椭圆[高考数学总复习][高中数学课时训]


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椭圆

基础自测

1. 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 是 短 轴 长 的 2 倍 , 则 椭 圆 的 离 心 率 等 于 答案
3 2
2

.

2.若椭圆 x 答案
3 2

2

?

y2 m
3

=1 的离心率为 1 ,则实数 m=
2

.

或8

3.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦
3

2

点 , 且 椭 圆 的 另 外 一 个 焦 点 在 BC 边 上 , 则 △ ABC 的 周 长 是 答案 4
3
x2 m ?1

.

4.已知方程 围为 答案

+

y2 2?m

=1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范

. (-∞,-1)∪ ?1, 3 ? ? ?
? 2?

5.(2008?天津文)设椭圆

x2 m
2

+

y2 n2
2

=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 .

y2=8x 的焦点相同,离心率为 1 ,则此椭圆的方程为 答案
x2 y2 ? 16 12

=1

例1

一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81
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内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 解 两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0) 1=1; ,r

O2(3,0) 2=9.设动圆圆心为 M(x,y) ,r ,半径为 R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为 x
2

25

?

y2 16

=1.

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例2

(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并

且过点 P(3,0) ,求椭圆的方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1 (
6

,1) 2(、P

3

,-

2

) ,求椭圆的方程.
2 2



(1)若焦点在 x 轴上,设方程为 x 2 ? y2 =1 (a>b>0).
a b
2 2

∵椭圆过 P(3,0) ,∴ 3 2 ? 0 2 =1.
a b

又 2a=3?2b,∴a=3,b=1,方程为 x
2

2

9

? y2 ? 1 .

若焦点在 y 轴上,设方程为 y 2 ? x 2 =1(a>b>0).
a b

2

∵椭圆过点 P(3,0) ,∴ 0 2
a

2

?

3

2

b2

=1
2

又 2a=3?2b,∴a=9,b=3.∴方程为 y ∴所求椭圆的方程为
x2
9 ? y
2

81

?

x2 9

=1.

y2 x2 ? ? 1或 =1. 81 9

(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程,
?6m ? n ? 1, 则 ?3m ? 2n ? 1, ?
① ②

1 ? ?m ? 9 , ? ②两式联立,解得 ? 1 ?n ? . ? 3 ?

∴所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 . 9 3

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例3

已知 F1、 2 是椭圆的两个焦点, 为椭圆上一点, 1PF2=60°. F P ∠F

(1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

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(1)解

设椭圆方程为 x 2 ? y2 =1 (a>b>0),
a b

2

2

|PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60°. ∵m+n=2a, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn.即 3mn=4a2-4c2.
? 又 mn≤ ? m 2 n ? =a2(当且仅当 m=n 时取等号), ? ? ? ?
2

∴4a2-4c2≤3a2,∴ c 2 ≥ 1 ,即 e≥ 1 .
a
4 2

2

?1 ? ∴e 的取值范围是 ? 2 ,1? . ? ?
(2)证明
1 2

由(1)知 mn= 4 b2,
3

∴ S?PF F = 1 mnsin60°= 2

3 3

b2,

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. 例 4 (16 分)如图所示,已知 A、B、C 是椭圆 E:
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)上的三点,其中点
3

A 的坐标为(2

,0),BC 过椭圆的中心 O,且

AC⊥BC,|BC|=2|AC|. (1)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程; (2)若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴,试判断向量 PQ 与 AB 是否共线,并给出证明.

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解 (1)∵|BC|=2|AC|,且 BC 经过 O(0,0),

∴|OC|=|AC|.又 A(2 ∴C(
3

3

,0) ,∠ACB=90°,



3

),

3分 ∵a=2
3 3 ? 12 b 2
3

,将 a=2

3

及 C 点坐标代入椭圆方程得

=1,∴b2=4,

x2
∴椭圆 E 的方程为:

12

?

y2
4
=1.

7分 (2)对于椭圆上两点 P、Q,∵∠PCQ 的平分线总垂直于 x 轴,∴ PC 与 CQ 所在直线关于直线 x= 线 CQ 的斜率为-k, ∴直线 PC 的方程为 y即 y=k(x3 3 3

对称, 设直线 PC 的斜率为 k, 则直

=k(x-

3

), ①

)+

3

.
3

直线 CQ 的方程为 y=-k(x② 将①代入 x
2

)+

3

,

10 分
12 ? y2 4

=1,
3

得(1+3k2)x2+6 ③ ∵C(
3

k(1-k)x+9k2-18k-3=0,

,
3

3

)在椭圆上,∴x=
2

3
2

是方程③的一个根. ,

∴xP?

