江苏省徐州市睢宁县宁海中学2015届高三最后一卷数学试题

睢宁县宁海中学 2015 届高三数学最后一卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.已知集合 A ? {?1,1, 2, 4} , B ? {?1,0, 2} ,则 A ? B ? 2.已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? ▲ ▲ . .

3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、 丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21, 25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ▲ .
开始
a ? 5, S ? 1

4.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任意取两个球, 则这两个球颜色不相同的概率为 ▲ . ▲ .

a?4 S ? S ?a a ? a ?1
第5题

N
输出S

5.如右图所示的流程图的运行结果是

Y

结束

6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0, 且 | ? |?
f (0) 的值为

?
2

) 的部分图像如图所示,则



. ▲ .

7. 已知 sin ? ?

1 ? o c s 2 ? 且 ? ?0 , 则 的值为 ? cos? , ,( ) ? 2 2 n ( i s ?)? 4

8. 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, 已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2, b1 ? 1, b2 ? 2 , 那么满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 ▲ .
E

9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四

? 边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD= .若 BF=BD 3

D F

C

=2,则多面体的体积




A

B

10.已知△ABC 三顶点的坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y) 是坐标平面内一点,且满足 AP · OA ≤0, BP ? OB ≥0,则 OP ? AB 的最小值是 ▲ 11.若关于 x 的方程 lg(x2+ax)=1 在 x∈[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ▲ .
→ →

12. 若 实数 x、 y 满足 x2+2xy+y2+x2y2=1, 则 x﹣y 的最大值为 ▲



13.在平面直角坐标系中,设直线 l:kx-y+ 2 =0 与圆 C:x2+y2=4 相 交于 A、B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k= ▲

14.已知点 P 在曲线 y=ex 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则 PQ 的最小值是 ▲

第 13 题

1. {?1, 2} ; 2. z ?

1 1 ? i ; 3. 808 2 2

4.

2 3

5.20 6. ? 3 ;7 . ?

14 ; 2

8.?3,5? ; 【解析】 由已知得,an ? 6n ? 14, bn ? 2n?1 , 令 an ? bn , 可得 6n ? 14 ? 2n ?1 , 解得 n ? 3 或 5,所以满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 ?3,5? . 9.

8 3; 【解析】如图,连接 AC,AC∩BD=O.因为四边形 ABCD 是菱 3

E

D

C O F

形,所以,AC⊥BD,又因为 ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以, ED⊥AC.因为,ED,BD?平面 BDEF,且 ED∩BD=D,所以,AC⊥平面
A

B

BDEF,所以,AO 为四棱锥 ABDEF 的高.又因为,四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=

? ,所以, 3

△ABD 为等边三角形.又因为,BF=BD=2,所以,AD=2,AO= 3 ,S 四边形 BDEF=4,所以,V
四棱锥 ABDEF



4 8 3 ,即多面体的体积为 3 . 3 3
→ →

10. 3 ,由已知得 AP · OA =(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,且 BP ? OB =(x,y-2) ·(0,2)=2(y -2)≥0,即 x≤1,且 y≥2,所以 OP ? AB =(1,0)·(1,0)=-x+2y≥-1+4=3
11. ﹣3≤a≤9 ;由题意,x +ax﹣10=0 在 x∈[1,5]上有解,所以 a= 因为 a= ﹣x 在 x∈[1,5]上单调递减,所以﹣3≤a≤9,
2 2 2 2 2 2 2

﹣x 在 x∈[1,5]上有解,

12.2;由 x +2xy+y +x y =1,变形为(x+y) +(xy) =1. 可设 x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π).∴(x﹣y) =(x+y) ﹣4xy=cos θ﹣4sinθ=1﹣sin θ﹣4sinθ= ﹣(sinθ+2) +5≤4,∴x﹣y≤2,
2 2 2 2 2

13. ±1 ,OM ? OA ? OB ,则四边形 OAMB 是锐角为 600 的菱形,此时,点 O 到 AB 距离为 1.由 14.

