《数列的基本概念》


§2.1 数列的概念和简单表示法
一、数列的基本概念: 1.数列的定义:按照一定顺序排列着的一列数.与集合的区别是什么? 2.数列的项:数列中的每一个数叫数列的项,其中第一项也叫首项,最后一项叫末项, 第 n 项记作 an ,n 为正整数,数列简单的表示为 ?an ? . 二、数列的分类: 1.按项数分:/有穷数列---项数有限的数列;无穷数列---项数无限的数列. 2.按项的变化分:递增数列---从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列;递减数列---从第 2 项起, 每一项都不大于它的前一项的数列;常数列---各项相等的数列;摆动数列---从第 2 项起,有些项大于 它的前一项,有些项小于它的前一项的数列;周期数列---经过一定的项数循环重复的数列. 三、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式,其实质是一个函数关系,定义 域为 N 或其子集.有的数列有通项公式,有的数列则没有通项公式. 四、数列的递推公式:已知数列的首项 a1 (或前几项) ,且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的 前一项 an ?1 (或前几项) ( n ? 2 )间的关系的可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的递推 公式.比如:数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 1 五、数列的表示方法: 图像法,列表法,通项公式法,递推公式法等. 六、考点应用: 应用一:根据数列前几项写出数列的一个通项公式 例 1.写出下列数列的一个通项公式. (1) 1,2,4,8,… (2)
?

.

1 9 ,2, ,8, … 2 2

(3) 1,-3,5,-7,9, … (4) 9,99,999,9999, … (5) 1,0,-1,0,1,0,-1,0, … 应用二:通项公式的应用 例 2.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (1) 求该数列的第 8 项; (2)

2n , n?2

14 是不是该数列的项? 9

(3) 判断该数列的增减性. 应用三:数列与函数的结合 例 3.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 7n ? 8 ,
2

(1) 数列中有多少项是负数? (2) 该数列是否有最小项?若有,求出其最小项;若没有,请说明理由.

应用四:求数列通项公式的两种特殊类型 例 4.求下列递推数列的通项公式: (1) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? n ,求 an ; (2) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2,

an?1 n ,求 an . ? an n ?1

课堂小练习 1、下列说法中,正确的是( ) A.数列 1 , 3 , 5 , 7 可表示为 ?1,3,5,7? B.数列 1 , 0 , ?1 , ?2 与数列 ?2 , ?1 , 0 , 1 是相同的数列 C.数列 ?

1 ? n ? 1? ? 的第 k 项为 1 ? k ? n ?

D.数列 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,…可记为 ?2? 2、数列 1 , 0 , 1 , 0 , 1 ,…的一个通项公式是( )

1 ? ? ?1? A. an ? 2
A. n

n ?1

1 ? ? ?1? B. an ? 2
B. n ? 3

n ?1

C. an )

? ?1? ?

n

?1

2

?1 ? ? ?1? D. an ? 2
D. n ? 5

n

3、数列 11 , 13 , 15 ,…, 2n ? 1 的项数是(

C. n ? 4

4、 上述关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是( A. an ? n2 ? n ? 1 B. an ? ) D. an ? ) D. 63 ) D.第 28 项 ) D.第 9 项
*

n ? n ? 1? 2

C. an ?

n ? n ? 1? 2

n ? n ? 2? 2

5、数列 ?an ? 满足 an ? 4an?1 ? 3 且 a1 ? 0 ,则此数列第 5 项是( A. 15 B. 255 C. 16

6、已知数列 1 , 3 , 5 , 7 ,…, 2n ?1 ,…,则 3 5 是它的( A.第 22 项 B.第 23 项 C.第 24 项

7、设数列 2 , 5 , 2 2 , 11 ,……,则 2 5 是这个数列的( A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 8 项

8、下面对数列的理解有四种:①数列可以看成一个定义在 ? 上的函数;②数列的项数是无限的;③数列 若用图象表示, 从图象上看都是一群孤立的点; ④数列的通项公式是唯一的. 其中说法正确的序号是 ( A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ )


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