= 9k

? 18k ? 3
2

1 ? 3k

,∴xP= 9k ,

? 18k ? 3

3 (1 ? 3k 2 )

同理可得,xQ=

9k 2 ? 18k ? 3 3 (1 ? 3k 2 )

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∴kPQ= x Q ? xP
Q

y ?y

?

? k ( xQ ? x P ) ? 2 3k xQ ? x P

=1 .
3

P

14 分 ∵C(
3


3

3

) ,∴B(-

3
3

,3

3

) ,

又 A(2

,0) ,∴kAB= 15 分

=1 ,

3 3

∴kAB=kPQ,∴向量 PQ 与向量 AB 共线. 16 分

1.已知椭圆 x

2

16

?

y2 12

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,M 是椭圆上一点,N .

是 MF1 的中点,若|ON|=1,则|MF1|的长等于 答案 6

2.根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距 离分别为 4
3 5

和2
3

5

,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
?2 ? 3? . ?
2 2 2 2

(2)经过两点 A(0,2)和 B ? 1 , ? 解
a

(1)设椭圆的标准方程是 x 2 ? y 2 =1 或 y 2 ? x 2 =1,
b a b
5

则由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2
2 2

,∴a=
2

5

.

在方程 x 2 ? y 2 =1 中令 x=±c 得|y|= b
a b

a
2

在方程 y 2 ? x 2 =1 中令 y=±c 得|x|= b
a b

2

2

a

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依题意并结合图形知 b = 2
a
3

2

5

.

∴b2= 10 .
3

即椭圆的标准方程为 x

2

5

?

3y 2 10

=1 或 y
?2

2

5

?

3x 2 10

=1.

(2)设经过两点 A(0,2) ? 1 , ,B ? mx2+ny2=1,代入 A、B 得
?4 n ? 1 ?m ? 1 ? ? ?? ?1 1 ? 4 m ? 3n ? 1 ?n ? 4 ? ?

? 3 ? 的椭圆标准方程为 ?


2

∴所求椭圆方程为 x 2 ? y

4

?1 .
2 2

3.(2008?江苏,12)在平面直角坐标系中,椭圆 x 2 ? y 2
a
?

? 1 (a>b>0)

b

的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径作圆,过点 ? a ? 线互相垂直,则离心率 e= 答案
2 2

? ,0 ? ? ? c ?
2

作圆的两切

.

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4.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 与椭圆 x +y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q.
2
2

2

)且斜率为 k 的直线 l

(1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否 存在常数 k,使得向量 OP + OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果 不存在,请说明理由. 解 (1)由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+
2

2

,

代入椭圆方程得 x +(kx+
2

2

)2=1. ①

整理得 ? 1 ? k 2 ? x 2 +2 ? ?
?2 ?

2

kx+1=0

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k2-4 ? 1 ? k 2 ? =4k2-2>0, ? ?
?2 ?

解得 k<-

2 2

或 k>

2 2

.
2 2

即 k 的取值范围为(-∞,-

)∪(

2 2

,+∞).

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 OP + OQ =(x1+x2,y1+y2) , 由方程①得 x1+x2=又 y1+y2=k(x1+x2)+2 而 A(
2

4 2k 1 ? 2k 2
2

② ③
2

,0) ,B(0,1) AB =(,

,1). (y1+y2),

所以 OP + OQ 与 AB 共线等价于 x1+x2=将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<2 2 2 2

2

.

或 k>

2 2

,故没有符合题意的常数 k.

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一、填空题 1. 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 是 8 , 离 心 率 是 3 , 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程
4

是 答案

.
x2 y2 x2 y2 ? ? 16 7 =1 或 7 16 =1

2.若椭圆的对称轴在坐标轴上, 短轴的一个端点与两个焦点组成一个 正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为 程为 答案
y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1或 12 9 12 9
2

3

,则这个椭圆的方

.

3.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,5
2

) ,直线 y=3x-2 与它 .

相交所得的中点横坐标为 1 ,则这个椭圆的方程为 答案 4.椭圆 x
2

x2 y2 ? ?1 25 75 ? y2 ? 1 的左、右焦点分别为 3

12

F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线 倍.

段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 答案 7
2 2

5.已知椭圆 x 2 ? y
a

25

? 1 (a>5)的两个焦点为

F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB

过点 F1,则△ABF2 的周长为 答案 4
41

.

6.已知以 F1(-2,0) 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ ,F 有一个交点,则椭圆的长轴长为 .

3

y+4=0 有且仅

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答案

2

7
2

7.经过椭圆 x +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于
2

A、B 两点,设 O 为坐标原点,则 OA ? OB 等于 答案 -1
3

.

8.(2008?全国Ⅰ理,15)在△ABC 中,AB=BC,cosB=- 7 ,若以 A、
18

B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= 答案
3 8

.