2 1? k
2

=1, 解出 k=±1

2 ; 因曲线 y=ex 与 y=lnx 关于直线 y=x 对称.所求 PQ 的最小值为曲线 y=ex 上的点到

直 线 y=x 最 小 距 离 的 两 倍 , 设 P(x, ex) 为 y=ex 上 任 意 点 , 则 P 到 直 线 y=x 的 距 离

d ( x) ?

/

| ex ? x | 2 e x ?1 2

?

ex ? x 2

,

d ( x) ?

? 0 ? x ? 0, d / ( x) ? 0 ? x ? 0 , 所 以 , d ( x) min ? d (0) ?

2 ,即 2

PQ min= 2 .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,且 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

1 (1)若 cosA=3,求 sinC 的值; (2)若 b= 7,a=3c,求三角形 ABC 的面积 π a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ? ? 2.又 B 为三角形内角,则 B=3. 15.解: (1)由余弦定理,cosB ? 2ac 2ac 1 2 2 因为 cosA=3,且 A 为三角形内角,则 sinA= 3 , 3+2 2 π 3 1 故 sinC=sin(B+A)=sin(3+A)= 2 cosA+2sinA= . 6 (2)由 a=3c,由余弦定理知:b2= a2+c2-2accosB,则 7=9c2+c2-3c2,解得 c=1,则 a 1 3 3 =3.面积 S=2acsinB= 4 . 16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,点 M , N 分别 为 A1 B 和 B1C1 的中点. (1)求证:平面 A1 BC ? 平面 MAC ; (2)求证: MN // 平面 A1 ACC1 . B1 M N A1 C1

A B 16. (1)证明:在 Rt ?BAC 中, BC ? 在 Rt ?A1 AC 中, A1C ? C

AB2 ? AC 2

A1 A2 ? AC 2 .? BC ? AC 1CB 为等腰三角形. 1 ,即 ?A

又点 M 为 A1 B 的中点,? AM ? MC . 1 又 ? 四边形 AA1 BB1 为正方形, M 为 A1 B 的中点,? A1M ? MA

AC ? MA ? A , AC ? 平面 MAC , MA ?平面 MAC ? A1M ? 平面 MAC
(2)证明:连接 AB1 , AC1 , 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点,? MN / / AC1 .

? MN / / 平面 A1 ACC1 . 又 MN ? 平面 A 1 ACC1 , AC1 ? 平面 A 1 ACC1 ,
17. (本小题满分 14 分) 为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线 弧,顶点为水渠最底端(如图) ,渠宽为 4m,渠深为 2m. (1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填 土, 使其成为横断面为等腰梯形的新水渠, 新水
4

渠底面与地面平行(不改变渠宽) ,问新水渠底
2

宽为多少时,所填土的土方量最少? (2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠
(第 17 题图)

的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与 地面平行(不改变渠深) ,要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求 出这个底宽.

17. 解 建立如图所示的直角坐标系, 设抛物线的方程为 x2 ? 2 py ? p ? 0? , 由已知点 P ? 2, 2? 在 抛物线上,得 p ? 1 ,所以抛物线的方程为 y ?

1 2 x . 2
y

(1) 为了使填入的土最少, 内接等腰梯形的面积要最大, ? 1 ? 如图 1,设点 A ? t , t 2 ? ? 0 ? t ? 2 ? ,则此时梯形 APQB 的面积 ? 2 ?

