广州一测2016年3月16理科数学试题(含答案)
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2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考 生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合 A ? x x ? 1 ， B ? x x ? x ? 0 ，则 A ? B ?
2
?
?
?
?
（A） x ?1 ? x ? 1 （2）已知复数 z ?
?
?
（B） x 0 ? x ? 1
?
?
（C） x 0 ? x ? 1
?
?
（D） x 0 ? x ? 1
?
?
3?i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数 z 所对应的点在 1? i
（D）第四象限
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （3）执行如图所示的程序框图，如果输入 x ? 3 ，则输出 k 的值为 开始 输入 x
k ?0
x ? 2x ? 3
k ?k?2
x ? 100 ?
否
是
输出 k
结束
（A）6
（B）8
（C）10
（D）12
（4）如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? （A）3
? ?
? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 6 ，则 ? 的值为 6?
（C）12 （D）24
（B）6
（5）设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 ? a7 ? a12 ? 24 ，则 S13 ? （A）52 （B）78
2
（C）104
（D）208
C ： y ? 4 x 上的点，它们的横坐标依次为 x1 ， x2 ，?， xn ， F （6）如果 P 1，P 2 ，?， P n 是抛物线
是抛物线 C 的焦点，若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 10 ，则 PF ? P2 F ? ?? Pn F ? 1 （A） n ? 10 （B） n ? 20 （C） 2 n ? 10 （D） 2n ? 20
nBC （7）在梯形 ABCD 中， AD ? BC ，已知 AD ? 4 ， BC ? 6 ，若 CD ? mBA ?
（A） ?3 （B） ?
??? ?
??? ?
??? ?
? m, n ? R ? ，则
m ? n
1 3
（C）
1 3
（D） 3
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? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 2 （8）设实数 x ， y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? ? y ? 2 ? 的取值范围是 ? x ? ?1， ?
（A） ? ,17 ? 2
?1 ?
? ?
（B） ?1,17?
（C） ?1, 17 ?
?
?
（D） ?
? 2 ? , 17 ? ? 2 ?
（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1 ，顶点都在同一个球面上，则该 球的体积为 （A） ??? （11）已知下列四个命题：
（B）
20 5? 3
（C） 5?
（D）
5 5? 6
p1 ：若直线 l 和平面 ? 内的无数条直线垂直，则 l ? ? ；
p2 ：若 f ? x ? ? 2x ? 2? x ，则 ?x ? R ， f ? ? x ? ? ? f ? x ? ；
p3 ：若 f ? x ? ? x ?
1 ，则 ?x0 ? ? 0, ?? ? ， f ? x0 ? ? 1 ； x ?1
p4 ：在△ ABC 中，若 A ? B ，则 sin A ? sin B ．
其中真命题的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为 （A） 8 ? 8 2 ? 4 6 （C） 2 ? 2 2 ? 6 （B） 8 ? 8 2 ? 2 6
（D）
1 2
?
2 2
?
6 4
（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形” ． 1 2 3 4 5 ? 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ???? 4027 4029 4031 8 12 16 ??????? 8056 8060 20 28 ?????????? 16116 ???????????????? 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅 有一个数，则这个数为 （A） 2017 ? 2
2015
（B） 2017 ? 2
2014
（C） 2016 ? 2
2015
（D） 2016 ? 2
2014
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第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分． 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答． 第 22 题～ 第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． （13）一个总体中有 60 个个体，随机编号 0，1，2，?，59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号依 次为 1，2，3，?，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码 为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 （14） 已知双曲线 C ： ．
??? ? ??? ? x2 y 2 A F ? ? 1 的左顶点为 ， 右焦点为 ， 点 ， 且 BA ? BF ?0， a ? 0, b ? 0 B 0, b ? ? ? ? a 2 b2
．
3
则双曲线 C 的离心率为
（15） x ? x ? 2 的展开式中， x 的系数为
2
?
?
4
． （用数字填写答案） 则函数 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? 2 的零点个数为
x
（16）已知函数 f ? x ? ? ?
?1 ? x ? 1 , ? 2 ? ? x ? 4 x ? 2,
x ? 1,
x ? 1，
个．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分 12 分） 如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD ? BC ， C
AC ? 5 3 ， CD ? 5 , BD ? 2 AD .
（Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求△ ABC 的面积． （18） （本小题满分 12 分） 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件， 测量这些产品的质量指标值， 由测量结果得到如图所示的频 率分布直方图，质量指标值落在区间 ?55,65? ， ?65,75? ， ?75,85? 内的频率之比为 4:2:1 ． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
频率 组距 0.030
A
D
B
?75,85? 内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的 这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产 品中质量指标值位于区间 ? 45,75? 内的产 品件数为 X ，求 X 的分布列与数学期望．
0.019 0.012
0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值
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（19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD ， 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形， AC ? BD ? O ， AO 1
AB ? AA1 ? 2 ．
（Ⅰ）证明：平面 ACO ? 平面 BB1D1D ； 1 （Ⅱ）若 ?BAD ? 60 ，求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值．
?
D1 A1 B1
C1
D O A B
C
（20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A ，左焦点为 F ， 0? ，点 B 2, 2 在 1? ?2 椭圆 C 上， 直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E ，F 两点， 直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
?
?
（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? e
x +m
? x3 , g ? x ? ? ln ? x ?1? ? 2 ．
（Ⅰ）若曲线 y ? f ? x ? 在点 0，f ? 0? 处的切线斜率为 1 ，求实数 m 的值； （Ⅱ）当 m ? 1 时，证明： f ? x ? ? g ( x) ? x3 .
?
?
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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号． （22） （本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图所示，△ ABC 内接于⊙ O ，直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ，交 BC 的延长线于点 D ，过点 D 作
DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E ．
（Ⅰ）求证： DE ? AE ?BE ；
2
F O ． E A
B
（Ⅱ）若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ，且 EF ? 4 ， EA ? 2 ， 求线段 AC 的长． D C
（23） （本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? 2 sin ? ， ? ??0, 2?? . （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ： ? 出点 D 的直角坐标.
? ? x ? 3t ? 3, （ t 为参数， t ? R ）的距离最短，并求 y ? ? 3 t ? 2 ? ?
（24） （本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ． （Ⅰ）当 a ? 1 时，求不等式 f ? x ? ?
1 的解集； 2
（Ⅱ）若对任意 a ??0,1? ，不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围．
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2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题 （1）D （7）A 二．填空题 （13） 43 三．解答题 （17）(Ⅰ) 解法一： 在△ ABC 中，因为 BD ? 2AD ，设 AD ? x ? x ? 0 ? ，则 BD ? 2 x ． 在△ BCD 中，因为 CD ? BC ， CD ? 5 ， BD ? 2 x ， 所以 cos ?CDB ? （14） （2）D （8）A （3）C （9）D （4）B （10）B （5）C （11）A （6）A （12）B
5 ?1 2
（15） ? 40
（16） 2
CD 5 ．?????????????????????2 分 ? BD 2 x
在△ ACD 中，因为 AD ? x ， CD ? 5 ， AC ? 5 3 ， 由余弦定理得 cos ?ADC ?
AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 ? ． ???4 分 2 ? AD ? CD 2? x ?5
因为 ?CDB ? ?ADC ? ? ， 所以 cos ?ADC ? ? cos ?CDB ，
x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 ? ? ．?????????????????????5 分 即 2? x ?5 2x
解得 x ? 5 ． 所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分 理科数学试题 第 6 页（共 24 页）
解法二： 在△ ABC 中，因为 BD ? 2AD ，设 AD ? x ? x ? 0 ? ，则 BD ? 2 x ． 在△ BCD 中，因为 CD ? BC ， CD ? 5 ， BD ? 2 x ， 所以 BC ? 4x2 ? 25 ． 所以 cos ?CBD ?
BC 4 x 2 ? 25 ．?????????????????2 分 ? BD 2x
在△ ABC 中，因为 AB ? 3x ， BC ? 4x2 ? 25 ， AC ? 5 3 ， 由余弦定理得 cos ?CBA ?
AB2 ? BC 2 ? AC 2 13x 2 ? 100 ．????4 分 ? 2 ? AB ? BC 6 x ? 4 x2 ? 25
所以
4 x 2 ? 25 13x 2 ? 100 ．??????????????????5 分 ? 2x 6 x ? 4 x 2 ? 25
解得 x ? 5 ． 所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得 AB ? 3x ? 15 ， BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 ．??????8 分 所以 cos ?CBD ? 所以 S?ABC ?
?