二、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0) ,且椭圆经过点(5, 0) ; (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0) ; (3)经过 P(-2 解
x2 a2 ? y2 b2
3

,1) ,Q(

3

,-2)两点.

(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 =1(a>b>0).
(5 ? 4) 2 ? (5 ? 4) 2

∴2a=

=10,

∴a=5.又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的方程为 x
2

25

?

y2 9

=1.

(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为
y2 a2 ? x2 b2

=1 (a>b>0).

由于椭圆经过点(0,2)和(1,0) ,

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0 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, ?a b ∴? ? 0 ? 1 ? 1, ?a2 b2 ?

∴ ?a 2 ? 4, ?
2

?

?b ? 1. ?

故所求椭圆的方程为 y +x2=1.
4

2

(3)设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n), 点 P(-2
3

,1),Q(

3

,-2)在椭圆上,

代入上述方程得 ?12m ? n ? 1 ?
1 ? ?m ? 15 , ? 解得 ? 1 ?n ? , ? 5 ?

?3m ? 4n ? 1

x2 y2 ∴ 15 ? 5 =1.
2

10.如图所示,点 P 是椭圆 y

5

?

x2 4

=1 上的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠

F1PF2=30°,求△F1PF2 的面积. 解 a=
5

在椭圆 y

2

5

?

x2 4

=1 中, =1.

,b=2.∴c=

a2 ? b2

又∵点 P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 由余弦定理知: |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2|2=(2c)2=4. ①式两边平方得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=20, ③-②得(2+
3 5

.







)|PF1|?|PF2|=16,
3

∴|PF1|?|PF2|=16(2-

) ,
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∴ S?PF F = 1 |PF1|?|PF2|sin30°=8-4 3 .
1 2

2

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11.已知椭圆的中心在原点,离心率为 1 ,一个焦点是 F(-m,0) (m
2

是大于 0 的常数). (1)求椭圆的方程; (2) Q 是椭圆上的一点, 设 且过点 F、 的直线 l 与 y 轴交于点 M, Q 若| MQ |=2| QF |,求直线 l 的斜率. 解 (1)设所求椭圆方程是 x 2 ? y 2 =1(a>b>0).
a b
c a
2 2

由已知,得 c=m, = ,∴a=2m,b=
1 2

3

m.

故所求的椭圆方程是:

x2 4m 2

?

y2 3m 2

=1.

(2)设 Q(xQ,yQ) ,直线 l:y=k(x+m) ,则点 M(0,km) , 当 MQ =2 QF 时,由于 F(-m,0) ,M(0,km) , ∴(xQ-0,yQ-km)=2(-m-xQ,0-yQ) ∴xQ= 0 ? 2m =- 2m ,yQ= km ? 0 = km .
1? 2

3

1? 2

3

又点 Q ? ? 2m , km ? 在椭圆上, ? ?
? 3 3 ?

所以

4m 2 k 2m2 9 ? 9 4m 2 3m 2
6

=1.

解得 k=±2

.

当 MQ =-2 QF 时, xQ= 0 ? (?2) ? (?m) =-2m,yQ=
1? 2
2

km 1? 2

=-km.

于是 4m 2 + k
4m

2

m2

3m 2

=1,解得 k=0.
6

故直线 l 的斜率是 0,±2
2 2

.
3 2

12.已知椭圆 x 2 ? y 2 =1(a>b>0)的离心率为
a b

,直线 y= 1 x+1 与椭圆
2

相交于 A、B 两点,点 M 在椭圆上,OM = 1 2 程.

OA

+

3 OB ,求椭圆的方 2

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由 e=

3 2

得 a2=4b2,椭圆可化为:

x2+4y2=4b2. 将 y= 1 x+1 代入上式,消去 y 并整理得:
2

x2+2x+2-2b2=0. ∵直线 y= 1 x+1 与椭圆交于 A、B 两点,
2



∴Δ=4-4(2-2b2)>0,∴b>

2 2

.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则由
OM

=1

2

OA

+

3 OB , 2

1 ? ? x ? 2 ( x1 ? 3 x 2 ) ? 得? 1 . ?y ? (y ? 3y ) 1 2 ? 2 ?

∵M 在椭圆上,∴ 1 (x1+
4

3

x2)2+(y1+

3

y2)2=4b2,

∴x1x2+4y1y2=0. ∴x1x2+ ? 1 x1 ?1? ? 1 x2 ?1? ?4=0, ? ? ? ?
?2 ? ?2 ?

即 x1x2+(x1+x2)+2=0 又由①知 x1+x2=-2,x1?x2=2-2b2, 代入②中得 b2=1,满足 b> ∴椭圆方程为 x +y2=1.
4
2



2 2

.

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