 的纤维,共有 12 种不同的 结果. ∴取到长度超过 30 mm 的纤维的概率为

12 3 ? . 40 10

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