1 BC 3 ，从而 sin ?CBD ? ．??????????10 分 ? 2 BD 2
1 ? AB ? BC ? sin ?CBA 2
1 1 75 3 ? 15 ? 5 3 ? ? ．?????????????????12 分 2 2 4
解法二：由（Ⅰ）求得 AB ? 3x ? 15 ， BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 ．??????8 分 因为 AC ? 5 3 ，所以△ ABC 为等腰三角形． 因为 cos ?CBD ?
BC 3 ? ，所以 ?CBD ? 30 ．???????????10 分 ? BD 2
1 5 3 BC ? ． 2 2
所以△ ABC 底边 AB 上的高 h ? 所以 S ?ABC ?
1 ? AB ? h 2
1 5 3 75 3 ? ?15 ? ? ．?????????????????12 分 2 2 4
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解法三：因为 AD 的长为 5 ， 所以 cos?CDB = 所以 S?ADC ?
CD 5 1 ? = ? ，解得 ?CDB ? ．???????????8 分 3 BD 2 x 2
1 2? 25 3 ． ? AD ? CD ? sin ? 2 3 4
1 ? 25 3 ．??????????????10 分 S?BCD ? ? BD ? CD ? sin ? 2 3 2
所以 S?ABC ? S?ADC ? S?BCD ?
75 3 ．?????????????????12 分 4
（18）解： （Ⅰ）设区间 ?75,85? 内的频率为 x ， 则区间 ?55,65? ， ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x ．??????????1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 ，??????3 分 解得 x ? 0.05 ． 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 ．??????????????????4 分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验， 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ，其中 n ? 3 ． 由（Ⅰ）得，区间 ? 45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 ， 将频率视为概率得 p ? 0.6 ．?????????????????????5 分 因为 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，????????????????6 分
0 1 2 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 ， P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 ， 2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 ， P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 ．
所以 X 的分布列为：
X P
0 0.064
1 0.288
2 0.432
3 0.216
?????????10 分
所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 ． （或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 ）?????12 分 理科数学试题 第 8 页（共 24 页）
（19） （Ⅰ）证明：因为 AO ? 平面 ABCD ， 1
D1
BD ? 平面 ABCD ，
所以 A1O ? BD ．??????1 分 因为 ABCD 是菱形， 所以 CO ? BD ．??????2 分 因为 AO 1 ? CO ? O ，
A1 B1
C1
D O B
C
A
所以 BD ? 平面 A1CO ．???????????????????????3 分 因为 BD ? 平面 BB1D1D ， 所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO ．???????????????????4 分 1 （Ⅱ）解法一：因为 AO ? 平面 ABCD ， CO ? BD ，以 O 为原点， OB ， OC ， OA1 方 1 向为 x ， y ， z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．?????????5 分 因为 AB ? AA1 ? 2 ， ?BAD ? 60 ，
?
???
??? ?
??? ?
所以 OB ? OD ? 1 ， OA ? OC ? 3 ， OA1 ?
AA12 ? OA2 ? 1 ．??????6 分
则 B ?1,0,0 ? ， C 0, 3, 0 ， A 0, ? 3, 0 ， A 1 ? 0,0,1? ， 所以 BB1 ? AA1 ? 0, 3,1 ， OB1 ? OB + BB1 ? 1, 3,1 ．?????????7 分 设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ， 因为 OB ? ?1, 0, 0 ? ， OB1 ? 1, 3,1 ， 所以 ?
?
?
?
?
??? ?
??? ?
?
?
??? ?
??? ? ????
z
A1
?
?
D1
C1 B1
???
??? ?
?
?
? ? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0.
D O A B
C x
y
令 y ? 1，
得 n ? 0,1, ? 3 ．??????????????????????9 分 同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? ．????????????10 分 所以 cos ? n, m ??
?
?
3 6 ．???????????????????11 分 ? 4 2 2
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因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角， 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?
6 4
．??????????????12 分
解法二：由（Ⅰ）知平面 ACO ? 平面 BB1D1D ， 1 连接 AC 1 1 与 B1 D1 交于点 O1 ，
A1
D1
O1
C1 B1
连接 CO1 ， OO1 ， 因为 AA1 ? CC1 ， AA1 // CC1 ， 所以 CAA1C1 为平行四边形．
H D O B
K
C
A
因为 O ， O1 分别是 AC ， A1C1 的中点， 所以 OA1O1C 为平行四边形．且 O1C ? OA1 ? 1 ． 因为平面 ACO ? 平面 BB1D1D ? OO1 ， 1
过点 C 作 CH ? OO1 于 H ，则 CH ? 平面 BB1D1D ． 过点 H 作 HK ? OB1 于 K ，连接 CK ，则 CK ? OB1 ． 所以 ?CKH 是二面角 B ? OB1 ? C 的平面角的补角．???????????6 分 在 Rt?OCO1 中， CH ?
