江苏省徐州市睢宁县宁海中学2015届高三最后一卷数学试题

睢宁县宁海中学 2015 届高三数学最后一卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置. 上..
1.已知集合 A ? {?1,1, 2, 4} , B ? {?1, 0, 2},则 A B ? ▲ .
2.已知复数 z 满足 z(1? i) ? 1(其中 i 为虚数单位),则 z ? ▲ .

3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、

丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96

人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,

25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为





4.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任意取两个球,

开始 a ? 5,S ?1

则这两个球颜色不相同的概率为 ▲ .

5.如右图所示的流程图的运行结果是





a?4 N Y
S ?S?a
a ? a ?1
第5题

输出S 结束

6.函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?)(? ?0, 且 | ? |? ? ) 的部分图像如图所示,则 2
f (0) 的值为 ▲ .

7.已知 sin? ? 1 ? cos? ,且? ?0,( ) ?

2

2

,则 ocs2 ? n(is ?)? ?

的值为





4

8.在等差数列?an? 和等比数列?bn? 中,已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2,b1 ? 1,b2 ? 2 ,那么满足 an ? bn 的 n

的所有取值构成的集合是



.

9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四

E

边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD= ? .若 BF=BD

3

D

=2,则多面体的体积 ▲



A
10.已知△ABC 三顶点的坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)

C F
B

是坐标平面内一点,且满足→ AP ·→ OA≤0, BP ? OB ≥0,则 OP ? AB 的最小值是 ▲

11.若关于 x 的方程 lg(x2+ax)=1 在 x∈[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ▲



12.若 实数 x、y 满足 x2+2xy+y2+x2y2=1,则 x﹣y 的最大值为 ▲



13.在平面直角坐标系中,设直线 l:kx-y+ 2 =0 与圆 C:x2+y2=4 相

交于 A、B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k= ▲

14.已知点 P 在曲线 y=ex 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则 PQ 的最小值是


第 13 题

1.{?1, 2}; 2. z ? 1 ? 1 i ; 3. 808 22

4. 2 3

5.20 6. ? 3 ;7 . ? 14 ; 2

8.?3,5? ;【解析】 由已知得,an ? 6n ?14,bn ? 2n?1 ,令 an ? bn ,可得 6n ?14 ? 2n?1 ,解得 n ? 3

或 5,所以满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是?3,5? .

9. 8 3; 【解析】如图,连接 AC,AC∩BD=O.因为四边形 ABCD 是菱 3
形,所以,AC⊥BD,又因为 ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以,

E
D O

ED⊥AC.因为,ED,BD?平面 BDEF,且 ED∩BD=D,所以,AC⊥平面 A

C F
B

BDEF,所以,AO 为四棱锥 A-BDEF 的高.又因为,四边形 ABCD 是菱形,∠BAD= ? ,所以, 3

△ABD 为等边三角形.又因为,BF=BD=2,所以,AD=2,AO= 3 ,S 四边形 BDEF=4,所以,V

四棱锥 A-BDEF= 4 3 ,即多面体的体积为 8 3 .

3

3

10. 3 ,由已知得→ AP ·→ OA=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,且 BP ? OB =(x,y-2)·(0,2)=2(y

-2)≥0,即 x≤1,且 y≥2,所以 OP ? AB =(1,0)·(1,0)=-x+2y≥-1+4=3

11. ﹣3≤a≤9 ;由题意,x2+ax﹣10=0 在 x∈[1,5]上有解,所以 a= ﹣x 在 x∈[1,5]上有解,

因为 a= ﹣x 在 x∈[1,5]上单调递减,所以﹣3≤a≤9,
12.2;由 x2+2xy+y2+x2y2=1,变形为(x+y)2+(xy)2=1. 可设 x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π).∴(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=cos2θ﹣4sinθ=1﹣sin2θ﹣4sinθ= ﹣(sinθ+2)2+5≤4,∴x﹣y≤2,
13. ±1 ,OM ? OA ? OB ,则四边形 OAMB 是锐角为 600 的菱形,此时,点 O 到 AB 距离为
1.由 2 =1, 解出 k=±1 1? k2
14. 2 ; 因曲线 y=ex 与 y=lnx 关于直线 y=x 对称.所求 PQ 的最小值为曲线 y=ex 上的点到

直 线 y=x 最 小 距 离 的 两 倍 , 设 P(x, ex) 为 y=ex 上 任 意 点 , 则 P 到 直 线 y=x 的 距 离

d(x) ? | ex ? x | ? ex ? x ,

2

2



d / (x)

?

ex

?1 2

?

0

?

x

?

0, d / (x)

?

0

?

x

?

0

,





,

d (x)min

?

d (0)

?

2 2

,即

PQ min= 2 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,且 a2 ? c2 ? b2 ? ac .

(1)若 cosA=13,求 sinC 的值;

(2)若 b= 7,a=3c,求三角形 ABC 的面积

15.解:(1)由余弦定理,cosB ?

a2

? c2 ? b2 2ac

?

ac 2ac

? 12.又

B

为三角形内角,则

B=π3.