Q

P

1 1 ? 1 ? S ? t ? ? ? 2t ? 4 ? ? ? 2 ? t 2 ? ? ? t 3 ? t 2 ? 2t ? 4 , 2 2 ? 2 ? 3 3 ∴ S ' ? t ? ? ? t 2 ? 2t ? 2 , 令 S ' ? t ? ? ? t 2 ? 2t ? 2=0 , 得 2 2 2 t? , 3 ? 2? ?2 ? 当 t ? ? 0, ? 时,S ' ? t ? ? 0 ,S ? t ? 单调递增, 当 t ?? , 2? 3 ? ?3 ? ? 时, S ' ? t ? ? 0 , S ? t ? 单调递减,

B O

A x

(图 1)
y C P B

2 128 所以当 t ? 时, S ? t ? 有最大值 ,改挖后的水渠的底宽 3 27

M O A x

(图 2)



4 m 时,可使填土的土方量最少. 3

( 2 )为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图 2 ,设切点 ? 1 ? M ? t, t2 ? ? t ? 0? , ? 2 ?

1 2 t t 2 ? ? ? ? 分别令 y ? 0, y ? 2 得 A ? , 0 ? , B ? ? , 2 ? , ?2 ? ?2 t ? 1? 2? 2 所以此时梯形 OABC 的面积 S ? t ? ? ? t ? ? ? 2 ? t ? ≥ 2 2 ,当且仅当 t ? 2 时,等号 2? t? t 2 成立,此时 OA ? .所以设计改挖后的水渠的底宽为 2 m 时,可使挖土的土方量最少. 2
则函数在点 M 处的切线方程为 y ? t 2 ? t ? x ? t ? ,

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 对称,点 A,B 关于原点对称. (1)若椭圆的离心率为 标准方程; (2)设 D 为直线 BC 与 x 轴的交点,E 为椭圆上一点,且 A, D,E 三点共线,若直线 AB,BE 的斜率分别为 k1 , k2 , 试问, k1 ? k2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是, 请加以说明. 18.解: (1)因为椭圆的离心率 e ?
D E B O x

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的点 A,C 关于 y 轴 a 2 b2

6 1 2 ,且 A( , ) ,求椭圆的 2 2 2

y C A

c 2 6 2 2 2 ? ,所以 a ? 2c ? 2b .又椭圆经过点 A( , a 2 2
2

( ) ( ) 1 2 2 ) ,所以 2 2 ? 22 ? 1 .联立方程,解得 a ? 2 , b ? 1 ,所以椭圆的标 a b 2
准方程为

6

2

1

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2) 不妨设点 A ( x1 ,y1 ) ,x1 ? 0 ,y1 ? 0 , 由椭圆的对称性可知点 C, B 的坐标分别为 ( ? x1 , , ( ? x1 , ? y1 ) ,D( ? x1 ,0) .设点 E 的坐标为( x2 , y2 ) , y1 )

x12 y12 x2 2 y2 2 x2 y 2 ? ? 1 因为点 A,E 都在椭圆 2 上,所以有 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 , a b2 a b a b
即有

x2 2 ? x12 y2 2 ? y12 y2 ? y1 b2 ( x2 ? x1 ) ? ? 0 ,即 . ?? 2 a2 b2 x2 ? x1 a ( y2 ? y1 )

又直线 AB 的斜率 k1 ? 由题意得 k1 ? k2 ?

y1 y ? y1 ,直线 BE 的斜率 k2 ? 2 , x1 x2 ? x1

y1 ( y2 ? y1 ) y1 b2 ( x2 ? x1 ) ? (? ). x1 ( x2 ? x1 ) x1 a 2 ( y2 ? y1 )
y2 ? y1 y1 ? 0 y 与 k AD ? ? 1 相等, x2 ? x1 x1 ? (? x1 ) 2 x1

因为 A,D,E 三点共线,所以 k AE ?



y2 ? y1 y y b2 ( x ? x ) 2b2 ? 1 ,所以 k1 ? k2 ? 1 (? 2 2 1 ) ? ? 2 为定值.故 k1 ? k2 为定值 x2 ? x1 2 x1 x1 a ( y2 ? y1 ) a
2b 2 . a2

?