O1C ? OC OO1
?
1? 3 2
?
3 2
．????????????7 分
? A1 B1 ，所以 OB1 ? 在 ?OCB1 中，因为 AO 1
OA12 ? A1 B12 ? 5 ．
因为 A1 B1 ? CD ， A1B1 // CD ， 所以 B1C ? A1 D ?
A1O 2 ? OD 2 ?
2．
因为 B1C 2 ? OC 2 ? OB12 ，所以 ?OCB1 为直角三角形．???????????8 分 所以 CK ?
CB1 ? OC OB1
?
2? 3 5
3 2 5
?
6 5
．????????????????9 分
所以 KH ? CK 2 ? CH 2 ?
．???????????????????10 分
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所以 cos ?CKH ?
KH CK
?
6 4
．????????????????????11 分
所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?
6 4
．??????????????12 分
（20） （Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ， a 2 b2 因为椭圆的左焦点为 F ， 0? ，所以 a2 ? b2 ? 4 ．???????????1 分 1? ?2
设椭圆的右焦点为 F2 ? 2， 0? ，已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上， 由椭圆的定义知 BF 1 ? BF 2 ? 2a ， 所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 ．?????????????????????2 分 所以 a ? 2 2 ，从而 b ? 2 ．?????????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为
?
?
x2 y 2 ? ? 1 ．??????????????????4 分 8 4
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ， a 2 b2
2 2
解法二：设椭圆 C 的方程为
因为椭圆的左焦点为 F ， 0? ，所以 a ? b ? 4 ． 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上，所以
①???????1 分 ②???????2 分
?
?
4 2 ? ? 1． a 2 b2
由①②解得， a ? 2 2 ， b ? 2 ．???????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为
x2 y 2 ? ? 1 ．??????????????????4 分 8 4
（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 ．????5 分 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆
?
?
设点 E ? x0 , y0 ? （不妨设 x0 ? 0 ） ，则点 F ? ? x0 , ? y0 ? ．
? y ? kx, 8 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y 得 x2 ? ． 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 4 ?8
x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E ， F ， 8 4
所以 x0 ?
2 2 1 ? 2k
2
，则 y0 ?
2 2k 1 ? 2k 2
．
理科数学试题 第 11 页（共 24 页）
所以直线 AE 的方程为 y ?
k 1 ? 1 ? 2k 2
? x ? 2 2 ? ．???????????6 分
? ? ? ．????????7 分 ?
因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ， 令x ? 0得 y ?
2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
，即点 M ? 0,
? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?
同理可得点 N ? 0,
? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?
? ? ? ．???????????????????8 分 ?
所以 MN ?
2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
?
2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
? ? ?
?
2 2 ?1 ? 2k 2 ? k
．???????9 分
设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P ? 0, ?
2? ? ．??????????10 分 k ? ?
2
2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?1 ? 2k ? ? 2 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ， ? ?? ? ? k ? k ? ? ? ? ? ?
即x ?y ?
2 2
2 2 y ? 4 ．??????????????????????11 分 k
2
令 y ? 0 ，得 x ? 4 ，即 x ? 2 或 x ? ?2 ． 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? ， P 2 ? ?2,0? ．?????????12 分 解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 ．?????5 分 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆
?
?
x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E ， F ， 8 4 设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (? x0 , ? y0 ) ．
所以直线 AE 的方程为 y ?
y0 x0 ? 2 2
? x ? 2 2 ? ．????????????6 分
因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ， 令x ? 0得 y ?
? 2 2 y0 2 2 y0 ? ，即点 M ? 0, ? x ?2 2 ? ? ．???????????7 分 x0 ? 2 2 0 ? ? 2 2 y0 ? ? ．????????????????????8 分 x0 ? 2 2 ? ?
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同理可得点 N ? 0,
? ? ?
所以 MN ?
2 2 y0 2 2 y0 16 y ? ? 2 0 ． x0 ? 8 x0 ? 2 2 x0 ? 2 2
因为点 E( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上，所以
x0 2 y0 2 ? ?1 ． 8 4
所以 MN ?
8 ．??????????????????????????9 分 y0
? ? ? 2 x0 ? ? ．?????????10 分 y0 ? ?
