【成才之路】高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的最值课件 新人教版必修1_图文

1.判断正误: (1) 若函数f(x) 在区间 (a ,b) 和(c , d) 上均为增函数,则 函数f(x)在区间(a,b)∪(c,d)上也是增函数. (2)若函数f(x)和g(x)在各自的定义域上均为增函数,则 f(x)+g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数. [答案] (1)× (2)√ 2.填空: (1)函数y=|x|的单调增区间为 [0,+∞) . (2)函数y=ax+b(a≠0)的单调区间为 (-∞,+∞) ; 函数y=(a2-1)x为减函数,则a的取值范围是 (-1,1) . (3)函数y=-x2+bx+c在(-∞,2]上为增函数,则b的 取值范围是 [4,+∞) . 3 .(1) 一般地,设函数 y =f(x) 的定义域为 I ,如果存在 常数M满足: ≤ M. ①对于任意的x∈I,都有f(x) ②存在x0∈I,使f(x0) =M. 那么M是函数y=f(x)的最大值. 若M是函数y=f(x)的最小值又如何填写条件? (2)函数y=2x-1在[-2,3]上的最小值为 -5 , 最 大 值 为5. (4)函数y=x2-2x-3在[-2,0]上的最小值为 -3 , 最大值为 5 ;在[2,3]上的最小值为 为 0 ;在[-1,2]上的最小值为 -4 -3 ,最大值 ,最大值为 0. 本节重点:应用函数单调性求函数的单调区间,比较 函数值的大小,求函数的最值(或值域). 本节难点:1.二次函数在闭区间上的最值讨论. 2.复合函数的单调区间讨论. 1.对于最大值定义的理解: (1)M首先是一个函数值,它是值域中的一个元素.如 f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0,注意对(2)中“存 在”一词的理解; (2) 对于定义域内全部元素,都有 f(x)≤M成立,“任意” 是说对每一个值都必须满足不等式; (3)这两条缺一不可,若只有(1),M不是最大值,如f(x) =- x2(x∈R) ,对任意 x∈R ,都有 f(x)≤1 成立,但 1 不是最 大值;否则大于零的任意实数都是最大值了;最大值的核 心就是不等式f(x)≤M,故不能只有(2). (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”,则需将最 大值定义中的“最大值”改为“最小值”.这就是函数f(x) 的最小值的定义. 2 .一次函数f(x) = ax+ b(a > 0)在闭区间 [m, n]上必定 有最大值和最小值,它只能是f(n)、f(m),当a<0时,最大 值和最小值则为f(m),f(n). 3.单调性是函数的重要性质,应用它可以解决许多函 数问题.如判断函数在给定区间上的单调性;求函数在给 定区间上的最大值、最小值;求已知函数的单调区间;利 用函数单调性比较两个数的大小等. 4.复合函数的单调区间讨论. (1) 单调性定义中 x1 , x2 的三个特征:一是任意性,即 “任意取x1,x2”,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性 时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定 x1<x2;三是同属一个区间.三者缺一不可. 写函数的单调区间时,区间端点有定义的一般写成 闭区间,区间端点无定义的必须 写成开区间. .. (2)由增函数(或减函数)的定义可以得出(以增函数为例): ? ①f(x)在I上单调增, ? ??x1<x2. 任意的x1、x2∈I,且f(x1)<f(x2)? ? ? ②f(x)在I上单调增, ? ??f(x1)<f(x2). 任意的x1、x2∈I,且x1<x2,? ? 这两个结果对于读者深入理解单调函数及其性质是有 益的.①可由函数值大小比较自变量的大小.②可由自变 量大小得出函数值的大小. 5.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它只 能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得. 对于二次函数 f(x) =a(x -h)2 +k 上最值问题,有以下结论: (a>0) 在区间 [m ,n] ①若 h∈[m , n] ,则 ymin = f(h) = k , ymax = max{f(m) , f(n)} ② 若 h?[m , n] , 则 ymin = min{f(m) , f(n)} , ymax = max{f(m),f(n)}(a<0时可仿此讨论). [例1] 设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( A.f(a)<f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) ) [ 分析 ] 由减函数的定义可知,只须比较各组函数值 的自变量的大小. [解析] 12 3 3 ∵a +1-a=(a-2) +4≥4>0, 2 ∴a2+1>a 又∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, ∴f(a2+1)<f(a)成立,故选D. 总结评述:(1)本题为选择题,故还可用排除法解之, 如令a=1,则有f(a)>f(2a),f(a2)=f(a),可排除A、B,令a =0可排除C. (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数的定义.即 若f(x)在区间I上具有单调性,则欲比较f(x2)与f(x1)的大小, (x1,x2∈I),则只须比较x1与x2的大小. 因此,比较两个实数大小时,我们可将这两个实数转 化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值,再利用单 调性比较大小. 若函数y=f(x)在R上单调递增,且有f(a2)>f(-a),则实 数a的取值范围是 A.(-∞,-1) C.(0,+∞) D.(-1,0) ( B.(-∞,-1)∪(0,+∞) ) [答案] B [解析] 由条件知,a2>-a, ? ?a<0 或? ? ?a+1<0 ? ?a>0 ∴a(a+1)>0,∴? ? ?a+1>0 , ∴a>0 或 a<-1,故选 B. [例2] 间: 画出下列函数的图象,并指出函数的单调区 (1)y= x+2; (2)y=x2-2|x

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