【金版学案】2015届高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课时精练试题 文(含解析)

第十一节
题号 答案 1 2

轨迹方程的求法
3 4 5 6

→ → x 1.已知两定点 A(1,1),B(-1,-1),动点 P 满足PA·PB= ,则点 P 的轨迹是( 2 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线

2

)

→ → → → 解析:设点 P(x,y),则PA=(1-x,1-y),PB=(-1-x,-1-y),∴PA·PB=(1-

x2 x2 y2 x)(-1-x)+(1-y)(-1-y) =x2+y2-2.由已知 x2+y2-2= ,即 + =1,
2 4 2 ∴点 P 的轨迹为椭圆.故选 B. 答案:B 2.如图,

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点.若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.线段 B.圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 解析:连接 PC1,即为 P 到直线 C1D1 的距离.根据题意,在平面 BB1C1C 内点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离,符合抛物线定义,轨迹两个端点分别为 B1 及 CC1 的中点, 所以 P 点的轨迹为抛物线 的一部分. 答案:D → 3.(2013·武汉模拟)长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,若AC= → 2CB,则点 C 的轨迹是( A.线段 C.椭圆 ) B.圆 D.双曲线
2 2

解析:设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a +b =9.①

? → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即?
将②代入①式整理可得 x + =1.故选 C. 4 答案:C
2

?a=3x,
b= y, ? ? 2
3 ②

y2

1

4.(2012·湛江调研)以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x +y -2x+6y+9=0 圆 心的抛物线方程是( ) 2 2 A.y=3x 或 y=-3x 2 B.y=3 x 2 2 C.y =-9x 或 y=3x 2 2 D.y=-3x 或 y =9x 解析:圆的标准方程为(x-1) +(y+3) =1,故圆心坐标为(1 ,-3). 1 2 2 2 设抛物线方程为 y =2p1x 或 x =-2p2y, 则(-3) =2p1 或 1=6p2, ∴2p1=9 或 2p2= .∴ 3 1 2 2 2 2 抛物线方程为 y =9x 或 x =- y,即 y =9x 或 y=-3x .故选 D. 3 答案:D 5.(2012·大连、沈阳二联)已知 F1,F2 分别为椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 P 4 3 为椭圆 C 上的动点,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( ) 2 x2 y2 4x 2 A. + =1(y≠0 ) B. +y =1(y≠0) 36 27 9 2 2 9x 4y 2 2 C. +3y =1(y≠0) D.x + =1(y≠0) 4 3 解析:由已知得 F1(-1,0),F2(1,0),设 G1(x,y),P(x1,y1),因为 G 是△PF1F2 的重心, -1+1+x ? ?x= 3 , 所以? 0+0+y y ?y= 3 ?
1 1 1 2 2

2

2

x2 y2

解得? ,

? ?x1=3x, ?y1=3y, ?

代入椭圆方程整理得

9x 2 + 3y = 4

2

1(y≠0).故选 C. 6.(2013·苏州质检)已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B, 过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( ) A.x - =1(x>1) 8 C.x + =1(x>0) 8
2 2

y2
2

B.x - =1(x<-1) 8 D.x - =1(x>1) 10
2

2

y2

y

y2

解析:设另两个切点为 E、F,如图所示,

2

则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|. 从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|, 所以 P 点的轨迹是以 M、N 为焦点, 实轴长为 2 的双曲线的右支. 2 又因为 a=1, c=3,所以 b =8. 故方程为 x - =1(x>1). 8 答案:A 7.(2013·上海检测)动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点
2

y2

P 的轨迹方程为________.
解析:设点 P 的坐标为(x,y),由题意可得 即为点 P 的轨迹方程. 2 答案:y =8x
2

x-

2

+y =|x+2|,化简得 y =8x,

2

2

8.过抛物线 x =4y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹 方程是__________. 答案:x =2y-2 1 2 9.设抛物线 C1 的方程为 y= x ,它的焦点 F 关于原点的对称点为 E.若曲线 C2 上的点 20 到 E、F 的距离之差的绝对值等于 6,则曲线 C2 的标准方程为________. 1 2 2 解析:方程 y= x 可化为 x =20y,它的焦点为 F(0,5),所以点 E 的坐标为(0,-5), 20 根据题意,知曲线 C2 是焦点在 y 轴上的双曲线,设方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 2a=6,
2

