2018年人教版高三理科数学高考复习_(34)(专题拔高特训-通用版)PPT课件_图文

? 第五节 含绝对值的不等式 最新考纲 理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 1.以选择题的形式考查绝对值不等式, 同时与不等式的性质相结合. 高考热点 2.以解答题的形式考查含绝对值不等 式的证明,其中|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 起到放缩的作用. 1.绝对值不等式的性质:(a∈R) (1)|a|≥0(当且仅当 a=0 时取“=”) (2)|a|≥± a; (3)-|a|≤a≤|a|; (4)|a2|=|a|2=a2; a |a| (5)|ab|=|a||b|,| |= . b |b| ? 2.两数和差的绝对值的性质 ? |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ? 特别注意此式,它是和差的绝对值和绝对值的和 差性质.应用此式求某些函数的最值时一定要注 意等号成立的条件. ? |a+b|=|a|+|b|? ; ab≥0 ? |a-b|=|a|+|b|? ; ab≤0 ? |a|-|b|=|a+b|? ; (a+b)b≤0 ? |a|-|b|=|a-b|? . (a-b)b≥0 ? 3.解含绝对值不等式的思路:化去绝对值符号, 转化为不含绝对值的不等式.解法如下: ? (1)|f(x)|<a(a>0)? -a<f(x)<a ; ? (2)|f(x)|>a(a>0)? ; f(x)<-a或f(x)>a ? (3)|f(x)|<g(x)? ; -g(x)<f(x)<g(x) ? (4)|f(x)|>g(x)? ; f(x)<-g(x)或f(x)>g(x) ? (5)|f(x)|>|g(x)|? ; [f(x)]2<[g(x)]2 ? (6)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点 分段法求解,对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x- a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利用实数 绝对值的几何意义求解较简便. ? 分段讨 ? 1.解含多个绝对值的不等式时,若用 论法去绝对值,要注意:(1)区间端点处 的值不 能遗漏;(2)在两个区间上解出结 果应与本区间 求交集;(3)各区间上的解集 并起来,才得原不 等式的解集. ? 2.要重视绝对值的几何意义、数形结合,快速解 出形如|x-a|+|x-b|<c等这类绝对值不等式的 解集. ? 3.注意存在性问题与恒成立问题的区别,不等式 有解,不一定恒成立,但不等式恒成立,一定有 解. ? 4.在应用不等式的性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+ |b|解决问题时要注意等号成立的条件. 题型一 思维提示 绝对值不等式的解法 设法去掉绝对值符号 ? 例1 解关于x的不等式|x2-3x-4|>x+2. ? [分析] 本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法, 也可以利用公式法. [解] 解法一:原不等式等价于 x+2<0① ? ?x+2≥0 或? 2 2 ? x - 3 x - 4 > x + 2 或 x -3x-4<-(x+2) ? ② ①?x<-2. ? ?x≥-2 ②?? ? ?x>2+ 10或x<2- 10或1- 3<x<1+ 3 ?-2≤x<2- 10或 x>2+ 10或 1- 3<x<1+ 3. 综上,x∈(-∞,2- 10)∪(1- 3,1+ 3) ∪(2+ 10,+∞). 解法二:原不等式等价于 x2-3x-4>x+2 或 x2-3x-4<-(x+2) ?x2-4x-6>0 或 x2-2x-2<0 ?x∈(-∞,2- 10)∪(2+ 10,+∞) ∪(1- 3,1+ 3). ? [规律总结] 由于|f(x)|>a中,a为大于零的常数, 而本题中x+2正负不确定,故讨论其正负,即得解 法一;解法二是不管x+2的正负,直接利用公式 |f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a求解,结果是一样 的.从理论上讲,解法一更合理些. ? 备选例题 1 解不等式|x2-4|+|x+3|>5. ? ?-3≤x<-2 或? 2 ? ?x -4+(x+3)>5 ? ?x≥2 或? 2 ? ?x -4+x+3>5 ? ?-2≤x<2 或? 2 ? ?-(x -4)+x+3>5 ?x<-3 或-1<x<2 或 x>2 ∴原不等式的解集为(-∞,-3)∪(-1,2)∪(2,+∞). 题型二 思维提示 绝对值不等式性质的应用 ①不等式的基本性质; ②绝对值不等式的性质. 例 2 (1)若 x<5,n∈N*,则下列不等式: n n n n ①|xlg |<5|lg |;②|x|lg <5lg ; n+1 n+1 n+1 n+1 n n n n ③xlg <5|lg |;④|x|lg <5|lg |. n+1 n+1 n+1 n+1 能够成立的有________个. |a+b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________. |a|-|b| ? [分析] (1)利用对数函数的性质和不等式的性质进 行判断,用排除法解较简便. ? (2)可从绝对值不等式的性质|a+b|≥|a|-|b|出发, 去寻找原不等式成立的充要条件. n [解析] (1)∵0< <1, n+1 n ∴lg <0. n+1 由 x<5,并不能确定|x|与 5 的关系, ∴可以否定①,②,③. n 而|x|lg ≤0,④成立. n+1 (2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0, ∴|a+b|≥||a|-|b||= |a|-|b|, |a+b| ∴必有 ≥1. |a|-|b| |a+b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件, |a|-|b| |a+b| 当 ≥1 时,由|a+b|>0,必有|a|-|b|>0, |a|-|b| 即|a|>|b|, |a+b| 故|a|>|b|是 ≥1 成立的必要条件, |a|-|b| 故所求为|a|>|b|. [答案] (1)1 (2)|a|>|b| ? [规律总结] (1)放缩法是不等式证明的常用方 法.放缩的思路主要有两种:

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