抛物线焦点弦四边形面积最小值的探究_图文

2 0 1 5年第 9 期 

中学数学研究  

? 2 7?  

抛 物 线 焦 点 弦 四 边 形 面 积 最 小 值 的 探 究 
华 南师 范大学数 学科 学学院  ( 5 1 0 6 3 1 )   曹建娣 
广 东省 广州市广雅 中学 
定义 1   以抛 物 线 的两条 焦点 弦为 对角 线 的 四   边 形称 之 为抛 物 线 的焦点 弦 四边 形.   引理 1 …  过抛 物 线Y  =2 p x ( p >0 ) 焦 点 F作 

( 5 1 0 1 6 0 )   何  智 
0+ O l亦 或 0 + O l— t 7 r ,经 计 算 均 有 I  C D   l=  
s i n   ( 0+  )  
  。

倾 斜 角为 0的弦 4 日, 则f / 4 曰I =  :  .   文[ 1 ]已给 出引理 1的证 明 , 此 处 略.   2 0 0 5年 高考 全 国卷 , , 理科 第 2 1 题、 2 0 0 7 年 高 考  全 国卷 , 理科 第 2 1 题、 2 0 1 1 年 卓越 联 盟试 题第 1 3 题 
这 三道 题 目均是 求 椭 圆 内以两条 相 互垂 直 的焦 点弦 
O 
  .

. 

D 

为对 角线 的 四边 形 面积 的最值 . 文[ 2 ]对 椭 圆焦 点  弦 四边 形 (以椭 圆 的两 条 焦 点 弦 为 对 角 线 的 四边 
形 )面 积 的最值 问题 进 行 了探 究.受上 述 三题 的启  发, 笔者 编 制 了如 下一题 :  
题1   过抛 物 线Y  =4 x的焦点 F作 两条 互相 垂 


1  

2  

5日 遗   c D=  

I  

I   I  cD  Is j n   2 p   .   m 

1   2 p   2 ‘一 s i n Z 0×  

直 的直 线分 别 交抛 物线 于 A、 B和 C、 D 两点 , 则 四边 
形A BC D 面积 的最 小值是  .  
:  

解: 设 弦A B所在 直 线 的倾斜 角为 0 , 则s 口 边 形   删)  
=  

{ 一 ÷[ c 0 s ( 2 0 +  )一 c 0 s   ] }  
8 pZ s i n a 


- 一 A B  C D ? × s i n 詈= 号×   ×  




[ c o s ( 2 0+  )一c o s   ]   ’  

  ,

s   (   ±   )  i n   。  蠡 1   i   n 2 2 0  _ 3 2 , ’  
i n /  

( 1 )若 0≤ c o s   < 1时, 则 当C O S ( 2 0+   )=  

1 , 即 0=  

时, , [ c o s ( 2 0+  )一c o s  ]  取 得最 

题 1中弦 A B所在 直 线到 弦 c D所 在 直线 的角 为— 7 1   - ,  
求焦 点 弦 四边 形 A B C D 面 积 的最 小 值. 若 将 条 件  7 1 "   改为  ( 0<   <7 r ) , 焦 点弦 四边形 面 积 的最小 值 为  

大值 为 ( 1+c o s a )  , 焦 点弦 四边 形 A B C D 面 积取 得 

最小值 s=  
A  所在 直 线倾 斜角 为 
为  .  

:  _  

, 此时弦  

, 弦C D所 在直 线倾 斜角 

多少 ? 笔 者 经过深 入研 究 , 得 到如 下结 论 :  
定理1   过 抛 物线 Y  = p x ( p>0 )的焦 点F作 
两条 直 线分 别交 抛 物线 于A、  和 C、 D两点 , 弦A B所 

( 2 )若 一1<c o 8   <0时, 则当C o s ( 2 0+  )=  

在直 线 到 弦 C D 所在 直 线 的角 为 0 c ( O <o t<   7 r ) , 则  焦点 弦 四边 形 A B C D 面 积的最 小值为 S :  

1 时 , 即  =  

= 仃 一 号时 , [ c o s ( 2 0 +   ) 一  
=  

: !   璺  
( 1+   l c 0 蛐 I )   ‘  

C O S  ̄ ]  取 得 最 大 值 为 ( 1一c o s  )   , 焦 点 弦 四边 形 
A B C D面 积取 得最 小值 s =  

证 明: 为表 述 方便 , 假设 弦A B所 在 直 线 的倾 斜  角为 o ( o <0 <7 r ) , 则 可证 弦 C D 所在 直 线 倾斜 角 
为 0+  ( 当 0+   <7 『时 , 如 图1 )或 0+   一7 r ( 当  



此时弦  

所在直线倾斜角为 刀   一  

0 + O t >7 r 时, 如图2 ) , 无论弦 C D所在直线倾斜角为  

孚, 弦C D 所 在 直 线 倾 斜 角 为 孚 .  

?