a=3,又 c=5,b2=c2-a2=16,所以曲线 C2 的标准方程为 - =1.
9 16 答案: - =1 9 16 10.自抛物线 y =2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线,垂足为 Q,连接顶点 O 与 P 的直 线与连接焦点 F 与 Q 的直线交于点 R,求点 R 的轨迹方程.
2

y2 x2 a b y2 x2

y2

x2

3

? 1 ? ?1 ? 解析:设 P(x1,y 1),R(x,y),则 Q?- ,y1?,F? ,0?, ? 2 ? ?2 ?
∴OP 的方程为 y= x,①

y1 x1

FQ 的方程为 y=-y1?x- ?.② 2

? ?

1?

?

2x 2y 由①②得 x1= ,y1= , 1-2x 1-2x 2 2 2 代入 y =2x,可得 y =-2x +x. 11.(2012·揭阳第二中学月考)在平面直角坐标系中,已知向量 a=(x,y- 2),b= (kx,y+ 2)(k∈R),a⊥b,动点 M(x,y)的轨迹为 T. (1 )求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状. 1 (2)当 k= 时,已知点 B(0,- 2),是否存在直线 l:y=x+m ,使点 B 关于直线 l 2 的对称点落在轨迹 T 上?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵a⊥b,∴ a·b=(x,y- 2)·(kx,y+ 2)=0,得 kx +y -2=0,即 kx2+y2=2. 当 k=0 时,方程表示两条与 x 轴平行的直线; 当 k=1 时,方程表示以原点为圆心,以 2为半径的圆; 当 k>0 且 k≠1 时,方程表示椭圆; 当 k<0 时,方程表示焦点在 y 轴上的 双曲线. 1 x2 y2 (2)当 k= 时,动点 M 的轨迹 T 的方程为 + =1, 2 4 2 设满足条件的直线 l 存在,点 B 关于直线 l 的对称点为 B′(x0,y0),则由 BB′⊥l 得, y0+ 2 y0- 2 x0 =-1,由 BB′的中点在 l 上得 = +m,解得 x0=- 2-m,y0=m. x0 2 2 ∵点 B′(x0,y0)在椭圆上,∴ = 2 或 m=- 2. 3 ∴直线 l 的方程为 y=x+ 经检验 y=x+ + 2 或 y=x- 2. 3 12.(2013·辽宁卷)如图, 2 或 y=x- 2. 3 - 2-m 4
2 2 2

+ =1.整理得 3m +2 2m-2=0,解得 m 2

m2

2

2 和 y=x- 2都符合题设.∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=x 3

4

抛物线 C1:x =4y,C2:x =-2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切 1 线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- . 2 (1)求 p 的值; (2)当 M 在 C 2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O). 解析:(1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y )的切线斜率为 y′= ,且切线 MA 2 1? 1 1 1 ? 的斜率为- ,所以 A 点坐标为?-1, ?,故切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ . 4 2 2 4 ? ? 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是 1 1 3-2 2 y0=- (2- 2)+ =- ,① 2 4 4 - 2 y0=- 2p 由①②得 p=2.
2 2

2

2

x

3-2 2 =- .② 2p

(2)设 N( x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,x1≠x2, 4? ? 4? ? 由 N 为线段 AB 中点知 x1+x2 x= ,③ 2 2 2 x1+x2 y= .④ 8 切线 MA、MB 的方程为

?

x2 1?

?

x2 2?

x1 x2 1 y= (x-x1)+ ,⑤
2 4

y= (x-x2)+ .⑥

x2

x2 2

2 4 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x1+x2 x1x2 x0= ,y0= . 2 4 2 因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0=-4y0,

5

所以 x1x2=-

.⑦ 6 4 2 由③④⑦得 x = y,x≠0. 3 4 2 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x = y. 3 4 2 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x = y. 3

2 x2 1+x2

6


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