2
设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P ? 0, ?
? 2 x0 ? 16 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ． ? ? 2 ? ? y y 0 0 ? ?
2
即 x2 ? y 2 +
2 2 x0 y ? 4 ．?????????????????????11 分 y0
2
令 y ? 0 ，得 x ? 4 ，即 x ? 2 或 x ? ?2 ． 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? ， P 2 ? ?2,0? ．?????????12 分 解法三：因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 ．?????5 分 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆
?
?
设点 E 2 2 cos ? , 2sin ? （ 0 ? ? ? ? ） ，则点 F ?2 2 cos ? , ?2sin ? ． 所以直线 AE 的方程为 y ?
?
?
x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E ， F ， 8 4
?
?
2sin ? x ? 2 2 ．?????????6 分 2 2 cos ? ? 2 2
?
?
因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ， 令x ? 0得 y ?
2 sin ? ? 2sin ? ? ，即点 M ? 0, ? ．????????????7 分 cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ?
同理可得点 N ? 0,
? ?
2sin ? ? ? ．?????????????????????8 分 cos ? ? 1 ?
所以 MN ?
2sin ? 2sin ? 4 ．???????????????9 分 ? ? cos ? ? 1 cos ? ? 1 sin ?
理科数学试题 第 13 页（共 24 页）
设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P ? 0, ?
? ?
2cos ? sin ?
2
? ? ．?????????10 分 ?
则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2 ? ? y ? 即x ? y ?
2 2
? ?
4 2cos ? ? ? ? sin 2 ? ， sin ? ?
4 cos ? y ? 4 ．?????????????????????11 分 sin ?
2
令 y ? 0 ，得 x ? 4 ，即 x ? 2 或 x ? ?2 ． 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0 ? ， P 2 ? ?2,0? ．?????????12 分
（21） （Ⅰ）解：因为 f ( x) ? e x +m ? x3 ， 所以 f ?( x) ? e x +m ? 3x2 .???????????????????????1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 在点 0，f ? 0? 处的切线斜率为 1 ， 所以 f ? ? 0? ? e ? 1，解得 m ? 0 .???????????????????2 分
m
?
?
（Ⅱ）证法一：因为 f ( x) ? e x +m ? x3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 ， 所以 f ? x ? ? g ( x) ? x3 等价于 e 当 m ? 1 时， e 要证 e
x +m x +m x +m
? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ．
? ln ? x ?1? ? 2 ? ex?1 ? ln ? x ?1? ? 2 ．
? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ，只需证明 ex?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 .??????4 分
以下给出三种思路证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ． 思路 1：设 h ? x ? ? e
x ?1 设 p ? x? ? e ?
x?1
? ln ? x ?1? ? 2 ，则 h? ? x ? ? e x ?1 ?
1 . x ?1
1 1 ，则 p? ? x ? ? e x ?1 ? ?0． 2 x ?1 ? x ? 1? 1 在 ? ?1 ， +?? 上单调递增．???????6 分 x ?1
x ?1 所以函数 p ? x ? ? h? ? x ? ? e ?
因为 h? ? ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 ， h? ? 0? ? e ?1 ? 0 ， 所以函数 h? ? x ? ? e
? 1? ? 2?
1
x ?1
?
1 ? 1 ? 在 ? ?1 ， +?? 上有唯一零点 x0 ，且 x0 ? ? ? , 0 ? . x ?1 ? 2 ?
理科数学试题 第 14 页（共 24 页）
????????????8 分 因为 h? ? x0 ? ? 0 ，所以 e
x0 +1
?
1 ，即 ln ? x0 ? 1? ? ? ? x0 ? 1? .??????9 分 x0 ? 1
当 x ? ? ?1, x0 ? 时， h? ? x ? ? 0 ；当 x ? ? x0 , ??? 时， h? ? x ? ? 0 ， 所以当 x ? x0 时， h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? .???????????????10 分 所以 h ? x ? ? h ? x0 ? = e 0 ? ln ? x0 ? 1? ? 2 ?