2 8-  
4  

中学数 学研 究 

2 0 1 5第 9期 

综上, s  :  _ _ 二  
时 
S  
n 

, 且弦A  所在直线  



即   =√ m 时等号成立, s i n  取最小值.  
1   1  

的倾斜角与弦 C D所在直线倾斜角互补.  
易见 , 题 1是 定理 1的特 殊情形, 此 时P =2 ,   =   则 当弦 A B所 在 直线 的倾 斜 角 0 =— 7   r —  
=  


S 四 边 形 A B c D=÷ I   A B   I   I   C D   I   s i n   =— }×  
×   ×s i na :  

2 p   ( 1 + 鲁+  + m   )  
×s i   ≥ 


: (  
, n 

3 2  
… n   ≥ 
m  

若 将定 理 1中y  =2 p x ( p>0 )改为 y  =一 2 p   ,  




2 p y ,   =一2 p y ( p >0 ) , 结论依 然 成立 , 证 明方 
=  

法相 同 , 此处 不展 开 , 留给 有 兴趣 的读 者 去 证 明. 亦  可从 旋转 的角度 去证 明.   从 几何 角度 , 当抛 物 线 的 焦 点 弦 四边 形 面积 取  得 最小 值 时 , 弦A B 与弦 C D关 于抛 物线 的对称 轴对 

蔫  

×  
『 f ‘ 十 1  

=  

当且仅 当   :  

等 号成 立 , 此 时 

,   c D=一  

, 即弦A B与弦 C D所 在 直线 的 
. 

倾斜 角互 补 , 所 以S   :4 』 

易见题 1是 定理 2的特 殊 情形 , 弦A B与弦 C D  
垂直 时 , m =1 , p =2 , 则 
s u r ai n : 一   

称, 且 焦 点弦 四边 形 A BC D为 等腰梯 形.   笔 者对 题 1从 另 外一个 角度 进 行 深入 思考 , 直 
线A B与直 线 C D垂 直 , 即   ?  ∞ =一1 , 若 抛 物线 

:   (  

1   2  

:3 2
一  . 。  

焦点 弦所在 直 线斜 率 的乘 积 为 定值 , 焦 点 弦 四边 形  A B C D 的面 积能否 取 到最 小值 ? 最 小值 是 多少? 笔 者  经探 讨得 到如 下结论 :  
定 理2   过抛 物 线 Y  =2 p x ( p>0 )的焦 点 F作  两条 直线 分别 交抛 物线 、 日和 C 、 D两 点 , 且  ?  c D  

若将 定理 2 中y  =2 p x ( p >0 )改为 Y  =  


2 p x ( p >0 ) , 结论 依 然成 立 , 证 明方 法 相 同 , 此处 

略.  

对于焦点在 Y轴时, 可得到如下结论 :   定 理3   过抛 物 线  =2 p y ( p>0 )的焦 点 F作 
两条 直 线分别 交抛 物 线A、 B和 C、 D两 点 , 且  ?  

:一m( m >0 ) , 则 当弦 A B所在 直 线 与弦 C D所在 直  线的倾 斜角 互补 时 , 焦 点 四边 形 A BC D 可 取 到最 小 
值 5:  
m  

=一m( m >0 ) , 则 当弦 A B与弦 C D所在 直 线 的倾 斜 
角互 补 时 , 焦 点 四边 形 A B C D 可取 到最 小值 S =4 p  
(   +1 ) .  

.  

证明: 为表述方便, 令   A  =  > 0 , 则k c o =一 詈 
<0, 弦A B所 在 直 线到 弦 C D 所在 直 线 的角 为  ( 0  

证明 : 为表 述 方便 , 令 

=   >0 , 则  。 。=一  

<0 , 弦A B所 在 直 线到 弦 C D所 在 直 线 的角 为  ( 0  
<   <7 r ) , 设直 线 A B方程 为 Y =   +   , 与   =  

<  < 仃 ) . 设 直 线A B 方 程 为  = ÷ y + 号, 与 Y   =  

2 p   联 立 可 求 得 I   日 l =  
替 (爿 = )中的 , 可得 I   C D   l=  

( 米 ) . 用一 詈 代  
.  

2 p y联立 可 求 得 I   A B   I=2 p ( 1+   ) , 则I  C D   I=  

2 p [ 1 + ( 一 詈 )   ] = 2 p ( 1 +  ) , 同 定 理 2 证 明 可 得 ,  

s i n   ≥   , 5 一…=  l  l   s i n   = 吉  
-t a   :   :   ≥ 

×2 p ( 1+   )×2 p( 1+   )×s i   =2 p 。 ( 1+  
> 0, s i n 。   =  
l +  t a n d 

+  

1 一  
1  + t a n

≥ l —  

+m。 )×s i n  ≥2 p   ( 1+  )  X   s i n  ≥2 p 。 ( 1 +m) 。  

_   1  



=  

+ 

( m+ )  

1, . ? . s i n     , 当 詈: …≥ m +1 一 后   

×  

=4 p 。  

( 1+m) . 等 号成立 当且仅 当   =  

,  。=  

,  。=一  

, 即弦A B与 弦 C D所在 直 

2 0 1 5年 第 9期 

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制, 此处 不展 开讨 论.  