因为 cosA=13,且 A 为三角形内角,则 sinA=2 3 2,

故 sinC=sin(B+A)=sin(π3+A)=

23cosA+12sinA=

3+2 6

2.

(2)由 a=3c,由余弦定理知:b2= a2+c2-2accosB,则 7=9c2+c2-3c2,解得 c=1,则 a

=3.面积 S=21acsinB=3 4 3.

16.(本小题满分 14 分)

如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,点 M , N 分别

为 A1B 和 B1C1 的中点. (1)求证:平面 A1BC ? 平面 MAC ; (2)求证: MN // 平面 A1ACC1 .

A1

C1

B1

N

M

A C
B
16.(1)证明:在 Rt ?BAC 中, BC ? AB2 ? AC2 在 Rt ?A1AC 中, A1C ? A1A2 ? AC2 .? BC ? A1C ,即 ?A1CB 为等腰三角形.

又点 M 为 A1B 的中点,? A1M ? MC . 又 四边形 AA1BB1 为正方形, M 为 A1B 的中点,? A1M ? MA AC ? MA ? A , AC ? 平面 MAC , MA ? 平面 MAC ? A1M ? 平面 MAC (2)证明:连接 AB1, AC1,
由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点,? MN / / AC1 . 又 MN ? 平面 A1 ACC1 , AC1 ? 平面 A1 ACC1 , ?MN / / 平面 A1 ACC1 .
17.(本小题满分 14 分) 为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线

弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为 4m,渠深为 2m.

(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填

土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水 渠底面与地面平行(不改变渠宽),问新水渠底 宽为多少时,所填土的土方量最少?

4 2

(2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠

(第 17 题图)

的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断

面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量

最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.

17.解 建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为 x2 ? 2 py ? p ? 0? ,由已知点 P?2,2? 在

抛物线上,得 p ?1,所以抛物线的方程为 y ? 1 x2 . 2
(1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,

如图 1,设点 A??? t,

1 2

t

2

? ??

?0

?

t

?

2?

,则此时梯形

APQB

的面积

Q

S

?t

?

?

1 2

? 2t

?

4?

?

? ??

2

?

1 2

t2

? ??

?

?

1 2

t3

?

t2

?

2t

?

4



∴ S '?t ? ? ? 3 t2 ? 2t ? 2 ,令 S '?t ? ? ? 3 t2 ? 2t ? 2=0 ,得

2

2

t?2, 3



t

?

? ??

0,

2 3

? ??

时,S

'?t

?

?

0

,S

?t

?

单调递增,当

t

?

? ??

2 3

,

2

? ??

时, S '?t ? ? 0 , S ?t ? 单调递减,

所以当 t ? 2 时,S ?t ? 有最大值 128 ,改挖后的水渠的底宽

3

27

y

B

A

O

(图 1) y C

P x
P B

M

OA

x

(图 2)

为 4 m 时,可使填土的土方量最少. 3 (2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图 2,设切点

M

? ??

t,

1 2

t2

? ??

?

t?

0? ,

则函数在点 M 处的切线方程为 y ? 1 t2 ? t ? x ? t ? ,
2

分别令

y

? 0, y

? 2 得 A???

t, 2

0

? ??

,

B

? ??

t 2

?

2, t

2

? ??



所以此时梯形

OABC

的面积

S ?t ?

?

1 2

? ??

t

?

2 t

? ??

?

2

?

t

?

2≥2 t

2 ,当且仅当 t ?

2 时,等号

成立,此时 OA ? 2 .所以设计改挖后的水渠的底宽为 2 m 时,可使挖土的土方量最少. 2

18.(本小题满分 16 分)

如图,在平面直角坐标系

xOy

中,椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? b ? 0 )上的点

A,C

关于

y



对称,点 A,B 关于原点对称.

(1)若椭圆的离心率为 2 ,且 A( 6 , 1 ),求椭圆的

2

22

标准方程;

y

C

A

(2)设 D 为直线 BC 与 x 轴的交点,E 为椭圆上一点,且 A,

DO

x

D,E 三点共线,若直线 AB,BE 的斜率分别为 k1 , k2 ,

E

试问, k1 ? k2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,

B

请加以说明.

18.解:(1)因为椭圆的离心率 e ? c ? 2 ,所以 a2 ? 2c2 ? 2b2 .又椭圆经过点 A( 6 ,

a2

2

1 2

( ),所以

6 )2 2 a2

?

(1)2 2 b2

?1.联立方程,解得 a2

? 2 , b2

? 1,所以椭圆的标

准方程为 x2 ? y2 ? 1. 2

(2)不妨设点 A( x1 ,y1 ),x1 ? 0 ,y1 ? 0 ,由椭圆的对称性可知点 C,B 的坐标分别为( ?x1 ,

y1 ),( ?x1 , ? y1 ),D( ?x1 ,0).设点 E 的坐标为( x2 , y2 ),

因为点

A,E

都在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?

1 上,所以有

x12 a2

?

y12 b2

?