x ?1
1 ? ? x0 ? 1? ? 2 ? 0 . x0 ? 1
综上可知，当 m ? 1 时， f ? x ? ? g ( x) ? x3 . ??????????????12 分 思路 2：先证明 e 设 h ? x? ? e
x?1
x ?1
? x ? 2 ? x ? R ? ．?????????????????5 分
? x ? 2 ，则 h? ? x ? ? ex +1 ?1 ．
因为当 x ? ?1 时， h? ? x ? ? 0 ，当 x ? ?1 时， h? ? x ? ? 0 ， 所以当 x ? ?1 时，函数 h ? x ? 单调递减，当 x ? ?1 时，函数 h ? x ? 单调递增． 所以 h ? x ? ? h ? ?1? ? 0 ． 所以 e
x ?1
? x ? 2 （当且仅当 x ? ?1 时取等号） ．?????????????7 分
所以要证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ， 只需证明 ? x ? 2? ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ．??????????????????8 分 下面证明 x ? ln ? x ?1? ? 0 ． 设 p ? x ? ? x ? ln ? x ?1? ，则 p? ? x ? ? 1 ?
1 x ? ． x ?1 x ?1
当 ?1 ? x ? 0 时， p? ? x ? ? 0 ，当 x ? 0 时， p? ? x ? ? 0 ， 所以当 ?1 ? x ? 0 时，函数 p ? x ? 单调递减，当 x ? 0 时，函数 p ? x ? 单调递增． 所以 p ? x ? ? p ? 0? ? 0 ． 所以 x ? ln ? x ? 1? ? 0 （当且仅当 x ? 0 时取等号） ．???????????10 分 由于取等号的条件不同，
理科数学试题 第 15 页（共 24 页）
所以 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ． 综上可知，当 m ? 1 时， f ? x ? ? g ( x) ? x3 . ??????????????12 分 （若考生先放缩 ln ? x ? 1? ，或 e 、 ln ? x ? 1? 同时放缩，请参考此思路给分！ ）
x
思路 3：先证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ．
t 令 t ? x ? 1 ，转化为证明 e ? ln t ? 2 ? t ? 0? ．??????????????5 分
因为曲线 y ? et 与曲线 y ? ln t 关于直线 y ? t 对称， 设直线 x ? x0 ? x0 ? 0? 与曲线 y ? et 、 y ? ln t 分别交于点 A 、 B ，点 A 、 B 到直线 y ? t 的距离分别 为 d 1 、 d2 ， 则 AB ? 2 ? d1 ? d2 ? ． 其中 d1 ?
e x0 ? x0 2
， d2 ?
x0 ? ln x0 2
? x0 ? 0 ? ．
①设 h ? x0 ? ? ex0 ? x0 ? x0 ? 0 ? ，则 h? ? x0 ? ? ex0 ? 1 ． 因为 x0 ? 0 ，所以 h? ? x0 ? ? ex0 ? 1 ? 0 ． 所以 h ? x0 ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增，则 h ? x0 ? ? h ? 0? ? 1 ． 所以 d1 ?
e x0 ? x0 2 ? 2 ． 2 1 x0 ? 1 ? ． x0 x0
②设 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 ? x0 ? 0 ? ，则 p? ? x0 ? ? 1 ?
因为当 0 ? x0 ? 1 时， p? ? x0 ? ? 0 ；当 x0 ? 1 时， p? ? x0 ? ? 0 ， 所以当 0 ? x0 ? 1 时，函数 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 单调递减； 当 x0 ? 1 时，函数 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 单调递增． 所以 p ? x0 ? ? p ?1? ? 1 ． 所以 d 2 ?
x0 ? ln x0 2 ? 2 ． 2
? 2 2? 所以 AB ? 2 ? d1 ? d 2 ? ? 2 ? ? ? 2． ? 2 ? 2 ? ? ?
理科数学试题 第 16 页（共 24 页）
综上可知，当 m ? 1 时， f ? x ? ? g ( x) ? x3 .??????????????12 分 证法二：因为 f ( x) ? e x +m ? x3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 ， 所以 f ? x ? ? g ( x) ? x3 等价于 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ．??????????4 分 以下给出两种思路证明 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ． 思路 1：设 h ? x ? ? ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ，则 h? ? x ? ? e 设 p ? x? ? e
x +m x +m
?
1 . x ?1
?
1 1 ，则 p? ? x ? ? e x +m ? ? 0． 2 x ?1 ? x ? 1?
x +m
所以函数 p ( x) ? h? ? x ? ? e 因为 m ? 1 ， 所以 h? ?1 ? e
?
1 在 ? -1， +?? 上单调递增．??????6 分 x ?1
?
?m
??e
?1? e? m +m
? em ? em e?1?e ? 1 ? 0 ， h? ? 0? ? em ?1 ? 0 .