19.(本小题满分 16 分) (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. 若数列 {an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3 ,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由? 解:(1)设{an}的公比为 q ,则 b1 =1+a , b2 ? 2 ? aq, b3 ? 3 ? aq2 由 b1 , b2 , b3 成等比数列的 (2 ? aq) 2 = (1 ? a)(3 ? aq2 ) , 即 aq2 ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0 (*) 由 a>0,得△= 4a ? 4a ? 0 ,故方程(*)有两个不同的实根.
2

再由{an}唯一,知方程必有一根为 0,将 q =0 代入方程得 a=

1 . 3

(2)假设存在两个等比数列{an}、{bn},使得 b1 ? a1 , b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差数列,设{an}公比为 q1 ,{bn}公比为 q 2 . 则 b2 ? a 2 ? b1 q 2 ? a1 q1 ,
2 2 b3 ? a3 ? b1q2 ? a1q1 ,

b4 ? a4 ? b1q2 ? a1q1


2

3

b1 ? a1



b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4













? 2(b1 q 2 ? a1 q1 ) ? b1 ? a1 ? (b1 q1 2 ? a1 q1 2 ) ? 2 2 3 3 ?2(b1 q 2 ? a1 q1 ) ? b1 q 2 ? a1 q1 ? (b1 q 2 ? a1 q 1 )
即?

?

b1 (q 2 ? 1) 2 ? a1 (q1 ? 1) 2 ? 0(*) 2 2 ?b1 q 2 (q 2 ? 1) ? a1 q1 (q1 ? 1) ? 0(**)
2

(*)× q 2 -(**)得 a1 (q1 ? q2 )(q1 ? 1) ? 0 由 a1 ? 0 得 q1 ? q 2 或 q1 ? 1 当 q1 ? q 2 时,由(*)(**)得 b1 ? a1 或 q1 ? q 2 ? 1这时( b2 ? a 2 )-( b1 ? a1 )=0,与公差不为 0 矛盾. 当 q1 ? 1 时,由(*)(**)得 b1 ? 0 或 q 2 ? 1 这时( b2 ? a 2 )-( b1 ? a1 )=0 与公差不为 0 矛盾.

综上所述,不存在两个等比数列{an}{bn},使得 b1 ? a1 , b 2 ?a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成等差数 列? 20.(本小题满分 16 分) 定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对于任意 x ? D,存在常数 M>0,都有| f(x)|≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界。已知函数 f(x)=1+x+ax2 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数 f(x)在(-∞,0)上 是否为有界函数,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x ? [1,4]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围。 解: (1)a=-1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? ?( x ? ) ?
2 2

1 2

5 , 4

∴ f ( x)在x ? (??,0)上单调递增, ∴ f ( x) ? ?(0 ? ) ?
2

1 2

5 ?1 4

故函数 f ( x)在( -?, 0)上的值域为(-?,1) 又∵ f ( x) ? 1,? f ( x) ??0, ??? ∴不存在常数 M0>0,使|f(x)|≤M 都成立。

故函数f ( x)在(-?, 0)上不是有界函数
(2) 若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数,

则 f ( x) ? 3,在[1,4]上恒成立.
即-3 ? f ( x) ? 3,??3 ? 1 ? x ? ax2 ? 3,

?4 ? x 2? x ?a? 2 2 x x
?4 1 2 1 ? ? a ? 2 ? 在x ?[1,4]上恒成立. 2 x x x x ?4 1 2 1 ?( ? ) max ? a ? ( 2 ? ) min x x x x 1 1 令 ? t , 则t ? [ ,1] x 4 1 ? (?4t 2 ? t ) max ? a ? (2t 2 ? t ) min , t ? [ ,1] 4 即

1 1 ? [?5, ? ]. 16 2 1 1 1 2 2 令 h(t ) ? 2t ? t , 则h(t ) ? 2(t ? ) ? ? [? ,1] 4 8 8 1 1 ? 实数a的取值范围为[- ,- ] 2 8
令 g (t ) ? ?4t ? t , 则g ( x) ? ?4(t ? ) ?
2 2

1 8


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