? 2 9?  

线的倾斜角g -  ̄ l " , 所以 S   i  =4 p    ̄ / m ( 1+m) .  
若 将定 理 3 中   =2 p y ( P >0 ) 改为  =一   2 p y ( p >0 ) , 结 论依 然 成立 , 证 明方 法相 同, 此处 略.  
本 文 对抛 物 线 的焦点 弦 四边 形从 两弦所在 直 线 

参 考文献 
[ 1 ] 姚 建明. 让抛物线焦 点弦的倾斜角从 幕后走 向台前 [ J ] .  
中学数学月刊 . 2 0 1 3 ( 3 ) .  

的到角为定值、 两弦所在直 线斜率乘积为定值两个  角 度 去探 讨抛 物 线焦 点 弦 四边形 面 积 的最 小 值. 读  者 可根 据 本 文 三个 定 理 的结 论 进 行 数 学 题 目的编 

[ 2 ] 苏进文. 椭 圆焦 点 弦四边形 面积 的最值 . [ J ] . 中学 数学 
研究 ( 江西 师大 ) . 2 0 0 8 ( 4 ) .  



道 解 析 几 何 试 题 的 探 究 与 推 广 
江 苏省扬 中高级 中学  ( 2 1 2 2 0 0 )   高忠冉 

题 目  ( 2 o 1 5南 京 二 模 )  
一  

联 立 

X-2   k l ( …

" -1 l

一" A  ̄  

如图 1 , 在 平 面 直 角坐 标 系  

x O y中, 椭 圆E:   +   =1 ( 口  
>b >0 )的 离心 率 为  - - 4 , ^ -     , 直 

3  

舭1   一( k 1+ k 2 )  
k l—k 2  

线l : y=  

与椭 圆 E相 交于 

囹 1  
,  

2 ( k 1+k 2 )+4 k i k 2  
—   ~

,  

A, B两点 , A B =2 , 3, C、 D是 椭 圆E上异 于 、   的任 
意两 点 , 且直线A C, B D 相交 于 点 M , 直线A D, B C相 
交于 点 

求 

I   联  一( k 1 +  2 )一2   【 , ,  亚 — ]  一 ‘  


,●● ●● ●J, 、 l●● ●【

 

y  

=  
一  
.  

4 k i k 2一( k 1+k 2 )   一( k l+k 2 )一2   I l  
一  

y 

( 1 )求 0 , 6的值 ;  

k l— k 2  

k 1一 k 2  

k M N  

( 2 )求证 : 直 线 MN 的斜 率 为定值.   本 文就 对 第二 问进 行 一些探 究和 推广.  
原题 解答 如 下 : ( 1 ) 0=   , 6=   ( 过 程略 ) .  
. .

一   一 l   l
+ 
2  


一  
2  

k 1一 k 2  
. 一

k1一 k 2  
1  

4k 2 +2  ̄k




一  



+  4k , k .一2 一  

‘  

2  

( 2 )为简 化运 算 , 需用 到 一个结论 : 对椭 圆   +  
0  2  


当直 线 C A, C B, D A, D B 中有斜 率 不 存 在 时, 根 

据 题设 要 求 , 至 多有 一条 斜 率 不存 在 , 故 不妨 设 c 4   l ( 。 >b>0 ) , 若A 、 B是椭 圆上 关于 原 点 0对  的斜 率不 存在 , 从而 c ( 2 , 一1 ) , 设D B斜 率仍 为 k   ,  
则C A:   =2 , c B: y   一  , D A: Y   一   (   一2 )+l ,  
D B:   =k 2 (   +2 )一1 , 易得 g( 2, 4   2—1 ) , N( 4 k 2 +   2, 一1 ) , 从而后   =一1也 成立.  

称 的两 点 , C是 椭 圆上 异于 A 、 B 的任 意 一 点 , 若直 线 
T   2  

C A, c B的斜 率存 在 , 则k  ? k ∞ =一   . 这 个结论 大 
“ 

家都 很 熟悉 , 限于篇 幅证 明略.  
联 立直 线 Z 与椭 圆的方程 易得 A( 2, 1 ) , B( 一2 ,  


综上 知  变,  

=一1 ( 定值 ) .   与A B 的斜率 之 间是 否 

1 ) 。  

解 答后 , 笔 者进行 了反 思 , 若直线 A B 的斜 率 改 
是 否还 为定值 呢?  

当C A, C B, D A, D B斜 率都存 在 时, 设C A, D B的  斜 率分 另 0 为k l , k 2 , 贝 0   C A: y=k 1 (  一 2 )+1 , DB: y=  
x+2 )一1 , C B: y一   (   +2 )一l , D A: y  

隐藏着某 种 必然 的关 系呢?  
我们 不妨 设 直线 A B 的斜率 为 k 。 ( k 。≠ 0 ) , C A,  

D B 的斜 率 分 别 为 k   , k : , 为便 于 计 算 可令 点 A(   。 ,  


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对椭圆焦点弦四边形面积最值的两点补充
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