?m
?
?
所以函数 h? ? x ? ? e
x +m
?
1 在 ? -1， +?? 上有唯一零点 x0 ，且 x0 ? ? ?1 ? e ? m , 0 ? . x ?1
???????8 分
因为 h? ? x0 ? ? 0 ，所以 e
x0 +m
?
1 ，即 ln ? x0 ?1? ? ?x0 ? m ．??????9 分 x0 ? 1
当 x ? ? 0, x0 ? 时， h? ? x ? ? 0 ；当 x ? ? x0 , ??? 时， h? ? x ? ? 0 . 所以当 x ? x0 时， h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? ．??????????????10 分 所以 h ? x ? ? h ? x0 ? ? e 0
x +m
? ln ? x0 ?1? ? 2 ?
1 ? x0 ? m ? 2 x0 ? 1
?
1 ? ? x0 ? 1? ? m ? 3 ? 0 ． x0 ? 1
综上可知，当 m ? 1 时， f ? x ? ? g ( x) ? x3 ．??????????????12 分 思路 2：先证明 e ? x ? 1( x ? R) ，且 ln( x ? 1) ? x ( x ? ?1) ．???????5 分
x
设 F ( x) ? e ? x ?1 ，则 F ?( x) ? e x ?1 ．
x
因为当 x ? 0 时， F ?( x) ? 0 ；当 x ? 0 时， F ?( x) ? 0 ，
理科数学试题 第 17 页（共 24 页）
所以 F ( x) 在 (??, 0) 上单调递减，在 (0, ??) 上单调递增． 所以当 x ? 0 时， F ( x) 取得最小值 F (0) ? 0 ． 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ，即 ex ? x ? 1( x ? R) ．?????????????7 分 所以 ln( x ? 1) ? x （当且仅当 x ? 0 时取等号） ．?????????????8 分 再证明 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ． 由 ex ? x ? 1( x ? R) ，得 e 因为 x ? ?1 ， m ? 1 ，且 e 所以 e
x +m
x ?1
? x ? 2 （当且仅当 x ? ?1 时取等号） ．????9 分 ? x ? 2 与 ln( x ? 1) ? x 不同时取等号，
x ?1
? ln ? x ?1? ? 2 ? em?1 ? ex?1 ? ln ? x ?1? ? 2
? em?1 ( x ? 2) ? x ? 2 ? (em?1 ?1)( x ? 2) ? 0 ．
综上可知，当 m ? 1 时， f ? x ? ? g ( x) ? x3 ．??????????????12 分
（22） （Ⅰ）证明：因为 AD 是⊙ O 的切线， 所以 ?DAC ? ?B （弦切角定理） ．??????1 分 因为 DE ? CA ，
F O ． E A
B
所以 ?DAC ? ?EDA ．???????????2 分 所以 ?EDA ? ?B ． 因为 ?AED ? ?DEB （公共角） ， D
C
所以△ AED ∽△ DEB ．???????????????????????3 分 所以
DE BE
2
?
AE DE
．
即 DE ? AE ?BE ．?????????????????????????4 分 （Ⅱ）解：因为 EF 是⊙ O 的切线， EAB 是⊙ O 的割线， 所以 EF ? EA?EB （切割线定理） ．?????????????????5 分
2
因为 EF ? 4 ， EA ? 2 ，所以 EB ? 8 ， AB ? EB ? EA ? 6 ．???????7 分 理科数学试题 第 18 页（共 24 页）
由（Ⅰ）知 DE ? AE ?BE ，所以 DE ? 4 ．???????????????8 分
2
因为 DE ? CA ，所以△ BAC ∽△ BED ． ???????????????9 分 所以
BA BE
?
所以 AC ?
． ED BA ? ED
AC
BE
?
6? 4 8
? 3 ． ???????????????????10 分
理科数学试题 第 19 页（共 24 页）
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理科数学试题 第 20 页（共 24 页）
（23） （Ⅰ）解：由 ? ? 2 sin ? ， ? ??0, 2?? ， 可得 ? 2 ? 2? sin ? ．?????????????????????????1 分 因为 ? 2 ? x2 ? y 2 ， ? sin ? ? y ，???????????????????2 分
2 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 （或 x ? ? y ? 1? ? 1 ） ． ????4 分 2
（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为 ?
? ? x ? 3t ? 3, （ t 为参数， t ? R ） ， y ? ? 3 t ? 2 ? ?