1和

x22 a2

?

y22 b2

?1,

即有 x22 ? x12 a2

?

y22 ? y12 b2

? 0 ,即

y2 ? y1 x2 ? x1

?

?

b2 a2

( (

x2 y2

? ?

x1) y1)



又直线 AB 的斜率 k1

?

y1 x1

,直线 BE 的斜率 k2

?

y2 ? y1 x2 ? x1



由题意得 k1 ? k2

?

y1( y2 ? y1) x1(x2 ? x1)

?

y1 x1

(?

b2 (x2 a2 ( y2

? ?

x1) ) y1)



因为

A,D,E 三点共线,所以 kAE

?

y2 x2

? y1 ? x1

与 kAD

?

y1 ? 0 x1 ? (?x1)

?

y1 2 x1

相等,



y2 x2

? y1 ? x1

?

y1 2 x1

,所以 k1 ? k2

?

y1 x1

(?

b2 a2

( (

x2 y2

? ?

x1) y1)

)

?

?

2b2 a2

为定值.故 k1 ? k2

为定值

? 2b2 . a2

19.(本小题满分 16 分) (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. 若数列 {an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3 ,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由?
解:(1)设{an}的公比为 q ,则 b1 =1+a , b2 ? 2 ? aq, b3 ? 3 ? aq 2
由 b1 , b2 , b3 成等比数列的 (2 ? aq) 2 = (1 ? a)(3 ? aq 2 ) ,
即 aq2 ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0 (*)

由 a>0,得△= 4a 2 ? 4a ? 0 ,故方程(*)有两个不同的实根.

再由{an}唯一,知方程必有一根为

0,将

q

=0

代入方程得

a=

1 3

.

(2)假设存在两个等比数列{an}、{bn},使得 b1 ? a1 , b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0

的等差数列,设{an}公比为 q1 ,{bn}公比为 q 2 .

则 b2 ? a2 ? b1q2 ? a1q1 ,

b3 ? a3 ? b1q22 ? a1q12 ,

b4 ? a4 ? b1q2 2 ? a1q13

由 b1 ? a1 , b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4

???2(b12q(b2 21

q2 ?

? a1q1 a1q12 )

) ? b1 ? a1 ? (b1q12 ? ? b1q2 ? a1q1 ? (b1q2

a1q12 )

3

?

a1

q

3 1

)



? ? ?b1

b1 (q2 q2 (q2

? 1)2 ? 1)2

? a1 (q1 ? ? a1q1 (q1

1) 2 ? 1)

?
2

0(*) ? 0(**)

成等差数列得

(*)× q2 -(**)得 a1 (q1 ? q2 )(q1 ? 1) 2 ? 0

由 a1 ? 0 得 q1 ? q2 或 q1 ? 1

当 q1 ? q2 时,由(*)(**)得 b1 ? a1 或 q1 ? q2 ? 1这时( b2 ? a2 )-( b1 ? a1 )=0,与公差不为
0 矛盾.
当 q1 ? 1时,由(*)(**)得 b1 ? 0 或 q2 ? 1 这时( b2 ? a2 )-( b1 ? a1 )=0 与公差不为 0 矛盾.

综上所述,不存在两个等比数列{an}{bn},使得 b1 ? a1 , b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成等差数
列?

20.(本小题满分 16 分)
定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对于任意 x? D,存在常数 M>0,都有| f(x)|≤M
成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界。已知函数 f(x)=1+x+ax2 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数 f(x)在(-∞,0)上 是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数 f(x)在 x? [1,4]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围。 解:(1)a=-1 时, f (x) ? 1? x ? x2 ? ?(x ? 1)2 ? 5 ,
24 ∴ f (x)在x ?(??, 0)上单调递增, ∴ f (x) ? ?(0 ? 1)2 ? 5 ? 1
24 故函数 f (x)在(-?,0)上的值域为(-?,1)

又∵ f (x) ?1,? f (x) ??0, ???
∴不存在常数 M0>0,使|f(x)|≤M 都成立。
故函数f (x)在(-?,0)上不是有界函数

(2) 若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数,

则 f (x) ? 3,在[1,4]上恒成立.

即-3 ? f (x) ? 3,??3 ? 1? x ? ax2 ? 3,

?4 ? x2

x

?

a

?

2?x x2

即 ?4 x2

?

1 x

?

a

?

2 x2

?

1 x

在x ?[1,4]上恒成立.

?(

?4 x

?

1 x

)max

?

a

?

(

2 x2

?

1 x

)min

令 1 ? t,则t ?[1 ,1]

x

4

? (?4t 2

? t)max

?

a

?

(2t 2

? t)min , t

?[1 4

,1]

令 g(t) ? ?4t2 ? t,则g(x) ? ?4(t ? 1)2 ? 1 ?[?5, ? 1].

8 16

2

令 h(t) ? 2t2 ? t,则h(t) ? 2(t ? 1)2 ? 1 ?[? 1 ,1] 48 8

?实数a的取值范围为[- 1 ,- 1 ] 28


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