消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 ． ??????????????5 分
2 因为曲线 C ： x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心，1 为半径的圆， 2
设点 D ? x0 , y0 ? ，且点 D 到直线 l ： y ? ? 3x ? 5 的距离最短， 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l ： y ? ? 3x ? 5 平行． 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 ? 1 ，即
2 因为 x0 ? ? y0 ? 1? ? 1 ， 2
y0 ? 1 ? ? 3 ? ?1．??????7 分 x0
?
?
解得 x0 ? ?
3 3 或 x0 ? ． 2 2
? ? ? 3 1? ? 3 3? ， ?或? ，? ? ? ．??????????????9 分 2 2? ? ? 2 2?
所以点 D 的坐标为 ? ?
由于点 D 到直线 y ? ? 3x ? 5 的距离最短， 所以点 D 的坐标为 ?
? 3 3? ? ．????????????????????10 分 ? 2 ， 2? ? ? ? ? x ? 3t ? 3, （ t 为参数， t ? R ） ， ? ? y ? ?3t ? 2
解法二：因为直线 l 的参数方程为 ?
消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ．??????????????5 分
2 因为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心，1 为半径的圆， 2
因为点 D 在曲线 C 上，所以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? ．???7 分 理科数学试题 第 21 页（共 24 页）
?
?
所以点 D 到直线 l 的距离为 d ?
3 cos ? ? sin ? ? 4 2
?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ．????????????8 分 3? ?
因为 ? ??0, 2?? ，所以当 ? ? 此时 D ? ?
? 时， dmin ? 1 ．?????????????9 分 6
? 3 3? ? 3 3? ，? ，所以点 D 的坐标为 ? ? ? ? 2 ， ? ．???????????10 分 2 2 2 ? ? ? ?
（24） （Ⅰ）解：当 a ? 1 时， f ? x ? ?
1 1 等价于 x ? 1 ? x ? ．????????1 分 2 2 1 ①当 x ? ?1 时，不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ，无解； 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时，不等式化为 x ? 1 ? x ? ，解得 ? ? x ? 0 ； 2 4 1 ③当 x ? 0 时，不等式化为 x ? 1 ? x ? ，解得 x ? 0 ．??????????3 分 2
综上所述，不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?
? 1 ? , ?? ? ．????????????4 分 ? 4 ?
（Ⅱ）因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集，所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max ．???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 思路 1：因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??
? 0 ? a ? 1? ，
a 时， f ? x ? ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? ? a ? 1? a < 0 ．
当?
a ? x ? 1? a 时， f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? 2x ? a ? 1? a
? 2 1- a + a -
1- a = a + 1- a ．
当 x ? 1 ? a 时， f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a
? a ? 1? a ．
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?
a ? 1 ? a ．????????????????????7 分
思路 2：因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a
? x ? a ? x ? 1? a
理科数学试题 第 22 页（共 24 页）
?
a ? 1? a
? a ? 1? a ，
当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号． 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?
a ? 1 ? a ．????????????????????7 分
因为对任意 a ??0,1? ，不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集， 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?
?
? max ．?????????????????????8 分
以下给出三种思路求 g ? a ? ? 思路 1：令 g ? a ? ?
a ? 1 ? a 的最大值.
a ? 1? a ，
所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ，即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?
? a? ??
2
1? a
?
2
? 2．
1 时等号成立． 2
2．
所以 b 的取值范围为 思路 2：令 g ? a ? ?
?
2， +? ．???????????????????10 分
?
a ? 1? a ，
2
因为 0 ? a ? 1 ，所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ? 则 g ? a? ?
? ?
?? ?， 2?
?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ， 4? ?
? 时等号成立． 4
当且仅当 ? ?
所以 b 的取值范围为 思路 3：令 g ? a ? ? 因为 0 ? a ? 1 ，设 í
2
?
2， +? ．???????????????????10 分
?
a ? 1? a ，
1) ．
y
ì ? ? x = a, 2 2 则 x + y = 1 (0 ＃x 1,0 ＃y ? ? ? y = 1- a ,
2
问题转化为在 x + y = 1 (0 ＃x 求 z = x + y 的最大值．
1,0 ＃y 1) 的条件下，
利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ， O 理科数学试题 第 23 页（共 24 页） x
此时 x = y =
2 ． 2
所以 b 的取值范围为
?
2， +? ．???????????????????10 分
?
理科数学试题 第 24 页（共 24 页）